Sezione 14.11: Sincronizzazione Su  Capitolo 14: Modulazione numerica Capitolo 15: Caratterizzazione circuitale, rumore e equalizzazione 

14.12  Appendici

14.12.1  Ortogonalità tra simboli sinusoidali

Al § 14.5.1↑ si è introdotta la modulazione fsk ortogonale, e nelle note è iniziata la discussione relativa alla condizione di ortogonalità tra la forma d’onda sinusoidale di durata Ts ricevuta, e quella prodotta al ricevitore come ingresso ai correlatori di un banco. Prendiamo pertanto ora in considerazione segnali del tipo cos[2π(f0  + Δfk)t +  φk], in cui è inclusa una differenza (o errore) di fase aleatorio tra le forme d’onda, in modo da esaminare le differenze tra il caso di modulazione coerente ed incoerente.
Iniziamo dunque con lo sviluppare l’espressione dell’integrale di intercorrelazione ρ = Ts0cos[2π(f0  + mΔ)t]cos[2π(f0  + nΔ)t  + φ]dt facendo uso della relazione cosαcosβ  = (1)/(2)[cos(α + β)  + cos(α  − β)] e riferendoci per semplicità al caso di due frequenze contigue (ponendo m = 0 ed n  = 1):
(16.56) ρ  =  (1)/(2)Ts0{cos[2π(2f0 + Δ)t  + φ] + cos[2πΔt  − φ]}dt  =   =  (1)/(2)Ts0cos[2π(2f0  + Δ)t + φ]dt  + (1)/(2)Ts0cos[2πΔt − φ]dt
Per quanto riguarda il primo integrale, esso assume un valore nullo se 2f0 + Δ = (k)/(Ts), perché in tal caso in un intervallo Ts entrano un numero intero di periodi, ed il coseno ha valor medio nullo. Concentriamoci allora sul valore di Δ che annulla anche il secondo integrale, che riscriviamo facendo uso della relazione cos(α  − β) = cosαcosβ +  sinαsinβ:
(16.57) Ts0cos(2πΔt − φ)dt  =   =  Ts0[cos(2πΔt)cosφ + sin(2πΔt)sinφ]dt  =   =  (sin(2πΔt))/(2πΔ)||Ts0⋅cosφ  − (cos(2πΔt))/(2πΔ)||Ts0⋅sinφ  =   =  Ts(sin(2πΔTs))/(2πΔTs)⋅cosφ + (1 − cos(2πΔTs))/(2πΔTs)⋅sinφ
Osserviamo ora che, nel caso in cui φ = 0, il secondo termine della (16.57↑) si annulla per qualunque Δ. Esaminiamo quindi ora solamente il primo termine, individuando così il risultato relativo al caso di
Modulazione coerente
Si riferisce al caso in cui φ  = 0. Il termine (sin(2πΔTs))/(2πΔTs) = sinc(Ts) si annulla per Δ  = (k)/(2Ts), e quindi la minima spaziatura tra portanti risulta Δ = (1)/(2Ts)  = (fs)/(2); pertanto, le frequenze utilizzate dovranno essere del tipo f0  + k(fs)/(2).
Per fare in modo che anche il primo termine della (16.56↑) si annulli, deve sussistere la relazione 2f0  + Δ = 2f0  + (fs)/(2)  = (k)/(Ts)  = kfs, che fornisce la condizione f0  = fs(2k  − 1)/(4), ossia f0 deve essere scelta come uno tra i valori (1)/(4)fs,   (3)/(4)fs,  (5)/(4)fs,  (7)/(4)fs, …. Notiamo come la spaziatura (fs)/(2) ora individuata tra i possibili valori per la portante, coincide con quella Δ tra le frequenze di segnalazione. Pertanto la parte sinistra della figura 14.63↓ rappresenta, disegnate in un intervallo pari a Ts, sia le portanti che possono essere usate, sia le prime frequenze che è possibile adottare per un modulazione fsk coerente basata sul valore minimo di f0 pari a (1)/(4)fs[670] [670] Possiamo notare come la spaziatura tra le frequenze di segnalazione di (fs)/(2) fa si che due forme d’onda con una differenza di frequenza nΔ  = n(fs)/(2) accumulino in un intervallo Ts una differenza di fase di nπ, ovvero un numero intero di semiperiodi. .

