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14.6  Demodulazione incoerente

Nel caso in cui la portante di demodulazione non abbia la stessa fase di quella ricevuta, ci si trova nelle condizioni esposte al § 10.2.3.1↑, ossia il piano dell’inviluppo complesso risulta ruotato, rendendo impraticabili le tecniche di modulazione di fase, a meno di non adottare tecniche differenziali (§ 14.4↑).
In realtà è ancora praticabile la tecnica ook (on off keying), ovvero una modulazione pam della portante con un impulso nrz polare, oltre a quella dell’fsk incoerente. Per entrambe si tratta di rivelare la presenza/assenza di una sinusoide nel rumore, per la durata di un bit Tb o di un simbolo Ts, e si ricorre allo schema di demodulazione discusso
Demodulatore inviluppo incoerente
Figura 14.33 Demodulatore inviluppo incoerente
al § 10.2.4↑ e riportato a fianco, in cui la portante di demodulazione è una di quelle dell’fsk, oppure l’unica nel caso di ook, ed il generico passa basso è realizzato come un integratore, ovvero con risposta impulsiva[608] [608] Ad esempio realizzato mediante un integrate and dump (pag. 1↑), che deve essere resettato a fine Ts. h(t) = (1)/(Ts)rectTs(t), ovvero ancora come un filtro adattato all’impulso di trasmissione g(t) = rectTs(t)[609] [609] Il fattore 1Ts che compare nell’espressione di h(t) rende l’energia dell’impulso complessivo g(t)*h(t)  = tri2Ts(t) (vedi eq. (8.15↑)) normalizzata rispetto a Ts (vedi § 3.9.7↑)., in modo da scrivere il segnale ricevuto come
x(t)  = k  =  − ∞akrectTs(t − kTs)cos(ω0t  + θ)
in cui ak = A se la frequenza f0 è attiva durante il simbolo k, oppure ak = 0 nel caso opposto. Il rumore n(t) in ingresso, con densità di potenza (N0)/(2), rende le grandezze di osservazione rc e rs due v.a., che nel caso di segnale presente hanno valor medio[610]  [610] Infatti il segnale demodulato (as es.) sul ramo in fase ha ampiezza costante A(1)/(Ts)cosθ, che risulta moltiplicata per Ts quando integrato su tale periodo. mc  = Acosθ e ms  = Asinθ, oppure zero per segnale assente, mentre in entrambi i casi e per entrambi i rami la varianza risulta pari a[611] [611]  Infatti il filtro adattato ha una |G(f)|2  = sinc2(Tsf), e dunque il rumore alla sua uscita (vedi § 13.1.2↑ e pag. 1↑) presenta una densità di potenza Pn(f) =  N0sinc2(Tsf). La potenza di rumore perciò risulta pari a Pn =  σ2 = (N0)/(Ts), in quanto n(t) è a media nulla, e  − ∞sinc2(Tsf) = (1)/(Ts). Quest’ultimo risultato può essere verificato considerando che sinc2(Tsf) ha antitrasformata (1)/(Ts)tri2Ts(t), e che per la proprietà del valore iniziale (pag. 1↑)  − ∞sinc2(Tsf) = (1)/(Ts)tri2Ts(t = 0)  = (1)/(Ts). σ2 = N0Ts.
La decisione se sia presente o meno la frequenza è basata sul modulo dell’inviluppo complesso r  = rc  + jrs, ovvero ρ  = (r2c  + r2s), ed attuata mediante l’approccio di massima verosimiglianza esposto al § 13.3.2↑. Nelle ipotesi poste, il caso in cui ak  = 0 corrisponde ad osservare una v.a. di Rayleigh (pag. 1↑) con d.d.p.
pP(ρ) = (ρ)/(σ2) e − (ρ2)/(2σ2)
mentre se ak = A si osserva[612] [612] La discussione a pag. 1↑ fa riferimento ad una sola v.a. (quella in fase) a media A, mentre nel caso attuale sia ha ρ = A ma con una fase qualsiasi. Per le proprietà di simmetria radiale del problema, la conclusione è valida anche nel nostro caso. una v.a. di Rice, con d.d.p.
pP(ρ) = (ρ)/(σ2) e − (ρ2 + A2)/(2σ2)I0(ρA)/(σ2)
ed in questa circostanza si è trovato (eq. 16.8↑) che se le due ipotesi di segnale presente (H1) ed assente (H0) sono equiprobabili e la soglia di decisione è posta pari a A2, la probabilità di errore può essere approssimata come Pe  = (1)/(2) e  − (A2)/(8σ2).
Nel caso dell’ook, osserviamo che A22 è la potenza di una sinusoide di ampiezza A, ma se questa per metà del tempo (gli ak  = 0) è spenta, la potenza si dimezza, e così risulta
prestazioni per demodulazione binaria coerente, differenziale, e incoerente
Figura 14.34 Confronto di prestazioni per demodulazione binaria coerente, differenziale, e incoerente
Eb = PsTb  = (A2)/(4)Tb; sostituendo dunque (A2)/(4) = EbTb e σ2 = N0Tb nell’espressione della Pe otteniamo
(16.38) POOKe(bit)  = P2 − FSKe(bit)  = (1)/(2)e  − (Eb)/(2N0)
La stessa espressione descrive anche le prestazioni per una modulazione fsk a due livelli: in tal caso infatti la decisione avviene confrontando due v.a. ρ1, ρ2 con distribuzione una di Rice e l’altra di Rayleigh, ottenute duplicando lo schema di fig. 14.33↑ per le due frequenze (ortogonali) utilizzate, associate ad uno stesso bit uno o zero, e dunque il problema statistico è identico al precedente. La figura 14.34↑ permette il confronto delle prestazioni tra le tecniche di modulazione binarie presentate.
Nel caso poi di una modulazione l-fsk incoerente, la decisione avviene scegliendo tra L v.a. ρi di cui una distribuita Rice e tutte le altre Rayleigh; lo sviluppo analitico è un pò più complesso, e fornisce un risultato che seppur peggiore del caso coerente, lo approssima abbastanza bene per L ed EbN0 elevati.
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