Sezione 14.7: Schema riassuntivo delle prestazioni Su  Capitolo 14: Modulazione numerica Sezione 14.9: Sistemi a spettro espanso 

14.8  Modulazione OFDM

La sigla sta per Orthogonal Frequency Division Multiplex, ossia multiplazione a divisione di frequenza ortogonale. Si tratta della tecnica di modulazione numerica adottata per le trasmissioni adsl[613] [613] adsl = Asymmetric Digital Subscriber Line, vedi § 19.9.4↓., dvb-t, e WiFi, ed ha la particolarità di utilizzare in modo ottimo la banda del canale, e di ricondurre l’operazione di equalizzazione ad un prodotto tra vettori.

14.8.1  Rappresentazione nel tempo ed in frequenza

La modulazione ofdm suddivide una sequenza binaria su N diversi flussi, trasmessi a divisione di frequenza mediante forme d’onda ortogonali. Concettualmente possiamo pensare l’ofdm come una evoluzione[614] [614] La trasmissione numerica contemporanea su più portanti è a volte indicata con il nome di Multi Carrier Modulation (mcm) o Discrete Multi Tone (dmt). La modulazione FSK utilizza invece una portante alla volta, in quanto la sua definizione prevede la presenza di un solo oscillatore. della modulazione fsk, in cui le diverse frequenze sono spaziate tra loro di Δ Hz come descritto dall’espressione
(16.39) fn  = f0 + Δ⋅n  − (N)/(2)
figure f10.20.png
con n = 0, 1, ..., N − 1 e sono utilizzate contemporaneamente, mentre su ognuna di esse si realizza una modulazione numerica anche a più livelli (es. qpsk o qam) con impulso nrz rettangolare di durata T.
Indicando quindi con akn  = aknc + jakns le coordinate nel piano dell’inviluppo complesso di un generico punto della costellazione realizzata per la portante fn all’istante t = kT, il segnale ofdm può essere scritto come
(16.40) xOFDM(t)  =  krectT(t  − kT)N − 1n = 0(aknccosωn(t − kT)  − aknssinωn(t − kT))  =  k =  − ∞δ(t − kT)*(rectT(t)N − 1n = 0(aknccosωnt  − aknssinωnt))
in cui la prima sommatoria (su k) identifica gli istanti di simbolo, e la seconda (su n) le diverse portanti. Tale segnale presenta[615]  [615] Osserviamo innanzitutto che per un segnale
x(t)  = cosω1t = (1)/(2)( ejω1t  + e − jω1t)
risulta x + (t) = (1)/(2) ejω1t, e quindi il suo inviluppo complesso x(t) calcolato rispetto ad f0 vale
x(t)  = 2x + (t)e − jω0t  = 2(1)/(2) ejω1te − jω0t  = ej(ω1  − ω0)t
Allo stesso modo, si ottiene che per y(t) =  sinω1t risulta y(t) =  (1)/(j)ej(ω1 − ω0)t. Pertanto, considerando che (1)/(j) = (j)/(j2) =  − j, ad ogni termine zk(t) = aknccosωnt  − aknssinωnt corrisponde un z(t) = akncej(ωn  − ω0)t  + jaknsej(ωn  − ω0)t  = aknej2π(fn − f0)t. Applicando ora la (16.39↑) si ottiene fn − f0  = Δ⋅n  − (N)/(2) e quindi la (16.41↓).
un inviluppo complesso rispetto a f0 pari a
(16.41) xOFDM(t) = k  =  − ∞δ(t  − kT)*(rectT(t)N  − 1n = 0aknej2πΔn  − (N)/(2)t)
L’espressione (16.40↑) non vincola la durata T di un simbolo ad un valore particolare; deve però risultare T  ≥ T0 = (1)/(Δ), in quanto il ricevitore opera sul segnale xR(t) ottenuto per moltiplicazione con una finestra temporale di estensione T0 = (1)/(Δ), allo scopo di rendere ortogonali tra loro[616]  [616] Come mostrato per il caso incoerente discusso al § 14.12.1↓ le frequenze fn = f0  + Δ⋅n  − (N)/(2), e mettere in grado il ricevitore di calcolare i valori akn per tutti gli n presenti all’istante t = kT, mediante un ricevitore concettualmente simile a quello a correlazione presentato a pag. 1↑.
segnale OFDM
L’intervallo T0 è detto periodo principale del simbolo ofdm, mentre la differenza Tg  = T − T0 è indicata come tempo di guardia, od anche preambolo, ed il segnale ricevuto durante Tg non è usato in ricezione. Il motivo di tale “spreco”[617]  [617] Infatti la frequenza di simbolo fs  = (1)/(T) = (1)/(T0  + Tg) risulta ridotta rispetto al caso in cui Tg sia nullo. risiede nel fatto che, in presenza di un canale che introduce distorsione lineare, la parte iniziale di ogni simbolo risulta corrotta (vedi figura) da una interferenza intersimbolica (isi) dovuta al risultato della convoluzione tra la coda del simbolo precedente e l’h(t) del canale. Consideriamo ora un solo simbolo (fissiamo k  = 0 e consideriamo l’origine dei tempi ritardata di Tg) ricevuto nell’intervallo T0 = (1)/(Δ) ≤ T, con inviluppo complesso
(16.42) xT0(t) = rectT0(t)N  − 1n = 0anej2πΔn  − (N)/(2)t
e calcoliamone la trasformata per determinare l’occupazione di banda:
(16.43) XT0(f)  =  T0 sinc(fT0) *N  − 1n = 0anδf  − Δn  − (N)/(2)  =   =  T0N  − 1n = 0an sincf  − Δn  − (N)/(2)T0
   densità spettrale OFDM
 
