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14.2  Modulazione di fase

Prendiamo ora in esame il caso in cui l’informazione viene rappresentata dalla fase della portante.

14.2.1  Modulazione QPSK ed L-PSK

Questi due acronimi si riferiscono alla possibilità di usare rispettivamente quattro oppure L  > 4 scelte diverse[580] [580] Il caso in cui L = 2 ricade nel bpsk già discusso per la fase, dando luogo ad un segnale modulato con espressione
xL − PSK(t) = acos(ω0t  + φ(t))
e quindi un inviluppo complesso
(16.23) xL  − PSK(t)  = aejφ(t)  = acosφ(t)  + jasinφ(t)
in cui
(16.24) φ(t)  = k =  − ∞φkrectTs(t − kTs) e φkϵ{φ0, φ1,  …, φL − 1}
costellazione QPSK
La generica fase φi = (π)/(L) + i(2π)/(L) con i  = 0, 1, ⋯L − 1 rappresenta una delle L  = 2M possibili combinazioni di M bit di ingresso, e corrisponde ad uno dei punti mostrati nelle costellazioni di figura, che individuano il valore dell’inviluppo complesso ricevuto in assenza di rumore negli istanti di simbolo t  = kTs ed a cui si fanno corrispondere gruppi di bit in accordo alla codifica di Gray (§ 8.3.5.1↑). Lo stesso valore di fase è quindi mantenuto per tutto il periodo di simbolo se φ(t) è realizzata mediante rettangoli come indicato nella (16.24↑). Ma l’espressione (16.23↑) di xL  − PSK(t) in termini di {xc,   xs} evidenzia come il risultato sia ottenibile mediante una modulazione am in fase e quadratura[581]  [581] che non è una modulazione am-blu dato che xs ≠ ^xc, suggerendo l’implementazione del modulatore secondo lo schema di fig. 14.8↓, in cui i valori di cosφi e sinφi per gli L diversi gruppi di M bit sono precalcolati in una memoria a sola lettura, ed impiegati come ampiezze per realizzare due segnali dati di banda base, usati quindi come c.a di b.f. per il modulatore in fase e quadratura.
Modulatore L-PSK
Figura 14.8 Modulatore L-PSK
Occupazione di banda
L’uso di un codice nrz per φ(t), e quindi per xc ed xs, produce una occupazione di banda elevata per xL  − PSK(t), la cui densità di potenza in tal caso
figure f10.8a.png
acquisisce un andamento (sinx)/(x)2 centrato in f0 e con lobo principale di estensione[582] [582] Infatti un rettangolo di durata Ts ha trasformata sinc(Tsf), con il primo zero in f  = 1Ts  = fs, e la modulazione am-bld produce un raddoppio della banda occupata. pari ad 2fs = 2fbM, come rappresentato in figura per una densità di potenza in dB. L’occupazione di banda può essere limitata a
BL − PSK = fs(1 + γ)
se si realizza φ(t) mediante impulsi g(t) a coseno rialzato, potendo così scrivere
(16.25) xL  − PSK(t)  = ak  =  − ∞ejφkg(t − kTs)
Dinamica delle ampiezze
Adottando un impulso g(t) a coseno rialzato anziché rettangolare, x(t) passa dai punti della costellazione solo negli istanti di simbolo, mentre nell’intervallo tradue di essi segue traiettorie con ampiezza variabile[583]  [583] Se viceversa g(t) = rectTs(t), |x| giace su di un cerchio, spostandosi istantaneamente da un punto all’altro della costellazione, come illustrato nella figura a fianco,
QPSK
non permettendo al segnale modulato di rispettare la proprietà di ampiezza costante che una modulazione angolare dovrebbe avere[584]  [584] Nella parte superiore della figura è mostrato l’andamento delle c.a. di b.f. per 5 simboli di un qpsk realizzato adottando g(t) a coseno rialzato con γ  = 0.5, e si può notare che ognuna di esse assume il valore ±1 in corrispondenza di ogni periodo di simbolo. Nella parte inferiore è riportato il corrispondente segnale modulato, che come si vede non è affatto ad ampiezza costante.. Pertanto la scelta tra nrz o coseno rialzato dipende dalla necessità di limitare la dinamica delle ampiezze, piuttosto che l’estensione della banda.
Traiettoria di x(t)
Altrettanto interessante può essere riflettere sulla fig. 14.11↓
QPSK
Figura 14.11 Andamento delle c.a. di b.f. xc ed xs per dieci simboli di segnale qpsk, in coordinate cartesiane e polari (a sn.), traiettoria dell’inviluppo complesso x(t) per 10 simboli (al centro) e per 100 simboli (a ds.)
in cui si mostrano xc ed xs ancora per una modulazione qpsk, valutate con g(t) a coseno rialzato (γ = 0.5) per 10 campioni per simbolo, e mostrate per 10 simboli in coordinate cartesiane e polari; al centro è mostrato la corrispondente evoluzione per x(t), mentre a destra si mostra la traiettoria di x(t) visualizzata per 100 simboli.
Efficienza spettrale
Per l-psk l’efficienza spettrale è identica a quanto ottenuto per l’ask con ugual numero di livelli, dato che per entrambe la frequenza di simbolo risulta pari a fs  = (fb)/(log2L), e dunque (per coseno rialzato con γ = 0) si ottiene
ρL − PSK = (fb)/(B) = (fslog2L)/(fs) = log2L
Dal punto di vista delle prestazioni, occorre distinguere il caso in cui L = 4 (indicato come qpsk = Quadrature Phase Shift Keying) da quello con L generico, in quanto sussistono due diverse architetture per il demodulatore.

