Sezione 13.1: Il rumore nei segnali modulati Su  Capitolo 13: Prestazioni delle trasmissioni modulate Sezione 13.3: Detezione di sinusoide nel rumore 

13.2  Prestazioni delle trasmissioni AM

Per valutare il rapporto SNR per le diverse tecniche di modulazione am, esprimiamo il segnale modulato nei termini delle sue componenti analogiche
xAM(t) = xc(t)cosω0t − xs(t)sinω0t
Demodulando in modo coerente in fase e quadratura il segnale x(t) affetto da rumore bianco n(t) e filtrato da HR(f) come in figura,
Demodulazione coerente in fase e quadratura
si ottengono le due componenti analogiche per il segnale demodulato: dc(t)  =  xc(t) + νc(t) ds(t)  =  xs(t) + νs(t) . Tra la potenza del segnale ricevuto e quella delle sue c.a. di b.f. sussiste[555]  [555] Infatti i segnali xc(t)cosω0t e xs(t)sinω0t risultano ortogonali, e le potenze si sommano. la relazione: Px  = (1)/(2) Pxc  + (1)/(2) Pxs.

13.2.1  Potenza di segnale e di rumore dopo demodulazione ed SNR

Nel caso di modulazione am, siamo interessati alla sola componente in fase, che è sufficiente a fornire m(t); il rapporto tra Pxc e Pνc fornirà dunque il valore di SNR che stiamo cercando. La tabella che segue mostra i valori delle componenti di segnale e di rumore, assieme alle rispettive potenze espresse in funzione di una medesima potenza di messaggio Pm, per tre casi di modulazione am, di cui discutiamo individualmente.

xc(t) xs(t) Pxc Px BN Pνc
BLD-PS m(t) 0 Pm (1)/(2)  Pm 2W 2WN0
BLD-PI (η)(ap  + m(t)) 0 ηα (1)/(2)ηα  = (1)/(2)  Pm 2W 2WN0
BLU-PS (1)/((2))m(t) (1)/((2))^m(t) (1)/(2)  Pm (1)/(2)  Pm W WN0
Questa tabella estende quella al § 10.1.4↑, rispetto alla quale si considera il termine ka ora inglobato in m(t), e quindi non più posto in evidenza; inoltre, si pone α = (a2p  + Pm). Inoltre, la banda di rumore BN presa in considerazione nella tabella è la minima possibile, pari a quella del segnale modulato BRF, direttamente legata (nella modulazione am) a quella (±W) del segnale modulante. Pertanto, i risultati che otterremo sono i migliori possibili: infatti, se BN  > BRF, l’SNR risulterà peggiore. Precisiamo infine che nella valutazione dell’SNR che segue, ci si riferisce sempre ad una medesima potenza ricevuta Px e ad una densità di rumore Pn(f) = (N0)/(2), allo scopo di rendere confrontabili i risultati.

13.2.1.1  Modulazione BLD-PS

In questo caso si ha Pxc  = Pm e Px  = (1)/(2) Pm; dopo demodulazione il segnale dc(t) = xc(t) + νc(t) presenta dunque una potenza di segnale utile Pxc =  Pm = 2  Px (con Px pari alla potenza del segnale ricevuto) ed una potenza di rumore Pνc =  2WN0; dunque un rapporto segnale-rumore pari a
SNR = (Pxc)/(Pνc) = (Pm)/(2WN0) = ( Px)/(WN0) = SNR0
in cui nell’ultima eguaglianza si definisce:
SNR di riferimento La grandezza SNR0 è denominata rapporto segnale-rumore di riferimento, ed è il rapporto tra la potenza di segnale ricevuto e la potenza di rumore in una banda pari a quella del messaggio di banda base.[556]  [556] In virtù di questa definizione, SNR0 è una grandezza che caratterizza le condizioni operative (Px, Pn(f) = (N0)/(2) e W sono grandezze indipendenti) ma non è legata alla particolare tecnica di modulazione adottata. Pertanto, esprimere SNR in funzione di SNR0 permette il confronto tra i diversi tipi di modulazione a parità di condizioni operative.
Osserviamo dunque che la modulazione bld-ps non altera il rapporto SNR0 di banda base, ovvero è come se il processo di modulazione fosse assente. Notiamo infine (e questo è valido anche per i casi che seguono) che SNR può riferirsi indifferentemente sia alle potenze di segnale che a quelle disponibili (vedi § 15.1.1.3↓), in quanto SNR0  = ( Px)/(WN0)  = ( Px)/(WN0)(4Rg)/(4Rg) = (Wdx)/(WdN).

13.2.1.2  Modulazione BLU-PS

In questo caso, per ottenere una Px  = (1)/(2) Pm uguale al caso bld-ps, le componenti xc(t) ed xs(t) devono essere poste rispettivamente pari a (1)/((2))m(t) e (1)/((2))^m(t) (vedi § 10.1.4↑).
A seguito del processo di demodulazione, si ottiene (vedi § 9.6.2↑) un rumore in banda base che occupa ancora una banda ±BN come nel caso am-bld,
demodulazione BLU-PS
ma possiede una densità uguale a quella del rumore a radio frequenza (e non doppia come al § 13.1.2↑), in quanto i contenuti a frequenze positive e negative non si sovrappongono, come mostrato in figura. Pertanto risulta:
SNR = (Pxc)/(Pνc) = ((1)/(2) Pm)/(WN0)  = ( Px)/(WN0)  = SNR0
Dunque, si ottengono prestazioni identiche a quelle del caso am-bld. Si noti che il risultato è valido solo se ν(t) è effettivamente limitato alla sola banda BRF del segnale blu: se infatti si fosse adottato un filtro con banda più larga, come ad esempio un HR(f) con BN = 2W, si sarebbe ottenuto Pνc(f) = N0, ed SNR risulterebbe dimezzato.

13.2.1.3  Modulazione BLD-PI

Per ottenere una potenza di segnale ricevuto Px  = (1)/(2) Pm uguale ai due casi precedenti, si considera la ricezione di un segnale
x(t)  = (η)(ap  + m(t))cosω0t incui η = (Pm)/(a2p  + Pm)
dove η è proprio pari all’efficienza della bld-pi introdotta al § 10.1.1.4↑. Nel valutare l’SNR, faremo riferimento alla sola componente di messaggio (η)m(t) del segnale demodulato Px, che ha potenza ηPm  = 2ηPx: la quantità a2p si riferisce infatti alla portante non modulata, e non trasporta informazione. Si ha pertanto:
SNR = (Pxc)/(Pνc) = (2ηPx)/(2WN0) = η(2  Px)/(2WN0)  = ηSNR0
Dunque in questo caso constatiamo che la presenza della portante comporta una riduzione di prestazioni proprio pari all’efficienza η = (Pm)/(a2p  + Pm).
L’analisi fin qui esposta si riferisce però al caso di demodulazione coerente: invece per bld-pi si usa il demodulatore di inviluppo (§ 10.2.5↑) ! In tal caso, il segnale demodulato è il modulo dell’inviluppo complesso, ovvero
d(t)  = |x(t) + ν(t)| = ([(η)(ap  + m(t)) + νc(t)]2  + ν2s(t))
Nel caso in cui ν(t) sia piccolo, si può ottenere una approssimazione che ci riconduce al caso precedente.
figure f95.7.png
In caso contrario, sorgono termini prodotto tra m(t) e νc(t), ed in definitiva l’SNR risulta peggiore (per bassi SNR0) del caso di demodulazione sincrona omodina, come illustrato nella curva riportata a fianco.
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