figure f10.19.png figure f10.191.png
Figura 14.63 Forme d’onda ortogonali nei casi di modulazione coerente ed incoerente
Nel caso in cui f0 non assuma uno dei valori individuati, il primo termine di (16.56↑) non si annulla, ma se f0(1)/(Ts), risulta trascurabile rispetto al secondo. Pertanto, se f0fs la scelta di f0 non è più determinante.
Modulazione incoerente
In questo caso si ha φ  ≠ 0. In generale la (16.57↑) presenta entrambi i termini; mentre il primo (come già osservato) si annulla per Δ = (k)/(2Ts), il secondo invece è nullo solo se Δ = (k)/(Ts). Questa circostanza determina il risultato che occorre ora adottare una spaziatura tra portati doppia della precedente, e pari cioè a Δ  = fs.
Torniamo ad esaminare la (16.56↑): ora il suo primo termine si annulla se 2f0  + Δ = 2f0  + fs = kfs, che determina la condizione f0  = fs(k − 1)/(2), ossia f0 = 0,  (1)/(2)fs,   fs,  (3)/(2)fs,  …. Notiamo come la spaziatura (fs)/(2) tra i possibili valori per la portante sia identica al caso precedente, mentre la spaziatura necessaria alle frequenze di segnalazione è raddoppiata. La circostanza che ora sia ammessa anche una “portante a frequenza nulla” consente quindi di tracciare la parte destra della figura 14.63↑, che mostra le prime frequenze di segnalazione che è possibile adottare per una modulazione fsk incoerente basata sul valore minimo di f0  = 0.
Verifica grafica
In figura 14.64↓ è mostrato il risultato del prodotto di due frequenze distanti (fs)/(2) e calcolate in assenza di errore di fase (a sinistra) e con un errore di fase pari a φ  = (π)/(2). Si può notare come in questo secondo caso si perda l’ortogonalità tra i segnali, essendo il risultato prevalentemente negativo.

figure f10.192.png figure f10.193.png
Figura 14.64 Prodotto di due frequenze ortogonali distanti (fs)/(2) in assenza di errore di fase (a sn) e con errore pari a φ  = (π)/(2) (a ds)

14.12.2  Prestazioni della modulazione OFDM

Il calcolo della Pe per bit accennato al § 14.8.5↑ si basa su quello relativo alle probabilità di errore Pen condizionato alle singole portanti. Dato che la portante n-esima trasporta Mn bit/simbolo, la probabilità che un bit generico provenga dalla portante n-esima risulta pari a Pr(n) = (Mn)/(M) e quindi la probabilità che sia errato è pari a
(16.58) Pe  =  − 1n = 0Pr(n)Pe  ⁄ n = (1)/(M) − 1n = 0MnPen

