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10.4  Appendici

Raggruppiamo qui alcuni collegamenti, approndimenti, e tecniche realizzative.

10.4.1  Effetto della distorsione lineare sui segnali modulati

Riprendiamo i risultati riassunti al § 128↑, applicandoli alle tecniche di modulazione affrontate in questo capitolo.
AM-BLD-PS  In questo caso xs(t) = 0, ed allora le (10.56↑) divengono yc(t)  = (1)/(2)[xc(t)*hc(t)] ys(t)  = (1)/(2)[xc(t)*hs(t)] . Adottando, ad esempio, una demodulazione omodina, si ottiene un segnale demodulato pari a d(t)  = xc(t)*hc(t), equivalente al caso di distorsione lineare di banda base.
AM-BLD-PI  Il problema maggiore con la modulazione a portante intera può verificarsi se |H(f0)| è molto ridotto (ad esempio a causa di una attenuazione selettiva, esemplificata all’esempio di pag. 1↑), perché in tal caso l’indice di modulazione Ia (eq. 11.24↑) supera il 100% ed il segnale risulta sovramodulato.
AM-BLU  In questo caso il segnale modulato contiene ambedue le c.a. di b.f., e dunque il verificarsi delle condizioni (eq. 10.56↑) di intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza risulta particolarmente deleterio, in quanto in entrambe (yc(t), ys(t)), si trovano entrambe (xc(t), xs(t)), mescolate tra loro tramite (hc(t), hs(t)).
FMSe un segnale modulato angolarmente attraversa un canale affetto da distorsione lineare (di modulo, di fase, od entrambe), si verificano due fenomeni di conversione, indicati come conversione pm-am e pm-pm. La prima consiste in una modulazione di ampiezza sovrapposta, e la seconda in una alterazione della modulazione di fase, entrambe dipendenti dal messaggio modulante. Anche se la modulazione am “parassita” può essere rimossa da un limitatore in ricezione, ciò non è possibile per quella di fase; inoltre quest’ultima presenta anche termini non lineari, e dunque non eliminabili mediante equalizzazione.

10.4.2  Calcolo della potenza di un segnale AM BLU

Come anticipato in fondo al § 10.1.2↑, mostriamo che se
(11.32) xBLU(t) = (ka)/((2))(m(t)cosω0t  − ^m(t)sinω0t)
allora Px  = (k2a)/(2) Pm. Possiamo innanzitutto scrivere che
(11.33) Px  = Px  +   + Px  −   = 2 Px  + 
in quanto le componenti a frequenza positiva e negativa di x(t) sono ortogonali [430] [430] Infatti risulta   − ∞X + (f)X − (f)df = 0. dato che i due termini non si sovrappongono in frequenza., e lo spettro di densità di potenza è una funzione pari della frequenza: Px(f) = Px(  − f). Inoltre, invertendo la relazione Px(f) = 4 Px + (f − f0) valida per la densità di potenza dell’inviluppo complesso, otteniamo Px  + (f)  = (1)/(4) Px(f + f0), e quindi
Px  +  = (1)/(4)  − ∞ Px(f  + f0)df  = (1)/(4) Px
che, sostituita nella (11.33↑), fornisce Px  = 2 Px +   = (1)/(2) Px.
Come sappiamo, Px  = ℛx(0) in cui, nell’ipotesi di processo ergodico, x(0) è l’autocorrelazione di un qualunque membro, ad es. proprio 11.32↑, e dunque essendo in tal caso x(t) = (ka)/((2))[m(t) + j^m(t)], si ottiene
Px  = ℛx(0)  = (1)/(2)(ka)/((2))2[MM(0) + ℛ^M^M(0) + 2jM^M(0)]
Osserviamo ora che M^M(0) =  − ∞m(t)^m(t)dt = 0 in quanto m(t) ed ^m(t) sono ortogonali; inoltre, MM(0) =   PM = ℛ^M^M(0) (non dimostrato). Pertanto si ottiene
Px  = (1)/(2)(k2a)/(2)[ Pm  + Pm]  = (1)/(4)k2a⋅2 Pm = (k2a)/(2) Pm