Otteniamo allora la costruzione grafica mostrata alla figura a lato, dove si evidenzia come ogni funzione sinc risulti moltiplicata per uno dei coefficienti an, che potrebbero quindi essere ri-ottenuti in ricezione campionando (in modo complesso) X(f) su frequenze spaziate di Δ.
Per quanto riguarda la densità di potenza PxR(f) dell’inviluppo complesso xR(t) ricevuto e finestrato, consideriamo l’espressione (vedi § 6.3.1↑)
(16.44) PxR(f) = (1)/(T)E{|XT0(f)|2}
in cui |XT0(f)|2 è la densità di energia di un simbolo ofdm (eq. (16.43↑)): la figura a lato ne mostra l’andamento (in scala lineare ed in dB) per un simbolo a 32 portanti, di cui 16 (esterne) spente (vedi appresso), mentre per le 16 centrali si è posto an  = 1. Notiamo come si ottenga una densità spettrale di potenza quasi rettangolare pur utilizzando simboli a durata finita.
Potenza complessiva
Mostriamo ora come mettere in relazione la potenza ricevuta complessiva PxR di xR(t) e del suo inviluppo complesso PxR
(16.45) PxR  = PxR(f)df
con la dinamica dei valori an utilizzati per modulare le singole portanti: nel seguito ci riferiamo a costellazioni l-qam, indicando con Mn ed Ln  = 2Mn rispettivamente il numero di bit e di punti di costellazione per la portante n-esima, ad ognuna delle quali la (16.40↑) attribuisce una potenza Pn.
Per calcolare la (16.45↑) mediante la (16.44↑) utilizzando l’espressione di XT0(f) fornita dalla (16.43↑), osserviamo che le funzioni sinc(fT0) che vi compaiono sono ortogonali se spaziate per un multiplo di Δ = (1)/(T0), ovvero (vedi § 4.1.3↑) sussiste la condizione
           −  ∞sinc((f − nΔ)T0) sinc((f  − mΔ)T0)df  =  0   se n  ≠ m (1)/(T0)   se n  = m
Pertanto, introducendo una insignificante[618]  [618] Equivalente a definire l’inviluppo complesso con riferimento ad una portante a frequenza pari alla prima delle fn. traslazione di f pari a (N)/(2)Δ, si ha
PxR  =  (1)/(T)E{|XT0(f)|2}df  =   =  (1)/(T)T20N − 1n = 0N − 1m = 0E{ana*m}sinc((f  − Δn)T0) sinc((f  − Δm)T0)df =   =  (T20)/(T)N  − 1n = 0E{a2n}sinc2((f  − Δn)T0)df = (T20)/(T)N  − 1n = 0E{a2n}(1)/(T0)  = (T0)/(T)N  − 1n = 0σ2an
in quanto i termini incrociati prodotti dalla doppia sommatoria si annullano[619] [619] Vedi nota 32↑ a pag. 1↑.
Scegliendo il lato della costellazione qam in modo opportuno[620] [620] Al § 8.5.4↑ si è mostrato che se gli an sono v.a. indipendenti e distribuite uniformemente su L livelli tra ±A, si ottiene σ2a = (A2)/(3)(L’ +  1)/(L’  − 1). Nel caso di una costellazione qam quadrata ad L livelli si ha L’ = (L), e se le realizzazioni sui rami in fase e quadratura sono indipendenti risulta σ2an  = E{(anc  + jans)2} = 2σ2a  = (2A2)/(3)((L)  + 1)/((L)  − 1); volendo eguagliare tale valore a 2  Pn, occorre quindi scegliere A = (3  Pn((L) − 1)/((L) + 1))., si può ottenere σ2an = E{a2n}  = 2 Pn, in cui Pn è la potenza per la n-esima portante qam; considerando infine (vedi eq. (11.9↑) a pag. 1↑) che
PxR  = P  + xR  + P  − xR  = (2)/(4) PxR  = (1)/(2) PxR
possiamo scrivere
PxR  = (1)/(2)(T0)/(T)N − 1n = 02 Pn = (T0)/(T)N  − 1n = 0  Pn
in cui è evidenziata la perdita di potenza legata alla presenza del preambolo.