14.12.2.1  Calcolo della Pe per portante

Per determinare il valore di Pen per la portante n-esima si applica il risultato trovato al § 14.3.1↑ per la modulazione qam, che esprime Pen in funzione del numero di livelli Ln  = 2Mn e dal rapporto (Eb)/(N0)n per tale frequenza. Ma l’eq. (16.29↑) è ricavata considerando la densità di potenza del rumore in ingresso al ricevitore limitata da un filtro con banda pari a quella del segnale qam, mentre ora tale filtro lascia passare l’intera banda NΔ occupata dal segnale ofdm, e quindi occorre valutare l’effetto prodotto da questo rumore sui valori an ottenuti mediante fft. Inoltre, vorremmo pervenire ad un risultato valido anche in presenza di rumore non bianco, e/o di una distribuzione di potenza sulle portanti non uniforme. Pertanto, al posto del rapporto EbN0 che compare nella (16.29↑) utilizziamo ora il rapporto SNRn tra la quota di potenza di segnale che raggiunge l’n-esimo decisore, e la varianza (dovuta al rumore) della v.a. an su cui si basa tale decisione, ottenendo così[671]  [671] La (16.59↓) può essere derivata dalle (16.28↑) e (16.29↑) considerando (Enb)/(Nn0)  = (SNRn)/(log2Ln), ovvero invertendo l’eq. (10.69↑) SNR = (Eb)/(N0)(2log2L)/((1  + γ)) con γ = 0 e notando che a differenza del caso di banda base, per segnali am la banda (e la potenza di rumore) raddoppia. Ma se questa è una spiegazione troppo sintetica, ripercorriamo tutti i passaggi.
Partiamo dalla probabilità di errore condizionata (10.66↑) Pδ  = erfc(Δ)/(2(2)σN(L − 1)) del caso di multilivello di banda base, ed osserviamo che per un impulso rettangolare g(t) = rectT0(t) la (10.70↑) si modifica in PR  = (Δ2)/(12)(L +  1)/(L  − 1) in quanto PR  = PR(f)df = σ2A(|G(f)|2)/(T0)df dove σ2A = (Δ2)/(12)(L +  1)/(L  − 1) come ottenuto al § 8.5.4↑, mentre |G(f)|2df  = T20sinc2(fT0)df  = T0 (vedi nota 14.6↑).
In tal modo, eseguendo i passaggi di cui alla nota 8.3.3.1↑ a pag. 1↑ otteniamo Pδ  = erfc{((12 PR(L  − 1)(L + 1))/(2(2)σn(L − 1)))} =  erfc{((3)/(2)(1)/(L2  − 1)SNR)} che conduce alla (16.59↓) ricordando che per il qam ogni ramo ha (L) livelli, e che eseguendo il valore atteso rispetto alle probabilità dei simboli si ottiene Pe(bit)  = 1  − (1)/((L))Pδ (vedi eq. (10.67↑)).
(16.59) Pe  ⁄ n = (2)/(log2Ln)Pαn incui Pαn  = 1  − (1)/((Ln))erfc{((3)/(2)SNRn(1)/(Ln  − 1))}
ed in cui \strikeout off\uuline off\uwave offPαn\uuline default\uwave default esprime la probabilità di errore su di uno dei rami (in fase od in quadratura) della n-esima costellazione qam con Ln punti, che rappresentano gruppi di bit secondo la codifica di Gray. Per il calcolo di
SNRn = (PcRn)/(PcNn) = (PsRn)/(PsNn) = ((1)/(2)  PRn)/((1)/(2)  PNn) = (PRn)/(PNn)
osserviamo che la potenza PRn dell’inviluppo complesso del segnale ricevuto sulla portante n-esima è pari a
PRn  = 2 PRn  = 2(T0)/(T)αnP
in cui P è la potenza totale ricevuta, e αn  = (Pn)/(P) è la frazione di potenza assegnata alla n-esima portante. Resta quindi da determinare PNn.

