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13.3  Detezione di sinusoide nel rumore

Torniamo ad occuparci della demodulazione in fase e quadratura introdotta al § 10.2.4↑, ora applicata al problema di rilevare la presenza o meno di una sinusoide s(t) immersa nel rumore entro una banda BN, esigenza che affronteremo mediante il formalismo della verifica di ipotesi (§ 5.6.1↑) basata sul confronto tra il valore di una variabile di osservazione ρ, e quello di una soglia di decisione γ. In fig. 13.7↓ si mostra lo schema simbolico rappresentativo dei passaggi svolti per arrivare a ρ. Al § 14.6↓ verrà adottato uno schema analogo, applicato al caso della trasmissione numerica.
Detezione incoerente di sinusoide immersa nel rumore
Figura 13.7 Detezione incoerente di sinusoide immersa nel rumore

13.3.1  Statistica della grandezza di osservazione

Nel caso in cui la sinusoide s(t) sia assente, le c.a. demodulate x(t) e y(t) sono rispettivamente pari a quelle del processo di rumore νc(t) e νs(t), che come sappiamo (§ 13.1.2↑) sono processi congiuntamente gaussiani ed incorrelati, con media nulla e varianza σ2  = N0BN, come rappresentato in fig. 13.3↑. Viceversa, qualora s(t) = Acosω0t sia presente, all’uscita del ramo in fase x(t) si somma la componente in fase di s(t), pari ad A, che diventa dunque il nuovo valor medio della v.a. estratta da x(t), come rappresentato nella figura alla pagina seguente.
componenti analogiche di bassa frequenza del rumore demodulato
Applichiamo dunque la teoria affrontata al § 5.4.2↑ sulle trasformazioni di v.a. per definire la d.d.p. della v.a. ρ  = (x2  + y2) che sarà confrontata con la soglia γ, e che corrisponde al modulo ρ = |z| dell’inviluppo complesso demodulato z = x + jy, ovvero z = ρejφ quando espresso in coordinate polari. Definiamo dunque la trasformazione in oggetto, assieme alle rispettive funzioni inverse, come
(16.1) ρ = (x2  + y2) φ = arctan(y)/(x) x = ρcosφ y = ρsinφ
e mostriamo come, nei due casi di segnale assente o presente, la v.a. ρ assume rispettivamente la d.d.p. di Rayleigh oppure quella di Rice.
Variabile aleatoria di Rayleigh
In assenza di segnale x ed y sono due v.a. gaussiane indipendenti, a media nulla e uguale varianza σ2, la cui d.d.p. congiunta di (x,  y) si ottiene[557]  [557] Vedi anche il § 5.5.1↑ come prodotto delle d.d.p. marginali, e vale
(16.2) pX,  Y(x,  y) = (1)/(2πσ2)exp  − (x2  + y2)/(2σ2)
La pP, Φ(ρ,  φ) viene quindi calcolata come prescritto dalla (10.15↑) di pag. 1↑, valutando[558] [558] 
Il calcolo dei due termini si esegue come
pX, Y(x(ρ,  φ),  y(ρ,  φ))  = (1)/(2πσ2)exp  − (ρ2(cos2φ + sin2φ))/(2σ2)  = (1)/(2πσ2)exp  − (ρ2)/(2σ2)