14.8.2  Architettura di modulazione

Una caratteristica fondamentale della modulazione ofdm è quella di essere realizzata senza oscillatori e integratori, ma attraverso l’uso della elaborazione numerica. Con riferimento alla figura 14.38↓, il flusso binario a frequenza fb viene parallelizzato per formare simboli ad L  = 2M livelli a frequenza fs  = (fb)/(M) = (fb)/(log2L). Questi M bit/simbolo sono suddivisi in gruppi di Mn (n = 0, 1, ...,  − 1) bit ciascuno, con M =   − 1n = 0Mn, e ad ogni gruppo di Mn bit corrisponde un punto di costellazione an, scelto tra Ln = 2Mn punti possibili.
Architettura di un modulatore OFDM numerico
Figura 14.38 Architettura di un modulatore ofdm numerico
La sequenza {an} viene poi arricchita con N −  valori nulli (metà all’inizio e metà
figure f10.22.png
alla fine) ottenendo una nuova sequenza {an} di N valori, in modo che la sommatoria in (16.43↑) dia luogo ad un inviluppo complesso praticamente limitato in banda (vedi figura) tra (circa) ±(N)/(2)⋅Δ Hz, che può essere pertanto rappresentato dai suoi campioni xT0(hTc) presi a frequenza fc = N⋅Δ  (campioni)/(secondo). Il blocco indicato come FFT − 1 svolge esattamente il calcolo di campioni temporali di xT0, calcolando[621] [621]  La (16.46↓) è in qualche modo simile alla formula di ricostruzione (4.4↑) (vedi pag. 1↑) per il segnale (complesso) periodico limitato in banda ±(N)/(2)F
x(t)  = N  ⁄ 2m  =  − N ⁄ 2Xmej2πmFt
che calcolata per t = hTc  = (h)/(NF) fornisce x(hTc)  = N ⁄ 2m  =  − N ⁄ 2Xmej2π(m)/(N)h. Ponendo ora n = m + (N)/(2) e Yn  = Xn − (N)/(2) otteniamo
x(hTc) = N  − 1n = 0Ynej2π(n −  N2)/(N)h  = e − jπhN − 1n = 0Ynej2π(n)/(N)h
dato chen −  (N)/(2)(1)/(N) = (n)/(N) − (1)/(2). Osservando ora che dalla (16.42↑) con Tc = (1)/(NΔ) si ha
x(hTc) = N  − 1n = 0anej2πΔn  − (N)/(2)(h)/(NΔ) = N − 1n = 0anej2πΔ(n −  N2)/(N)h  = ejπhN − 1n = 0anej2π(n)/(N)h
e che e − jπh  = ( − 1)h, si ottiene la (16.46↓).
La coppia di relazioni
Xn = (1)/(N)N  − 1h = 0xhe − j2π(h)/(N)n e xh = N  − 1n = 0Xnej2π(n)/(N)h
sono chiamate Discrete Fourier Transform (dft) diretta e inversa, in quanto costituiscono la versione discreta della trasformata di Fourier (vedi § 4.4↑), e consentono il calcolo di una serie di campioni in frequenza a partire da campioni nel tempo e viceversa.
(16.46) N − 1n = 0anej2π(n)/(N)h = (1)/(( − 1)h)xT0(hTc)
Il risultato della FFT − 1 è quindi una sequenza di valori complessi {xh}, che a meno di un segno alterno rappresentano i campioni dell’inviluppo complesso xT0(t) espresso dalla (16.42↑) relativamente ad un simbolo. Dopodiché, il preambolo da trasmettere durante il tempo di guardia Tg è ottenuto aggiungendo in testa a {xh} un gruppo di campioni prelevati dalla coda[622]  [622] In effetti la (16.46↑) fornisce un risultato periodico rispetto ad h, con periodo N, ossia con periodo NTc  = N(1)/(fc)  = N(1)/(ΔN)  = (1)/(Δ) = T0 per la variabile temporale. Per questo motivo il preambolo dell’ofdm è detto anche estensione ciclica..
Infine, le parti reale ed immaginaria di {xh} sono inviate ad una coppia di convertitori D/A operanti a fc  = (N  + Ng)/(T)  = (N)/(T0) = NΔ in modo da ottenere le c.a. di b.f., utilizzate per produrre il segnale xOFDM(t) mediante una coppia di modulatori in fase e quadratura.

