Sezione 14.4: Codifica differenziale Su  Capitolo 14: Modulazione numerica Sezione 14.6: Demodulazione incoerente 

14.5  Modulazione di frequenza L-FSK

Qualora si desideri che l’ampiezza del segnale modulato si mantenga strettamente costante si può adottare la tecnica di modulazione fsk (Frequency Shift Keying), che associa ad ogni simbolo ak ottenuto raggruppando M bit, uno tra 2M = L possibili valori (o livelli) di frequenza fk, da sommare a quello della portante in accordo all’espressione
xFSK(t) = cos[2π(f0 + m(t))t] dove m(t) = Δ⋅k =  − ∞fkrectTs(t − kTs)
FSK
dove ogni elemento della sequenza fk assume uno tra i valori {0,  1, 2, …, L − 1}. Si tratta in altri termini di una portante la cui frequenza nominale f0 è alterata di una quantità Δ⋅fk Hz per un intervallo temporale pari al periodo di simbolo Ts, in cui Δ rappresenta ora la spaziatura (uniforme) tra le frequenze associate agli L livelli. Pertanto l’espressione può essere riscritta come
(16.34) xFSK(t) = k  =  − ∞cos[2π(f0  + Δfk)t]rectTs(t − kTs)
Il risultato è senza dubbio ad ampiezza costante; se Ts(1)/(f0) si può adottare uno schema di mo-demodulazione basato su di un vco ed un pll (vedi § 10.2.2.2↑ e 10.3.1.1↑) riportato (per L = 2) in figura 14.29↓, in cui all’uscita del passa basso ritroviamo il segnale modulante.
Modem FSK a bassa velocità
Figura 14.29 Modem fsk a bassa velocità
Lo schema è effettivamente utilizzato per modem a bassa velocità e basso costo, ed ha il pregio di funzionare anche in presenza di errori tra l’f0 usata dal vco del trasmettitore e quella delricevitore. Per raggiungere velocità fb più elevate a parità di L, occorre ridurre Ts, in modo da aumentare fs = (1)/(Ts) e quindi fb  = fsM = fslog2L. In tal caso può essere necessario ricorrere ad un demodulatore più complesso, come descritto al § seguente.

14.5.1  Modulazione FSK ortogonale

Nel caso in cui si realizzi la condizione Δ = (i)/(2Ts) con i intero, le diverse frequenze f0  + Δfk sono ortogonali[599]  [599]  La discussione al riguardo è sviluppata al § 14.12.1↓, definendo anche le condizioni di demodulazione incoerente e coerente, ovvero se le portanti generate in ricezione cos[2π(f0  + Δfk)t  + φk] presentino o meno una fase φk casuale rispetto a quella trasmessa. In particolare, la spaziatura Δ multipla di (1)/(2Ts) garantisce ortogonalità solo nel caso di modulazione coerente, mentre nel caso incoerente occorre una spaziatura doppia, ossia Δ multiplo di (1)/(Ts)., e può essere adottato un demodulatore a correlazione (vedi § 6.5.2↑), realizzato mediante un banco di correlatori ed una decisione di massimo, in cui l’n − esimo correlatore esegue
(16.35) Ts0cos[2π(f0  + mΔ)t]cos[2π(f0  + nΔ)t]dt
Demodulatore FSK a correlazione
Figura 14.30 Demodulatore fsk a correlazione
dove f0 + mΔ rappresenta la frequenza (incognita) in arrivo, mentre f0  + nΔ è una delle frequenze possibili, con n  ∈ {0, 1, 2, …, L − 1}. Essendo tali frequenze tra loro ortogonali[600] [600] La condizione di ortogonalità tra le forme d’onda associate ai diversi simboli corrisponde alla intercorrelazione nulla tra le forme d’onda in un periodo (§ 6.1.4↑), ed infatti scegliendo opportunamente Δ ed f0 (vedi § 14.12.1↓) l’integrale (16.35↑) vale nm  =  .5⋅Ts sen = m 0 altrimenti . Ciò si dimostra (ricordando che cos2α  = (1)/(2) + (1)/(2)cos2α), notando che per m = n l’uscita del correlatore vale (1)/(2)Ts0(1  + cos(4π(f0  + mΔ)t))dt, e scegliendo opportunamente f0 e Δ (vedi § 14.12.1↓), il coseno che viene integrato descrive un numero intero di periodi all’interno dell’intervallo (0,  Ts), fornendo quindi un contributo nullo. Se invece n  ≠ m la funzione integranda non contiene il termine costante, ma di nuovo in virtù di § 14.12.1↓, contiene solo termini a media nulla. entro l’intervallo di integrazione, al termine del calcolo una sola delle uscite sarà diversa da zero. Come discusso al § 6.5↑, in presenza di rumore l’uscita di ogni correlatore diviene una v.a. con varianza (N0)/(2)G, corrompendo l’ortogonalità tra simboli, e dunque si rende necessaria l’operazione di confronto per realizzare una decisione di massima verosimiglianza (§ 5.6.3↑). Indicando infatti con rn,   n = 0, 1⋯, L − 1 la grandezza prodotta dal campionatore n − esimo, e con r = r0, r1,  ⋯rL − 1 il vettore aleatorio L  − dimensionale corrispondente, la scelta del maggiore tra gli rn corrisponde a scegliere l’ipotesi f che rende massima la p(r  ⁄ f)[601] [601] Infatti il vettore r ha una d.d.p. condizionata p(r  ⁄ fn) gaussiana multidimensionale a componenti indipendenti, e dunque (vedi § 5.5.1↑) si fattorizza nel prodotto di L gaussiane monodimensionali con uguale varianza e media nulla, tranne per la componente n = m relativa all’ipotesi realmente occorsa, che presenta una media non nulla. Pertanto per ogni possibile ipotesi fn la p(r  ⁄ fn) è concentrata sulla n − esima componente, e dunque decidere per   = argmaxn{rn} equivale a scegliere   = argmaxn{p(r ⁄ fn)}..
Occupazione di banda
In generale, se ogni diversa fk è equiprobabile, l’fsk ha una densità spettrale del tipo[602] [602] Difatti la (16.34↑) può essere riscritta come la somma di L segnali xk(t), uno per ogni possibile valore di fk, costituiti da un codice di linea rz che modula la corrispondente f0  + Δfk, a cui corrisponde dunque un tono intermittente. Essendo i simboli indipendenti e (in virtù della portante) a media nulla, la (10.46↑) di pag. 1↑ si riduce alla nota forma PXk(f) =  (σ2A)/(Ts)|Gk(f)|2 in cui Gk(f) =  ℱ{gk(t)} e gk(t) = cos[2π(f0 + Δfk)t]rectTs(t); applicando ora il risultato di fig. 3.12↑ a pag. 1↑ si ottiene la densità di potenza mostrata in fig. 14.31↓. mostrato alla figura 14.31↓.
Densità spettrale FSK
Figura 14.31 Densità spettrale per fsk lento
Se L≫1, l’occupazione di banda complessiva risulta quindi (circa) uguale a L⋅Δ. Nel caso di modulazione coerente (vedi nota 14.5.1↑) la minima spaziatura è di Δ  = (1)/(2Ts)  = (fs)/(2), e dunque nel caso di L elevato la minima banda occupata può essere approssimata come
(16.36) BcoerenteFSKL(fs)/(2) = (fb)/(2)(L)/(log2L)
mentre per quanto riguarda l’efficienza spettrale si ottiene
ρFSK = (fb)/(B)  = fb(2)/(fb)(log2L)/(L)  = (2)/(L)log2L
ossia (L)/(2) volte peggiore dell’l-ask (pag. 1↑). Ma: se l’efficienza spettrale è così bassa, chevantaggi ci sono ad usare l’fsk? ... a sua difesa, portiamo i seguenti argomenti:
Il caso semplice con Ts(1)/(f0)
può essere demodulato con lo schema a pll rappresentato in fig. 14.29↑, di facile realizzazione ed economico; ad esempio, veniva usato per salvare su compact cassette audio i dati degli home computer degli anni ’70[603] [603] tipo: Sinclair Spectrum, Commodore Vic20 e 64 ... Come noto, le cassette audio soffrono di variazioni di velocità di trascinamento del nastro (wow & flutter), ma il pll non ne risente.