14.12.2.2  Potenza di rumore per portante

Per quanto riguarda PNn, si tratta di applicare la (16.47↑) alla sequenza {( − 1)hn(hTc)} dei campioni dell’inviluppo complesso del rumore, e determinare il valore
PNn  = E{(Nn)2} =  σ2Nn incui Nn  = (1)/(N)N  − 1h = 0(  − 1)hn(hTc)e − j2π(h)/(N)n
tenendo conto del fatto che i valori n(hTc) sono a media nulla, che (con n fissato) la fft ne effettua una combinazione lineare con coefficienti e  − j2π(h)/(N)n, e che essendo n(t) ergodico è possibile scambiare medie temporali e di insieme. Sviluppando
(Nn)2 = NnN*n  = (1)/(N2)N  − 1h = 0N − 1k = 0( − 1)h  − kn(hTc)n*(kTc)e − j2π(h  − k)/(N)n
e tenendo conto che E{( − 1)h  − kn(hTc)n*(kTc)} = ejπ(h − k)N((h − k)Tc) otteniamo[672] [672] La riduzione da due ad una sommatoria, si ottiene scrivendo esplicitamente tutti i termini della doppia sommatoria, e notando che si ottiene per N volte lo stesso termine N(0), N − 1 volte i termini N(Tc)ejπe  − j2π(1)/(N)n e N(  − Tc)e  − jπej2π(1)/(N)n, N − 2 volte quelli N(2Tc)ej2πe  − j2π(2)/(N)n e N(  − 2Tc)e − j2πej2π(2)/(N)n, e così via.
(16.60) PNn  =  (1)/(N2)N  − 1h = 0N − 1k = 0N((h  − k)Tc)ejπ(h − k)e − j2π(h  − k)/(N)n =   =  (1)/(N)N  − 1m =  − (N  − 1)(N −  |m|)/(N)N(mTc)ej2π(mTc)/(2Tc)e  − j2π(m)/(N)n  =   =  (1)/(N)N  − 1m =  − (N  − 1)z(m)e − j2π(m)/(N)n
in cui l’ultima riga semplifica l’espressione introducendo la sequenza {z(m)} di lunghezza N, che si ottiene campionando
(16.61) z(t) = 1  − (|t|)/(NTc)N(t)ej2π(t)/(2Tc)
agli istanti t = mTc con Tc = (1)/(NΔ). Mostriamo ora come, per N sufficientemente elevato, la (16.60↑) possa essere calcolata in funzione dei campioni di Z(f) = ℱ{z(t)}, ed in particolare di come risulti
PNn≃Δ⋅Z(f)|f  = nΔ≃4Δ⋅ PN(fn)
Analizzando i termini che compaiono in (16.61↑), osserviamo che il prodotto N(t)ej2π(t)/(2Tc) ha trasformata pari a PN(f), traslata in frequenza di  − (1)/(2Tc)  =  − (NΔ)/(2), ovvero
{N(t)ej2π(t)/(2Tc)}  = PNf  − (NΔ)/(2)
mentre il termine 1 − (|t|)/(NTc)  = tri2NTc(t) = tri(2)/(Δ)(t) possiede come noto trasformata {tri(2)/(Δ)(t)} = (1)/(Δ)sinc2(f)/(Δ); pertanto per N elevato il prodotto z(t) = ℛN(t)ej2π(t)/(2Tc)tri(2)/(Δ)(t) ha trasformata
Z(f)  = PNf  − (NΔ)/(2)*(1)/(Δ)sinc2(f)/(Δ)PNf  − (NΔ)/(2)
avendo approssimato (1)/(Δ)sinc2(f)/(Δ) come un impulso di area unitaria, per NΔ grande rispetto a Δ.
Dato che PN(f) è limitato in banda tra ±(NΔ)/(2), allora Z(f) è limitato in una banda compresa tra f =  0 ed f = NΔ, e z(t) è perfettamente rappresentato dai suoi campioni z(m) = z(mTc) che compaiono nella (16.60↑); in particolare, per N sufficientemente elevato, si ottiene[673] [673] Se campioniamo z(t) con periodo Tc  = (1)/(NΔ), il segnale Z(f) =  m =  − ∞Z(f − mNΔ) non presenta
aliasing (vedi figura), ed il passaggio di z(t)  = m  =  − ∞z(mTc)δ(t  − mTc) attraverso un filtro di ricostruzione
figure f10.235.png
H(f) = (1)/(NΔ)rectNΔf  − (NΔ)/(2) restituisce il segnale originario. Scriviamo pertanto
z(t)  = z(t)*h(t) = m  =  − ∞z(mTc)δ(t  − mTc)*sinc(NΔt)ejπNΔt
ed effettuiamone la trasformata:
Z(f)  =  {m =   − ∞z(mTc)δ(t  − mTc)}(1)/(NΔ)rectNΔf  − (NΔ)/(2)  =  [m =   − ∞z(mTc)e  − j2π(m)/(NΔ)f](1)/(NΔ)rectNΔf  − (NΔ)/(2)
che, calcolata alle frequenze f = nΔ con n = 0, 1, ..., N − 1 fornisce
Z(f)|f  = nΔ = (1)/(NΔ)m  =  − ∞z(mTc)e − j2π(m)/(N)n
Se ora non disponiamo di tutti i campioni z(mTc), ma solo degli 2N − 1 valori con m =  − (N  − 1), ..., 0, 1, ..., N − 1, la relazione precedente si applica ad un nuovo segnale z(t)  = z(t)rect2NTc(t), fornendo
Z(f)|f  = nΔ = (1)/(NΔ)N  − 1m =  − (N  − 1)z(mTc)e − j2π(m)/(N)n
In virtù delle proprietà delle trasformate, risulta
Z(f) = Z(f)*ℱ{rect2NTc(t)}Z(f)*δ(f) = Z(f)
in cui l’approssimazione è lecita per N elevato.
che
PNn  =  (1)/(N)N  − 1m =  − (N  − 1)z(m)e − j2π(m)/(N)n≃Δ⋅Z(f)|f = nΔ =   =  Δ⋅PNnΔ  − (NΔ)/(2)  = Δ⋅ PNΔn  − (N)/(2)  =   =  4Δ⋅  P + Nf0  + Δn  − (N)/(2)  = 4Δ⋅ PN(fn)  = 2Δ⋅ N0(fn)
in cui si è tenuto conto che PN(f) = 4 P  + N(f  + f0) e si è indicata la densità di potenza in ingresso come PN(f) = (N0(f))/(2).