14.8.3  Efficienza dell’OFDM

Come vedremo al § 14.8.9↓, questa è una tra le tecniche di modulazione che meglio approssima i risultati della teoria dell’informazione, tanto più quanto maggiore è la sua efficienza. Quest’ultima si ottiene considerando che solo portanti su N trasportano informazione, e che solo fcT0 campioni su fcT sono unici; combinando queste quantità si ottiene
ρ = ()/(N)(T0)/(T) = ()/(N)(T  − Tg)/(T)  = ()/(N)1 − (Tg)/(T)
che misura la frazione di segnale utile rispetto all’occupazione di banda ed al numero di campioni/simbolo presenti in xOFDM(t). La ridondanza introdotta (le portanti vuote ed il preambolo) ha gli stessi scopi di quella introdotta dal roll-off γ di un impulso a coseno rialzato, in quanto evita che si verifichino fenomeni di interferenza tra simboli, e realizza un segnale limitato in banda. Osserviamo che l’efficienza migliora all’aumentare di T e di N, dato che Tg ed N −  sono fissi.
EsercizioUn flusso binario a velocità fb  = 1 Mbps è trasmesso mediante modulazione OFDM con portante 1 GHz, caratterizzata da:  = 464 portanti attive su N = 512 totali, Mn = 2 bit a portante, con modulazione qpsk, e Tg = 28 μsec di tempo di guardia. Calcolare: 1) il numero di bit/simbolo M ed il corrispondente periodo di simbolo T e 2) la spaziatura tra portanti Δ  = 1T0 e la corrispondente occupazione di banda.
  1. M  = Mn = 2⋅464 = 928 bit/simbolo, e
    T  = 1fbM  = 10 − 6⋅928 = 928 μsec;
  2. T0  = T − Tg = 928 − 28 = 0.9 msec, dunque Δ = 1T0≃1.11 KHz, e
    B  = N⋅Δ = 512⋅1.11⋅103≃568 KHz.

14.8.4  Architettura di demodulazione

Per ottenere gli elementi della sequenza {an} e quindi il gruppo di M bit che hanno originato il simbolo, si adotta l’architettura mostrata in figura 14.40↑ che svolge una azione del tutto inversa a quella del modulatore. Innanzitutto il ricevitore deve acquisire il sincronismo di frequenza (vedi § 14.8.11↓), in modo che il segnale ricevuto possa essere demodulato in fase e quadratura, e le c.a. di b.f. campionate a frequenza fc  = (N  + Ng)/(T).
Architettura di un demodulatore ofdm numerico
Figura 14.40 Architettura di un demodulatore ofdm numerico
Dopo l’inversione di segno ad indici alterni, e dopo avere acquisito il sincronismo di simbolo, fcT campioni complessi sono bufferizzati, quindi gli Ng campioni del preambolo rimossi, e sugli N valori del periodo principale viene calcolata una fft (vedi nota 14.8.2↑), ottenendo i valori
(16.47) (1)/(N)N  − 1h = 0xhe − j2π(h)/(N)n = XT0n  − (N)/(2)Δ  = an
Solo gli valori centrali sono avviati verso altrettanti decisori, che determinano il punto di costellazione più vicino all’an ricevuto per ogni portante, associandovi il relativo codice di Mn bit, ed il risultato finale è quindi serializzato per produrre gli M bit che hanno dato origine al simbolo.

