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13.1  Il rumore nei segnali modulati

Consideriamo un segnale modulato, affetto da un rumore additivo gaussiano bianco n(t) (§ 6.2.3↑), con densità di potenza
Pn(f) = (N0)/(2)
Il rumore nei segnali modulati
Similmente a quanto già illustrato al § 8.3.1↑ per trasmissioni di banda base, prima di essere demodulato il segnale ricevuto attraversa un filtro di ricezione passa-banda HR(f), allo scopo di limitare la banda del rumore ricevuto, e quindi ridurre l’entità della potenza di rumore in ingresso al ricevitore. Il filtro HR(f) presenta un modulo costante nella banda del segnale, mentre tende a zero al di fuori di tale banda. In questo modo, il segnale utile x(t) transita inalterato, ed il rumore n(t) viene limitato in banda, producendo ν(t).

13.1.1  Rapporto segnale-rumore e banda di rumore

Considerando la densità di potenza del segnale modulato Px(f) e quella del rumore Pν(f), la qualità di ricezione (in funzione della frequenza) è descritta dal rapporto
SNRRF(f) = (Px(f))/(Pν(f))
in cui Px(f) dipende dal tipo di modulazione (cap. 10↑), mentre dopo il filtraggio passa-banda, Pν(f) risulta pari a
Pν(f) = Pn(f)|HR(f)|2 =  (N0)/(2)|HR(f)|2
banda di rumore
D’altra parte, ha senso valutare l’SNR complessivo, ovvero il rapporto tra le potenze di segnale e di rumore totali: la potenza di segnale risulta allora pari a Px  =  − ∞Px(f)df, mentre perquella di rumore si ottiene Pν  =  − ∞(N0)/(2)|HR(f)|2df, valutando cioè la potenza che attraversa il filtro di ricezione HR(f). A questo proposito, data l’impossibilità pratica di realizzare un filtro passa-banda ideale (rettangolare), HR(f) è caratterizzata da una banda (a frequenze positive, vedi § 9.1.4↑) Bν, più estesa di BRF (che è la banda di segnale). La potenza totale del rumore uscente da HR(f) risulta pertanto pari a
Pν  =  (N0)/(2) − ∞|HR(f)|2df =   =  N00|HR(f)|2df  = N0BN|HR(f0)|2
Il termine BRF  ≤ BN ≤ Bυ rappresenta la cosiddetta banda di rumore definita come
BN = (0|HR(f)|2df)/(|HR(f0)|2)
ossia come la banda di un filtro ideale (rettangolare) che lascia passare la stessa quantità di rumore.

13.1.2  Demodulazione di un processo di rumore

Il rumore ν(t) che esce dal filtro di ricezione HR(f) è di tipo passa-banda, e può quindi essere descritto nei termini delle sue componenti analogiche di bassa frequenza:
ν(t)  = νc(t)cosω0t − νs(t)sinω0t
in cui, ricordando i risultati ottenuti al § 9.6.2↑, νc(t) e νs(t) sono entrambe gaussiane se ν(t) lo è; osserviamo inoltre che nel caso in cui la banda di ν(t) sia stretta rispetto a f0, l’inviluppo complesso ν(t) = νc(t) + jνs(t) evolve lentamente rispetto alla velocità di rotazione di ν(t)ejω0t.

 Demodulazione di un processo di rumore  Demodulazione di un processo di rumore

Figura 13.3 Densità spettrale e d.d.p. delle c.a. di b.f.  del rumore demodulato
La figura 13.3↑ rappresenta la situazione in cui il rumore n(t) in ingresso a HR(f) sia un processo ergodico bianco con densità di potenza Pn(f) = (N0)/(2), ed il filtro di ricezione possegga una risposta in frequenza unitaria |HR(f0)|2 =  1; in questo caso si ottiene che
Pν(f) = (N0)/(2) rectBN(f  − f0) + (N0)/(2) rectBN(f  + f0)
e quindi
Pνc(f) = Pνs(f) = 2 P  + ν(f  + f0) = N0 rectBN(f)
Pertanto, νc(t) e νs(t) risultano essere due processi congiuntamente gaussiani, ergodici, a media nulla ed uguale varianza (e potenza)
σ2νc  = σ2νs  = Pν = N0BN
In definitiva quindi, operando una demodulazione coerente in fase ed in quadratura del segnale ricevuto, nelle componenti analogiche risultanti saranno presenti i termini additivi νc(t) e νs(t), entrambi di potenza Pν = N0BN.
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