14.2.2  Prestazioni QPSK

In questo caso (psk con 4 livelli) il demodulatore coerente è costituito da due rami indipendenti in fase e quadratura (vedi fig. 14.13↓), che operano ad una frequenza di simbolo fs pari a metà di quella binaria. In virtù di come la codifica di Gray dispone la costellazione (vedi fig. 14.12↓),
Costellazione QPSK e Pe
Figura 14.12 Costellazione qpsk e calcolo della Pce
ogni ramo del decisore opera su di uno solo della coppia di bit associati al simbolo trasmesso; le due decisioni vengono poi ri-serializzate. Entrambi i rami si comportano quindi come un demodulatore l-ask (§ 14.1.2↑) con L=2, ovvero un bpsk, e per un segnale dati a coseno rialzato a banda minima (γ  = 0) la probabilità di errore relativa ad ogni singolo ramo è espressa[585] [585]  In effetti, dovremmo verificare che l’attuale valore di EbN0 sia lo stesso del caso bpsk: mentre per N0 al § 13.1.2↑ si mostra che è vero, per quanto riguarda Eb (a prima vista) sembra che il suo valore si dimezzi. Infatti, a parità di potenza ricevuta, i punti di costellazione del bpsk giacciono all’intersezione tra l’asse cartesiano della c.a. di b.f. ed il cerchio di
raggio pari all’ampiezza a del segnale ricevuto, mentre nel qpsk le fasi formano un angolo di 45o rispetto agli assi, moltiplicando per cos(π)/(4) = (2)2 le coordinate cartesiane, e riducendo dunque la potenza delle c.a. di b.f. di un fattore 2, e così pure il valore di Eb. In realtà, la durata doppia del periodo di simbolo Ts  = 2Tb compensa questa riduzione, e dunque anche l’Eb di ogni ramo Eb  = PxTs si mantiene invariato.
Demodulatore QPSK
dalla (16.22↑), fornendo
Pce = Pse  = (1)/(2) erfc{((Eb)/(N0))}
che rappresenta la probabilità che una componente analogica di b.f. ottenuta demodulando il segnale con sovrapposto rumore, valutata all’istante di decisione kTs, giaccia nell’area mostrata in basso[586] [586] All’istante di decisione k su ciascun ramo si osserva una v.a. gaussiana dc,  s con varianza σ2νc,  s (vedi fig. 13.3↑ a pag. 1↑) e valor medio xc(kTs)  = cosφk e xs(kTs)  = sinφk, dove φk è la fase del punto di costellazione trasmesso all’istante t  = kTs, vedi eq. (16.25↑). Nell’esempio di figura, la decisione per il secondo dei due bit del simbolo cambia in funzione del segno di dc, e dunque si commette errore sul ramo in fase se ad es. si trasmette ?1, ma il rumore su quel ramo ha un valore sufficientemente positivo da far superare lo zero in corrispondenza dell’istante di decisione. della figura 14.12↑. La probabilità di errore (per impulso a banda minima) in un bit della sequenza re-serializzata risulta quindi[587] [587] In effetti all’istante di decisione potrebbe verificarsi errore su entrambi i rami, ma tale evento avviene con probabilità PcePse che si ritiene tanto più trascurabile rispetto a Pce quanto più quest’ultimo è piccolo.
(16.26) PQPSKe(bit) = PcePr{c} + PsePr{s} = (1)/(2)(Pce  + Pse)  = (1)/(2) erfc{((Eb)/(N0))}
in cui Pr{c} = Pr{s} = 12 sono le probabilità che il bit ricevuto provenga dal ramo in fase o da quello in quadratura; d’altra parte, la probabilità di errore per simbolo risulta Pe(simbolo)Pce + Pse  = erfc{((Eb)/(N0))} (trascurando nuovamente la probabilità di un errore contemporaneo su entrambi i rami, vedi nota 14.2.2↑).
Demodulatore L-PSK
Figura 14.13 Demodulatore QPSK
Osserviamo quindi come il qpsk consenta di ottenere le stesse prestazioni del bpsk, graficate in fig. 14.6↑, utilizzando solo metà banda, in virtù del Ts doppio:
BQPSK = fs  = (fb)/(2)(1 + γ)
Quest’ultima osservazione permette di scrivere ρQPSK  = (fb)/(BQPSK) = 2 = 2⋅ρBPSK, e suggerisce un ulteriore[588] [588] Ulteriore rispetto al commento alla nota 14.2.2↑, dove il ragionamento è svolto sull’EbN0, mentre ora sull’SNR. punto di vista rispetto all’invarianza delle prestazioni rispetto al bpsk: infatti, dimezzando la banda si dimezza anche la varianza del rumore in ingresso al demodulatore, e ciò compensa la riduzione di ampiezza delle c.a. di b.f. del segnale per il caso qpsk.
Ottimalità di BPSK e QPSK
Se queste tecniche sono attuate mediante un G(f)  = rectfs2(f) ovvero a banda minima, in presenza di demodulazione coerente il filtro passabasso che precede il campionatore del decisore costituisce un filtro adattato (vedi § 6.5.1↑) con segnalazione antipodale, e le prestazioni sono quelle ottime, come si verifica confrontando l’eq. (10.35↑) con le (16.22↑) e (16.26↑). Se viceversa G(f) non è a banda minima, ma di Nyquist, la coerenza di demodulazione permette comunque di adottare in ricezione un filtro adattato (§ 8.7↑) al posto del passabasso mostrato in fig. 14.5↑, e dunque ottenere le medesime prestazioni.