14.12.2.3  Prestazioni per portante

Siamo finalmente in grado di scrivere
SNRn  =  (PRn)/(PNn) = (2(T0)/(T)αnP)/( N0(fn)) = (T0)/(T)αn(T0 P)/(N0(fn)) = (T0)/(T)αn(Es)/(N0(fn))  =   =  (T0)/(T)αn(EbM)/(N0(fn))  = (T0)/(T)(Ebn)/(Eb)(EbM)/(N0(fn))  = (T0)/(T)(EbnM)/(N0(fn))
avendo posto T0  P = Es = EbM pari all’energia di un simbolo di durata T0  = (1)/(Δ), ed avendo riscritto αn = (Pn)/(P) come αn  = (Ebn)/(Eb) in modo da porre in evidenza la Ebn della portante n-esima. La Pe per portante risulta quindi
(16.62) Pe  ⁄ n = (2)/(Mn)1  − (1)/((Ln))erfc{((3)/(2)(T0)/(T)(Ebn)/(N0(fn))(M)/(Ln  − 1))}

14.12.2.4  Caso di rumore bianco

Se PN(f) non dipende da f, possiamo scrivere
P  + N(f) = (N0)/(2)rectNΔ(f − f0)
e semplificare la (16.62↑), sostituendo ad N0(fn) la costante N0. In questo caso, il risultato PNn  = 2Δ⋅ N0 può essere ottenuto direttamente dalla (16.60↑): infatti, risulta
N(t) = ℱ − 1{ PN(f)} = ℱ − 1{4 P + N(f + f0)} = 2 N0NΔsinc(NΔt)
e dunque N(t) = 0 con t  = mTc = (m)/(NΔ) per m ≠ 0. Ciò permette di scrivere in definitiva
PNn  = (1)/(N)N(0) = (1)/(N)2 N0NΔ = 2Δ⋅  N0

14.12.2.5  Confronto con la portante singola

Proviamo a verificare se la modulazione ofdm è vantaggiosa in termini di prestazioni rispetto ad una qam monoportante che trasporti il medesimo flusso binario fb, occupi la stessa banda, ed a parità di potenza impiegata. Nel caso ofdm, considerando un tempo di guardia Tg = T − T0 nullo, in presenza di rumore bianco, e scegliendo un intervallo di simbolo T0 = (1)/(Δ) da cui derivare MOFDM =  T0fb, si ottiene αn = (1)/() e dunque valori Ebn  = αnEb = (Eb)/() uguali per le diverse portanti; pertanto la 16.62↑ diviene
POFDMe = Pe ⁄ n  = (2)/(MOFDM)1 − (1)/((Ln))erfc{((3)/(2)(Eb)/(N0)(1)/()(MOFDM)/(Ln  − 1))}
Nel caso qam a portante singola, considerando un impulso a coseno rialzato e roll-off γ  = (N)/() − 1 si determina una occupazione di banda pari a B = fs(1 + γ) che, se eguagliata a quella del caso ofdm, fornisce fs = Δ  = ()/(T0) e quindi MQAM  = (fb)/(fs) = (MOFDM)/(). Pertanto, visto il risultato del § 14.3.1↑ si ottiene
PQAMe  =  (2)/(MQAM)1 − (1)/((L))erfc{((3)/(2)(Eb)/(N0)(MQAM)/(L  − 1))}  =  (2)/(MOFDM)1 − (1)/((L))erfc{((3)/(2)(Eb)/(N0)(1)/()(MOFDM)/(L  − 1))}
che risulta identico a POFDMe qualora si noti che Ln  = 2Mn = 2(MOFDM)/() e L  = 2MQAM = 2(MOFDM)/() = Ln.
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