|J(x,  y ⁄ ρ, φ)| = ||| (x)/(ρ) (x)/(φ) (y)/(ρ) (y)/(φ) |||  = ||| cosφ  − ρsinφ sinφ ρcosφ |||  = ρ(cos2φ  + sin2φ) = ρ
le espressioni per pX,  Y(x(ρ,  φ), y(ρ,  φ)) e |J(x,  y ⁄ ρ, φ)|, e ottenendo così
pP, Φ(ρ,  φ) = (ρ)/(2πσ2)exp  − (ρ2)/(2σ2)   con 0  < ρ  <   − π  < φ  <  π
Le d.d.p. marginali pP(ρ) e pΦ(φ) si ottengono quindi saturando[559]  [559] Svolgiamo il calcolo solo per la prima relazione:
pP(ρ) = π  − πpP, Φ(ρ,  φ)dφ = (ρ)/(2πσ2)exp  − (ρ2)/(2σ2)π − πdφ  = (ρ)/(σ2)exp  − (ρ2)/(2σ2)
la d.d.p. congiunta rispetto all’altra variabile, ricavando
(16.3) pP(ρ) = (ρ)/(σ2)exp − (ρ2)/(2σ2)  conρ ≥ 0; pΦ(φ) = (1)/(2π)con  − π < φ ≤ π
Densità di probabilità di Rayleigh
Figura 13.9 Densità di probabilità di Rayleigh
L’espressione di pP(ρ) in (16.3↑) prende nome di d.d.p. di Rayleigh, graficata in fig. 13.9↓, mentre il valor medio e la varianza della v.a. ρ valgono rispettivamente
mP = σ((π)/(2))  e σ2P = σ22  − (π)/(2)
E’ inoltre possibile mostrare che per essa vale la proprietà
(16.4) Pr{ρ  > γ}  = γpP(ρ)dρ  = exp  − (γ2)/(2σ2)
Quest’ultimo valore può rappresentare la probabilità di mancare un bersaglio per una distanza superiore a γ, nell’ipotesi che gli errori di puntamento orizzontale e verticale siano entrambi gaussiani, indipendenti, a media nulla ed uguale varianza.
Variabile aleatoria di Rice
Torniamo ora a considerare il caso in cui il tono s(t) sia presente, ed allora le relazioni (16.1↑) possono ancora essere applicate considerando, al posto di x, la v.a. x, sempre gaussiana con varianza σ2, ma ora con media pari ad A, ovvero la componente in fase di s(t).
In tal caso, la d.d.p. pP(ρ) è detta di Rice, ed ha espressione[560] [560] Osserviamo innanzitutto che d.d.p. congiunta di partenza si scrive ora come
pX’, Y(x’,  y)  = (1)/(2πσ2)exp  − ((x’ − A)2  + y2)/(2σ2)
in quanto x è una v.a. gaussiana con media A e varianza σ2. Sostituendo quindi nell’esponente x’  = ρcosφ e y = ρsinφ, si ottiene
(x’ − A)2  + y2 = ρ2cos2φ  + A2 − 2ρAcosφ + ρ2sin2φ  = ρ2 + A2 − 2ρAcosφ
Osservando ora che il giacobiano della trasformazione ha un valore pari a ρ anche in questo caso, otteniamo
pP, Φ(ρ,  φ)  =  pX’, Y(x(ρ,  φ),  y = y(ρ, φ))|J(x’,  y ⁄ ρ, φ)|  =  (ρ)/(2πσ2)exp  − (ρ2 + A2)/(2σ2)exp(ρAcosφ)/(σ2)
La saturazione di questa d.d.p. congiunta, operata eseguendo pP(ρ) = π  − πpP, Φ(ρ,  φ)dφ, determina il risultato mostrato.
(16.5) pP(ρ) = (ρ)/(σ2)exp − (ρ2  + A2)/(2σ2)I0(ρA)/(σ2)  perρ ≥ 0
dove I0(z) = (1)/(2π)2π0 ezcosφdφ è la funzione modificata di Bessel del primo tipo ed ordine zero[561] [561] Anche nella figura a pag. 1↑ si parla di funzioni di Bessel Jn(x), ma queste modificate sono in relazione a quelle, come In(x) = j − nJn(jx) - vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Armoniche_cilindriche., la cui espressione non ne permette il calcolo in forma chiusa, ma che può essere approssimata come I0(z) ~ e(z2)/(4) per z≪1, e come I0(z) ~ (ez)/((2πz)) per z≫1.
Nella parte a sinistra in fig. 13.10↓ è mostrato l’andamento di pP(ρ) con σ = 1 e tre diversi valori di A, che possiamo confrontare a quello della seconda curva per la d.d.p. di Rayleigh alla pagina precedente, ottenuto per lo stesso valore di σ. Notiamo infine che per A = 0 si torna al caso di Rayleigh, mentre per valori crescenti di A, l’andamento della d.d.p. di Rice approssima sempre più quello di una gaussiana. Nella parte a destra di fig. 13.10↓
Densità di probabilità di Rice figure f10.30c.png
Figura 13.10 Densità di probabilità di Rice (a sin) e coppia di gaussiane bidimensionali a varianza unitaria, la prima a media nulla, e la seconda centrata in (5,0) (a ds)
sono invece raffigurate le gaussiane bidimensionali che danno luogo alle distribuzioni di Rayleigh e di Rice.

