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14.4  Codifica differenziale

Se la portante con cui si effettua la demodulazione presenta un errore di fase[593] [593] Il cui effetto su xc(t) è stato discusso al § 10.2.3.1↑. Facciamo ricadere in questa casistica l’ambiguità di fase dei sistemi di recupero portante come descritto al § 10.2.2.1↑, ma anche la distorsione di fase introdotta dal canale
figure f10.18f.png
non selettivo in frequenza, vedi pag. 1↑. Che un errore di fase si traduca in una rotazione dell’inviluppo complesso può essere mostrato considerando che l’operazione di demodulazione omodina corrisponde a valutare {xejω0t}, mentre una portante cos(ω0t + φ) corrisponde a {xejω0tejφ}, equivalente alla demodulazione coerente di y  = xejφ ossia un inviluppo complesso ruotato. In figura, un caso per cui φ = (π)/(2).
, il piano dell’inviluppo complesso subisce una rotazione, producendo
Codifica differenziale
decisioni sistematicamente errate a causa dello spostamento dei punti di costellazione ottenuti campionando le c.a. di b.f. (pallini) rispetto a quelli che si otterrebbero nel caso di demodulazione coerente (crocette). Per rimediare al problema, si può estendere il principio differenziale (espresso a pag. 1↑ per segnali di banda base) al caso delle modulazioni numeriche, rendendo la decisione su quale punto di costellazione sia stato ricevuto indipendente dalla fase della portante di demodulazione, ma dipendente invece dalla fase dell’inviluppo complesso osservata per il simbolo precedente. Ciò si realizza modificando il criterio con cui sono determinati i punti di costellazione da trasmettere, scegliendoli ora in funzione di una coppia di simboli consecutivi, anziché di uno solo.

14.4.1  Modulazione DBPSK

Per illustrare la tecnica, procediamo con un esempio relativo al caso di trasmissione bpsk della sequenza xk =  001011011010010 e mostriamo come la codifica differenziale consenta di neutralizzare un errore di fase di π. La fig. 14.26↓, simile[594] [594] La similitudine non è per nulla casuale, dato che qualora il predittore mostrato a pag. 1↑ sia realizzato mediante un elemento di ritardo, i due schemi di elaborazione coincidono. a quella a pag. 1↑, mostra la sequenza delle operazioni necessarie, e che consistono nel trasformare il messaggio binario xk in quello yk in base alla relazione
(16.30) yk  = xkyk  − 1
 
