Sezione 1.6: Sistemi di telecomunicazione Su  Capitolo 1: Una visione di insieme Part I: Teoria dei segnali 

1.7  Segnali e sistemi

Affrontiamo ora la caratterizazione degli elementi fondamentali nei cui termini sono descritti i sistemi di telecomunicazione, ovvero segnali e sistemi.
In termini generali, un sistema è un gruppo di oggetti che interagiscono armoniosamente, e che sono combinati in modo da conseguire un obbiettivo desiderato. Un sistema può essere parte (sottosistema) di un sistema più grande, e si può definire una intera gerarchia di sistemi, ognuno con il proprio dominio.
Un segnale è un evento che veicola un contenuto informativo. Nel nostro caso, ci interessiamo alla risposta di un sistema ad un dato segnale. A volte, un sistema è descritto unicamente in termini della sua risposta a determinati segnali. Iniziamo dunque da questi ultimi.

1.7.1  Caratteristiche dei segnali

Da un punto di vista analitico, un segnale è una funzione del tempo, del tipo descritto al §  1.3↑, e per esso si possono operare le classificazioni:
figure f1.6a.png
Figura 1.3 Visione insiemistica per le diverse classi di segnali
Segnale di potenza
Un segnale analogico può avere una estensione temporale limitata, oppure si può immaginare che si estenda da meno infinito a infinito. Nel secondo caso il segnale si dice di potenza se ne esiste (ed è diversa da zero) la media quadratica
0 <  Ps  = limT → ∞(1)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)|s(t)|2dt < ∞
Un segnale di potenza è inoltre detto
Segnale periodico
di periodo T, nel caso in cui si verifichi che
s(t)  = s(t  + T)
per qualsiasi valore di t, mentre si dice
figure f1.7.png figure f1.8.png
Impulso esponenziale bilatero Impulso gaussiano
Figura 1.4 Esempi di segnali di energia
Segnale di energia
un segnale di durata limitata o illimitata, se esiste il valore
0 < ℰs =   − ∞|s(t)|2dt  < ∞
Perché ciò avvenga occorre[16] [16] Una funzione f(t) è detta sommabile (o integrabile) nell’intervallo (  − ∞, ∞) se il suo integrale è finito, ed una condizione sufficiente perché ciò avvenga è che limt  →  ∞f(t) sia un infinitesimo di ordine superiore a 1, ovvero che limt  →  ∞tf(t) =  0. che per t  → ∞ il segnale s(t) tenda a zero più velocemente di (1)/((t)), e quindi |s(t)|2 vi tenda più in fretta di (1)/(t). La fig. 1.4↑ riporta un paio di esempi di segnale di energia; notiamo infine che lo spazio descritto dalle funzioni a quadrato sommabile è indicato in matematica come spazio L2, e costituisce un spazio di Hilbert[17]  [17] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a_quadrato_sommabile.
In particolare, se un segnale ha durata limitata, ovvero è nullo per t al di fuori di un intervallo [t1,  t2] (vedi fig. 1.5↓), allora è anche di energia. Infine, viene detto
Segnale impulsivo
un segnale di energia che tende a zero più velocemente di (1)/(t), ovvero
0 <   − ∞|s(t)|dt <  ∞
E’ il caso delle funzioni assolutamente sommabili, per le quali |s(t)| tende a zero più velocemente di (1)/(t), e che dunque sono anche di energia.
Riassumendo
Qualora il segnale sia associato a delle grandezze elettriche, allora i concetti di Potenza ed Energia hanno il correlato fisico illustrato di seguito.
figure f1.9.png figure f1.10.png
Impulso rettangolare tra 4 ed 8 Sinusoide troncata
Figura 1.5 Esempi di segnale a durata limitata