14.2.3  Prestazioni L-PSK

In questo caso il demodulatore ha una differente architettura (vedi fig. 14.14↓), ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la stima del gruppo di M  = log2L bit associati ad una delle possibili fasi φk. Indicando con dkc, s le c.a. di b.f. demodulate all’istante t  = kTs, la decisione avviene calcolando φdk = arctan(dks)/(dkc) e stabilendo all’interno di quale regione di decisione ^φk cada la fase ricevuta φdk, a cui il decisore fa corrispondere una codeword di Gray (fig. 14.16↓). All’aumentare del numero di livelli L, la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore) diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il log2L, mentre la spaziatura tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad L. Pertanto, l’aumento del numero di livelli produce un peggioramento della Pe. Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato (con γ = 0) della probabilità di errore sul simbolo
(16.27) PL − PSKe(simbolo)  = erfcsin(π)/(L)((Eb)/(N0)log2L)
che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un ^φk  ≠ φk (diverso da quello trasmesso) e che, se Pe≪1, è approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una regione di decisione contigua (vedi fig. 14.14↓).
Demodulatore L-PSK Demodulatore L-PSK
Figura 14.14 Demodulatore L-PSK
Confrontando il risultato con quello (eq. 16.21↑) per l’ask, osserviamo che l’assenza del termine 1  − (1)/(L) è dovuto alla circolarità della costellazione, che il termine sin(π)/(L) è un fattore che rappresenta il peggioramento all’aumentare di L, ed il log2L sotto radice è il miglioramento dovuto alla riduzione di banda. Il risultato (16.27↑) è una approssimazione valida se Pe≪1, e via via più accurata con L crescente.
Nella tabella che segue è riportato il risultato del confronto, per uno stesso valore di Pe, dei valori (Eb)/(N0) necessari per l-psk (16.27↑), contro quelli necessari (16.21↑) per l-ask:
L ΔEbN0  = 13(L2  − 1)sin2πL ΔEbN0(dB)
4 (QPSK) 2.5 4
8 3.07 4.88
16 3.23 5.1
32 3.28 5.2
64 3.29 5.2
si è eseguito il rapporto tra gli argomenti degli erfc{}, si è elevato al quadrato, indicato come Δ, ed il risultato è espresso in dB: quest’ultimo rappresenta (a parte il termine 1 − (1)/(L)dell’l-ask) il miglioramento di prestazioni in dB dell’l-psk rispetto ad l-ask, ovvero i dB di potenza risparmiata a parità di probabilità di errore. Tale risultato (4-5 dB di miglioramento) porta a prediligere sempre il psk rispetto all’ask.
E’ opportuno osservare che, qualora si desideri ottenere un valore di probabilità di errore per bit, questo è pari a
Pe(bit) = (Pe(simbolo))/(log2L)
a patto di associare, a livelli contigui, gruppi di bit differenti in una sola posizione, come previsto dal codice di Gray[589]  [589] vedi il § 8.3.5.1↑ (mostrato nella figura 14.16↓), in modo che l’errore tra due fasi φk contigue provochi l’errore di un solo bit nel gruppo di log2L bit associati a ciascun livello. Le curve di probabilità di errore per bit, riportate anch’esse in fig. 14.16↓, sono calcolate in questo modo.
codice di Gray L-PSK Prestazioni L-PSK

Figura 14.16 Prestazioni l-psk con codice di Gray
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