xk  = 001011011010010
yk = 001101101100011
zk =  ⁄ 01011011010010
(in cui l’operatore rappresenta un or esclusivo), e quindi effettuare la modulazione bpsk di yk anziché di xk. Dal lato ricevente, il segnale bpsk viene demodulato ottenendo la sequenza k, che viene a sua volta trasformata in zk in base all’espressione
(16.31) zk  = kk  − 1
che, in assenza di errori (ossia se k  = yk per tutti i k), permette di ottenere nuovamente i valori del messaggio originario[595]  [595] A parte per il primo bit, che ha il solo scopo di stabilire il riferimento di fase per la decodifica del successivo. Da un punto di vista formale, sostituendo la (16.30↑) nella (16.31↑) e in assenza di errori (ossia k = yk) si ottiene k = kk  − 1 = xkyk −  1yk − 1 = xk. xk a partire dalla sequenza zk, come la figura del riquadro precedente consente di verificare tramite un esempio.
Codifica e detezione differenziali
Figura 14.26 Codifica e detezione differenziali
Se assumiamo ora di rappresentare lo zero con una fase nulla, e l’uno con una fase di π, possiamo riscrivere la (16.15↑) come
(16.32) xBPSK(t) = acos(ω0t  + φ(t))       con       φ(t)  = πk =  − ∞xkrectTb(t − kTb)
e ponendo per semplicità il periodo di bit pari ad un ciclo di portante, possiamo confrontare in fig. 14.27↓ la forma d’onda bpsk associata alla sequenza originaria xk, con quella ottenibile utilizzando nella (16.32↑) yk anziché xk ed indicata come dbpsk, in cui la d sta appunto per differenziale. Pertanto quando il demodulatore bpsk di fig. 14.26↑ riceve il segnale dbpsk, in assenza di errori si produce in uscita la sequenza yk, e quindi il circuito mostrato realizza l’operazione zk  = kk − 1, permettendo di ottenere la sequenza originaria.
fSegnale BPSK e BPSK differenziale
Figura 14.27 Segnale bpsk e bpsk differenziale
Verifichiamo ora che il segnale originario viene recuperato anche se la portante di demodulazione presenta un errore di fase di π, tale da causare l’inversione della forma d’onda e quindi di tutti i bit decodificati, producendo un messaggio k  = yk = 110010010011100 (la sopralineatura rappresenta l’inversione logica). Infatti, applicando la (16.31↑) alla sequenza k = yk si ottiene di nuovo la sequenza originaria, dato che ab  = ab.
D’altra parte, lo schema di fig. 14.26↑ non è l’unico possibile, osservando che la sequenza xk può anche essere derivata direttamente dall’esame visivo della forma d’onda dbpsk, in quanto i bit della sequenza yk cambiano nel caso in cui il corrispondente bit di xk è un uno, mentre non cambiano se è uno zero, e dunque lo stesso accade per il segno della forma d’onda dbpsk. Il demodulatore può essere dunque sostituito da uno in fase e quadratura, in modo da calcolare la fase a partire dalle c.a. di b.f. come φ = arctan(ds)/(dc), e quindi determinare la sequenza xk in base alle variazioni di fase, senza dover applicare la (16.31↑), consentendo di applicare il principio anche in presenza di errori di fase qualsiasi, e non solo pari a π.
Prestazioni DBPSK
Esaminiamo ora cosa accade in presenza di errori: supponiamo di ricevere un messaggio yk  = 000101101100011, in cui il terzo bit (sottolineato) è errato. Calcolando zk  = kk − 1 questa volta si ottiene zk  =  ⁄ 00111011010010 che risulta uguale a xk tranne che nel terzo e quarto bit. Infatti, dato che zk dipende dagli indici k e k  − 1 di y, l’effetto dell’errore non si propaga oltre il bit successivo a quello errato. Dato quindi che ad ogni errore del decisore si ottengono due bit errati anziché uno, a prima vista possiamo dire che a parità di EbN0, il dbpsk è affetto da un tasso di errore circa doppio di quello del bpsk. Una analisi più approfondita (che omettiamo) fornisce l’espressione
(16.33) PDBPSKe(bit)  = (1)/(2)e  − (Eb)/(N0)
che equivale ad un peggioramento di prestazioni di circa 1 dB rispetto al bpsk, ed il cui andamento è riportato a pag. 1↓.

14.4.2  DQPSK

Il concetto di codifica differenziale può essere facilmente esteso al caso di l-psk, semplicemente mettendo in corrispondenza le configurazioni di bit previste dal codice di Gray con rotazioni di fase Δθ (tra simboli successivi) contigue, come esemplificato nella tabella che segue[596] [596] Tratta da Andrea Goldsmith, Wireless Communications, pag. 151. per L  = 4([597] [597] Nel caso di L  > 4 la tabella si modifica molto semplicemente scrivendo accanto al codice di Gray al L livelli, la sequenza crescente delle fasi differenziali Δθk  = k(2π)/(L − 1).), ovvero nel caso della modulazione dqpsk. L’inviluppo complesso di tale segnale
xk  − 1xk Δθ
00 0
01 π2
11 π
10   − π2
assumerà quindi, negli istanti di simbolo, valori la cui fase dipende dalla fase del simbolo precedente, incrementata del Δθ mostrato in tabella, consentendo la corretta ricezione anche in presenza di una portante di demodulazione affetta da errori di fase multipli di (π)/(2). Anche qui se (a causa del rumore) si verifica un errore di ricezione, questo si propaga anche al simbolo successivo.
Anche nel caso del qam si può applicare una forma di codifica differenziale, ma lo schema di corrispondenza tra gruppi di bit e punti della costellazione è più complesso[598] [598] Vedi ad es. Krzysztof Wesolowski, Introduction to Digital Communication Systems, Wiley, pag. 328., e non viene qui trattato.
Infine, la modulazione differenziale può essere proficuamente struttata nella trasmissione ofdm (§ 14.8.8↓), al fine di evitare la necessità di equalizzazione.
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