1.7.1.1  Aspetti fisici delle grandezze energetiche

Potenza istantanea
Se consideriamo una resistenza R, ed applichiamo ai suoi capi una tensione v(t), in essa scorre una corrente i(t) = (v(t))/(R), e la potenza ceduta alla resistenza ad ogni istante t è pari a
p(t)  = v(t)i(t)
che si misura in Watt (equivalente a Joule/secondo), e che rappresenta la potenza istantanea assorbita. Ricordando che i(t)  = (v(t))/(R), si ottiene anche p(t) = (v2(t))/(R) = i2(t)R.
Energia
Se integriamo p(t) su di un intervallo temporale T, si ottiene l’energia complessiva assorbita da R nell’intervallo T:
eT(t) = tt  − Tp(τ)dτ [joule]
Nello stesso intervallo T, la resistenza assorbe una potenza pT(t) = eT(t) = (1)/(T)eT(t) [Watt], che costituisce una media a breve termine dell’energia assorbita nell’intervallo[18] [18] Anticipando una notazione che verrà usata nel corso del testo, il pedice T indica l’estensione temporale a cui è riferita la grandezza che presenta il pedice, mentre la sopralineatura di una grandezza che dipende dal tempo, indica una media temporale della grandezza stessa..
Se un segnale x(t) è periodico con periodo T ( o (T)/(n) con n intero), i valori di eT(t)  = pT(t) coincidono con quelli calcolabili con T comunque grande. Se R  = 1 Ω, tali valori coincidono inoltre con le definizioni di potenza ed energia del segnale:
Energia: x  = (T)/(2)  − (T)/(2)|x|2(t)dt  = eT(T)/(2) [Volt2sec] o [Ampere2sec]
Potenza: Px  = (1)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)|x|2(t)dt  = (1)/(T)eT(T)/(2)  = pT(T)/(2) [Volt2] o [Ampere2]
Potenza dissipata e di segnale
Se la resistenza è diversa da 1 Ω, le due quantità non coincidono più. Nelle misure fisiche in genere si ottiene la potenza dissipata sullo strumento di misura (o irradiata dall’antenna, o dagli altoparlanti) espressa in Watt. Per risalire alla potenza/energia di segnale delle grandezze elettriche presenti ai suoi capi (tensione o corrente) occorre dividere (o moltiplicare) la potenza in Watt per R. Ad esempio, una potenza assorbita P di 10 Watt su 8 Ohm equivale ad una potenza di segnale PR = 80 (Volt)2, ovvero di (P)/(R) = 1.25 (Ampere)2.
Valore efficace
Si indica allora come valore efficace quel livello di segnale continuo che produrrebbe lo stesso effetto energetico. Nell’esempio precedente, otteniamo: Veff  = (80) =  8.94 Volt; Ieff  = 1.118 Ampere. Infatti:
PT(segnale)  = (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)V2effdt  = (T)/(T)(8.94)2 = 80 Volt2 che su 8 Ω dissipa (V2)/(R) = 10 Watt.

1.7.1.2  Spettro di segnale

Uno dei primi concetti da affrontare nella analisi dei segnali è quello di contenuto spettrale, che indica come la potenza (o energia) complessiva sia distribuita su di un insieme di frequenze, mediante gli strumenti forniti dalla analisi di Fourier che associa ad un segnale di energia x(t) lo spettro X(f) =  −  ∞x(t)e  − j2πftdt (cap. 3↓). Dato che ciò è possibile anche per la risposta impulsiva h(t) che caratterizza un sistema lineare e permanente, tale concetto si rivelerà unificante per entrambi.