Nel caso a due livelli
l’efficienza spettrale è quasi ρBFSK  = (2)/(L)log2L||L  = 2 = 1, come per il caso del bpsk[604] [604] Tranne che, essendo ora presenti solo 2 frequenze, l’approssimazione (16.36↑) non è più corretta. In particolare, con riferimento alla fig. 14.31↑, è tanto meno corretta quanto più fs è elevata, che corrisponde ad oscillazioni del sinc2 più estese in frequenza.. Al contrario, al crescere di L l’efficienza spettrale diviene sempre peggiore.
La probabilità di errore
Si può dimostrare che l’uso dello schema di fig. 14.30↑ e di portanti di demodulazione ortogonali e coerenti[605]  [605] Ovvero qualora siano soddisfatte le condizioni per f0 e Δ valutate al § 14.12.1↓ per il caso di demodulazione coerente, e si verifichi la sincronizzazione tra le forme d’onda in ingresso ai correlatori del banco. permette di ottenere una
(16.37) PFSKe(simbolo)  = 1 − (1)/((πL))  − ∞e − z2(z  + (log2LEb  ⁄ N0)  − ∞ e − y2dy)L − 1dz
che deve essere valutata per via numerica, e che può essere resa piccola a piacere, nei limiti previsti dalla teoria dell’informazione[606] [606] Ovvero tenendo conto che (vedi § 11.2.3↑) fb non può superare la capacità di canale (eq. (12.27↑)), che a sua volta non può superare il limite C espresso dalla (12.29↑)., semplicemente aumentando L[607] [607] A pagina 1↓ è esposta una motivazione informale di questo comportamento. (e dunque Ts). La figura a lato mostra i valori della (16.37↑) in funzione di Eb  ⁄ N0 per diversi valori di L, e illustra come all’aumentare di quest’ultimo sia necessaria sempre minor potenza per ottenere la stessa Pe, a patto che risulti
Eb ⁄ N0  > ln2 = 0, 69
che rappresenta il valore noto come limite di Shannon-Hartley, ricavato alla (12.28↑) a pag. 1↑.
Il miglioramento di Pe con L è una manifestazione del compromesso banda-potenza: osserviamo infatti che anche la banda occupata BFSK(fb)/(2)(L)/(log2L) aumenta (a parità di fb) all’aumentare di L, e dunque a parità di Eb ⁄ N0 l’fsk riesce ad ottenere Pe arbitrariamente piccole, a spese di una occupazione di banda sempre maggiore. L’aumento di L però non può essere illimitato, sia per le limitazioni di banda del canale, che a causa della complessità del ricevitore, a cui si aggiunge il ritardo temporale necessario ad accumulare gli M  = log2L bit che realizzano un simbolo con un enorme numero L di livelli.
Discussione sull’ottimalità per L → ∞
Osserviamo innanzitutto che il ricevitore a correlazione commette errore nel caso in cui il rumore sovrapposto al segnale di ingresso sia casualmente “simile” ad una delle cosinusoidi utilizzate per la trasmissione. In tal caso, l’uscita dell’integratore relativo alla frequenza “simile” può superare quella relativa alla frequenza trasmessa, e corrotta dal medesimo rumore. All’aumentare di L (per fb fisso) aumenta il periodo di simbolo Ts  = (log2L)/(fb) e quindi diventa sempre più “difficile” per il rumore emulare “bene” una della frequenze di segnalazione, e quindi si riduce la probabilità di errore. La nota 190↑ a pag. 1↑ propone una interpretazione analitica di questo fenomeno.
Chiaramente, all’aumentare di L aumenta proporzionalmente la complessità del ricevitore, che deve disporre di un numero di correlatori crescente. Pertanto, le prestazioni ideali per L che tende ad infinito rivestono solamente un interesse teorico.
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