10.4.2.1  Calcolo della potenza di segnali BLD-PI, PS, PPS

La tabella al § 10.1.4↑ è calcolata adottando lo stesso procedimento sopra esposto, in cui ora
Px  = Pxc  =  k2aPm (BLD-PS) a2p  + k2aPm (BLD-PI,  PPS)

10.4.3  Il mixer

Il dispositivo moltiplicatore, presente negli schemi di mo-demodulazione, viene anche chiamato mixer, in quanto miscela tra loro due segnali.
Non è strettamente necessario disporre di un oscillatore sinusoidale per realizzare il prodotto di un segnale con una portante: ridotto ai minimi termini... è sufficiente un’onda quadra ed un filtro! Infatti, un qualunque segnale periodico
gT(t) = g(t)*n  =  − ∞δ(t  − nT)
di periodo T = k ⁄ f0 (con k intero) possiede una densità di potenza
PGT(f) = |G(f)|2(1)/(T)n  =  − ∞δf − (n)/(k)f0
Il prodotto di tale segnale per x(t) produce un x(t) con densità di potenza
Px(f) = Px(f)*PGT(f) = (|G(f)|2)/(T)n  =  − ∞Pxf  − (n)/(k)f0
figure f9.20.png
Pertanto, il desiderato spettro di potenza si ottiene inserendo dopo il moltiplicatore un filtro passa banda centrato su f0, ossia sulla k − esima replica spettrale di Px(f). Lo stesso dispositivo può essere usato anche per i moltiplicatori di ricezione: in tal caso, il filtro da usare sarà un passa basso.
Un secondo metodo di realizzare il mixer è con un sommatore, un oscillatore, un dispositivo non lineare,
figure f9.21.png
e di nuovo un filtro passa-banda. Il dispositivo non lineare è del tipo
y = a1x + a2x2  + a3x3 + ⋯
e quando in ingresso viene applicata la somma di due segnali x(t) + cosω0t, produce in uscita
y(t)  = a1(x(t) + cosω0t)  + a2(x2(t) + cos2ω0t  + 2x(t)cosω0t)  + a3(⋯) + …
in cui, osservando che i termini cosnω0t sono relativi a termini a frequenza nf0, è possibile ancora una volta estrarre il termine che ci interessa.

10.4.4 Modulazione FM a basso indice

Riprendiamo qui il caso in cui β≪1  ⇒ Δα≪1, e quindi l’espansione in serie di potenze di x(t) può arrestarsi al primo ordine; se il segnale modulante è cosinusoidale, il segnale FM risulta
xFM(t) = acos(ω0t  + 2πkft  − ∞cos(2πwτ)dτ)  = acos(ω0t  + βsin(2πwτ))
Ricordando che cos(α  + β) = cosαcosβ −  sinαsinβ, xFM(t) può essere riscritto come
xFM(t) = acosω0tcos(βsin2πwt)  − asinω0tsin(βsin2πwt)
che, se β≪1, diviene
xFM(t) = acosω0t  −  βasinω0tsin2πwt
che confrontiamo con l’espressione
xAM(t) = apcosω0t  + kacosω0tcos2πwt
che si otterrebbe per modulazione a portante intera, o ridotta, dello stesso m(t).
Il confronto rivela che mentre nell’am il segnale modulante opera in fase alla portante, nell’fm a basso indice opera in quadratura. Il risultato esposto costituisce ad ogni modo uno schema di modulazione per segnali fm a basso indice, realizzabile sommando alla portante, un segnale modulato am su di una portante in quadratura.
Resta il fatto che uno schema di modulazione del genere produce anche una modulazione am parassita: quest’ultima è eliminata in ricezione dall’azione congiunta di uno squadratore e di un filtro passa basso.
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