13.3.2  Detezione incoerente di sinusoide nel rumore

Consideriamo ora il caso in cui il segnale s(t) (quando presente) giunga con una fase diversa da quella del demodulatore i-q, ovvero s(t) = Acos(ω0t  + φ): come discusso al § 10.2.3.1↑, a ciò corrisponde una semplice rotazione degli assi dell’inviluppo complesso z = x  + jy, e quindi il suo modulo ρ  = (z) continua ad essere descritto dalla medesima d.d.p. di Rice eq. (16.5↑). Inoltre, nel caso in cui anche la frequenza di s(t) è diversa[562]  [562] Purché la nuova frequenza f0  + Δf rientri nella banda di ricerca BN. da quella del demodulatore ovvero s(t) = Acos(ω0 + Δω)t, l’inviluppo complesso z = x  + jy ruota con velocità angolare Δω, ma il suo modulo ρ rimane costante e pari ad A, dando luogo anche in questo caso alla d.d.p. di Rice.
Applichiamo ora i principi della decisione statistica (§ 5.6.1↑) allo schema raffigurato in fig. 13.7↑, sfruttando i risultati fin qui ottenuti: nel caso di segnale assente, indicato come ipotesi H0, la v.a. di osservazione ρ ha d.d.p. di Rayleigh, mentre con s(t) presente (ipotesi H1), d.d.p. di Rice. In entrambi i casi la dinamica dei valori di ρ è direttamente legata (attraverso le (16.3↑) e (16.5↑)) alla potenza di rumore in ingresso σ2  = N0BN, pari a quella delle c.a. di b.f. νc(t) e νs(t), mentre per quanto riguarda il suo valor medio, nell’ipotesi H0 si ha mρ = 0, e per H1 risulta mρ  → A con A > σ.
In figura 13.11↓ si mostra dunque il confronto tra le due d.d.p. condizionate alle ipotesi p(ρ  ⁄ H0) e p(ρ ⁄ H1), considerando (ad esempio) σ = 1 ed A = 4. Viene inoltre mostrato un possibile
Soglia di decisione statistica
Figura 13.11 Soglia e probabilità di decisione statistica
valore per la soglia γ, contro il quale confrontare ρ per effettuare la decisione, a seconda se ργ, a favore rispettivamente di H0 ed H1. La migliore scelta per γ si basa sulla probabilità a priori della presenza di s(t), e su criteri di utilità, o di rischio, guidati dalle probabilità dei seguenti eventi:
in cui gli ultimi due valori sono riferiti ad eventi di errore.
La nomenclatura adottata è quella tipica dei radar; in tale contesto, può aver senso tentare di spostare γ in modo da favorire l’uno o l’altro evento in base a considerazioni strategiche[563] [563] In ambito militare, può aver senso massimizzare la probabilità di detezione, a spese di un aumento di quella di falso allarme, tranne nel caso in cui quest’ultimo non provochi conseguenze del tutto irreversibili, e “sbagliate” in caso di errore. Ragionamenti opposti possono essere svolti in campo medico, in cui si dovrebbe preferire un falso allarme, piuttosto che trascurare l’importanza di un sintomo.. Nel caso in cui la gravità dei due errori sia equivalente, e se le probabilità a priori di H0 ed H1 sono uguali, la probabilità di errore
(16.6) Pe  = Pr(H0)Pr(e ⁄ H0)  + Pr(H1)Pr(e ⁄ H1)  = (1)/(2)Pfa + (1)/(2)Pp
risulta minimizzata qualora si adotti una decisione di massima verosimiglianza (vedi § 5.6.3↑), ponendo γ nel punto in cui le due curve si intersecano (come in figura 13.11↑), in modo da preferire l’ipotesi Hi per la quale la probabilità condizionata Pr(ρ  ⁄ Hi), ossia la verosimiglianza (Hi  ⁄ ρ), è più grande.
Una valutazione asintotica delle prestazioni può essere svolta notando che all’aumentare di (A)/(σ), il valore di γ si avvicina (da destra) ad (A)/(2); ponendo quindi γ  = (A)/(2) e sostituendo le espressioni di Rayleigh (16.3↑) e di Rice (16.5↑) per le d.d.p. condizionate in quella (16.6↑) della Pe, otteniamo
(16.7) Pe  = (1)/(2)(A)/(2)(ρ)/(σ2)exp − (ρ2)/(2σ2)dρ  + (1)/(2)(A)/(2)0(ρ)/(σ2)exp − (ρ2  + A2)/(2σ2)I0(ρA)/(σ2)dρ
Per ciò che riguarda il primo termine, applicando il risultato (16.4↑) si trova il valore
(A)/(2)(ρ)/(σ2)exp − (ρ2)/(2σ2)dρ  = exp  − (A2)/(8σ2)
Per il secondo termine, osserviamo che il suo valore è ben più piccolo del primo (si veda la figura tracciata per A  = 4, o le considerazioni riportate al § 13.5.1↓), e quindi può essere trascurato, fornendo in definitiva
(16.8) Pe(1)/(2)exp  − (A2)/(8σ2)
per (A)/(σ)≫1. Ricordando ora che (A2)/(2) rappresenta la potenza della sinusoide, e che σ2 è la potenza del rumore, il risultato trovato ha una immediata interpretazione in termini di SNR = (A2  ⁄ 2)/(σ2):
(16.9) Pe(1)/(2)exp  − (SNR)/(4)
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