1.7.2  Caratteristiche dei sistemi

In termini molto generali, un sistema può essere descritto come una trasformazione T[.], tale che ad ogni segnale di ingresso x(t) corrisponda una uscita y(t): T[x(t)] = y(t). Iniziamo quindi a porre dei paletti concettuali entro cui classificare il tipo di sistema.
Sistema lineare e permanente
Un sistema è lineare se, in presenza di una combinazione lineare di ingressi, l’uscita è la combinazione lineare delle uscite, ossia sussiste la legge di sovrapposizione degli effetti, ovvero:
T[iaixi(t)] = iaiT[xi(t)]
Un sistema è permanente (o stazionario) se la risposta ad un ingresso traslato nel tempo, è la traslazione temporale dell’uscita che si avrebbe per lo stesso ingresso non traslato, ovvero
se T[x(t)] = y(t) allora T[x(t  − τ)]  = y(t − τ)
Nel caso contrario, il sistema è detto tempo-variante, non stazionario, o non permanente.
Filtro
Al § 3.5.2↓ scopriremo che nel caso di un sistema lineare e permanente, il legame T[x(t)] = y(t) tra le coppie di segnali di ingresso ed uscita è espresso dall’integrale di convoluzione y(t) = x(t)*h(t) =  −  ∞x(τ)h(t  − τ)dτ, in cui la risposta impulsiva h(t) caratterizza completamente il sistema nei termini dell’uscita che corrisponde ad un ingresso impulsivo x(t) = δ(t). Alla convoluzione si associa il concetto di filtraggio del segnale, che verifichiamo essere un operatore lineare in virtù della distributività dell’integrale, e permanente in quanto h(t) dipende solo dal tempo trascorso dalla applicazione del segnale[19]  [19] In realtà nulla vieta ad un filtro di modificare la propria risposta impulsiva nel tempo, ma in tal caso in uscita compaiono componenti frequenziali non presenti in ingresso, e viene dunque persa la linearità..
Memoria
Notiamo che un sistema descritto da una risposta impulsiva h(t) con estensione temporale non nulla è detto con memoria, in quanto i singoli valori di uscita dipendono da tutti i valori di ingresso raccolti dalla risposta impulsiva.
Realizzabilità ideale
Un sistema è detto idealmente realizzabile se h(t) è reale.
Realizzabilità fisica
E’ una proprietà indicata anche causalità, poiché descrive l’impossibilità di osservare una uscita prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y(t) ad un istante t  = t0 non possono dipendere da valori di ingresso x(t) per istanti futuri t  > t0. Ciò è automaticamente verificato se h(t) = 0 con t  < 0. Osserveremo (nota 137↓ a pag. 1↓) come sistemi non realizzabili fisicamente possano essere approssimati da sistemi realizzabili, accettando un ritardo dell’uscita.
Stabilità
è definita come la proprietà di fornire uscite limitate (in ampiezza) per ingressi limitati, ed equivale alla condizione |h(t)|dt <  ∞, ovvero che h(t) sia un segnale impulsivo. Notiamo che questa circostanza garantisce l’esistenza della sua trasformata H(f).
Risposta in frequenza
Se un sistema, oltre che stabile, è anche idealmente realizzabile, allora H(f) = H*(  − f), e dunque è sufficiente conoscere la parte a frequenze positive indicata con H + (f), dato che quella a frequenze negative è ottenibile mediante una operazione di coniugazione. Questo fatto permette di misurare modulo e fase di H(f) = M(f)ejφ(f), che prende il nome di risposta in frequenza, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale x(t) = Acos(2πf0t + θ) con ampiezza A e fase θ note, come illustrato a pag. 1↓.
Non linearità
Corrisponde ad un legame ingresso-uscita senza memoria[20]  [20] Un operatore si dice senza memoria quando ogni valore dell’uscita dipende da un unico valore di ingresso. del tipo y(t) = g(x(t)), in cui g(.) è una generica funzione non lineare[21] [21] Una funzione y(x) è lineare quando il suo sviluppo in serie di potenze si arresta al primo ordine, ed è quindi esprimibile in forma y  = ax +  b, che è l’equazione di una retta.. Pertanto, un operatore basato sulla elevazione a potenza è non lineare. Come approfondiremo al § 7.3↓, una delle più evidenti conseguenze della non linearità è l’insorgenza in uscita di contenuti frequenziali assenti in ingresso.
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