14.8.5  Prestazioni

Al § 14.12.2↓ viene svolta una laboriosa analisi per arrivare a valutare l’espressione della Pbite in caso di tempo di guardia Tg  = 0 ed in presenza di rumore additivo gaussiano limitato alla stessa banda del segnale; il risultato è confrontato con quello ottenibile per una trasmissione qam che occupi la medesima banda dell’ofdm, trasporti lo stesso flusso fb, utilizzi ovviamente una sola portante con un adeguato numero di livelli, e adotti un impulso a coseno rialzato che determini la stessa (in)efficienza spettrale legata nell’odfm alla presenza delle portanti spente. Il risultato è che le prestazioni sono identiche.
E allora dov’è la convenienza ? E’ il tema delle prossime sottosezioni.

14.8.6  Sensibilità alla temporizzazione

Con l’ofdm non siamo nelle condizioni di demodulazione coerente come per l’fsk (§ 14.5.1↑), e le portanti del simbolo ofdm ricevuto mantengono ortogonalità (§ 14.12.1↓) purché finestrate su di un periodo T0  = (1)/(Δ). Pertanto, nel caso in cui il ricevitore non acquisisca una perfetta sincronizzazione di simbolo, se l’isi introdotta dal canale ha una durata minore di Tg, la fft di demodulazione può operare su di un gruppo di campioni presi a partire dalla coda del preambolo, riducendo così la sensibilità rispetto agli errori di sincronizzazione.

14.8.7  Equalizzazione

Consideriamo il caso in cui la trasmissione attraversi un canale la cui h(t) è descritta da un inviluppo complesso H(f) in cui il modulo non è costante e/o la fase non è lineare: in tal caso XT0(f) di (16.43↑) si altera a causa del filtraggio, ed i suoi campioni an restituiti dalla (16.47↑) si modificano in n  = anHn in cui Hn = Hnejφn  = Hf  − Δn  − (N)/(2) sono i campioni (complessi) di H(f). Come anticipato, l’equalizzazione è quindi ridotta ad eseguire un semplice prodotto tra la sequenza dei valori ricevuti n e quella di equalizzazione (e − jφn)/(Hn) che inverte l’effetto del canale, ovviamente purché si conosca H(f), od una sua stima.

14.8.8  Codifica differenziale

Nel caso in cui la distorsione lineare introdotta dal canale non sia eccessiva, si può evitare del tutto lo stadio di equalizzazione, e ricorrere ad una codifica differenziale (§ 14.4↑), che risulta particolarmente semplice qualora le sottoportanti siano modulate psk o qpsk. In tal caso infatti il processo di demodulazione per ogni sottoportante non risente di variazioni di guadagno, ovvero variazioni di Hn  = |Hn|, e dunque devono essere compensate le sole variazioni di fase φn tra una portante e l’altra, ognuna delle quali determina la corrispondente rotazione (vedi § 1↑) del piano dell’inviluppo complesso su cui sono riferiti gli an, rispetto alla disposizione degli assi per la portante n  − 1.
Acquisendo dunque un primo riferimento di fase da una portante pilota (§ 14.8.11↓) sempre accesa senza trasportare informazione, si può prendere quello per demodulare la portante successiva, acquisire da questa un nuovo riferimento di fase, e iterare il procedimento per tutte le portanti. Questo risultato si ottiene applicando la teoria del § 14.4↑ alla sequenza simbolica di valori complessi an da trasmettere, sostituendo nelle (16.30↑) e (16.31↑) l’or esclusivo con una operazione di prodotto, ed aggiungendo una operazione di coniugato, come mostrato in fig. 14.41↓, in cui R rappresenta un ritardo unitario.
Codifica differenziale per simboli complessi
Figura 14.41 Codifica differenziale per simboli complessi, R rappresenta un ritardo
Dal lato della trasmissione, le portanti sono dunque modulate a partire dalla sequenza
dn = andn  − 1
con n = 0, 1, ⋯,  − 1, avendo posto a0 = 1. In assenza di rumore e di distorsione lineare la sequenza dn è ricevuta inalterata, ed è così disponibile in uscita dal demodulatore odfm; da essa si ottiene quindi
(16.48) n  = dnd*n  − 1  = andn  − 1d*n  − 1 = an|dn  − 1|2
che presenta dunque la stessa fase di an. In presenza di distorsione lineare, al posto di dn si riceve n = dnHn in cui Hn = Hnejφn sono i campioni della risposta in frequenza del canale, e dunque la (16.48↑) fornisce
n = n*n  − 1 = andn  − 1Hnd*n − 1H*n  − 1 = an|dn  − 1|2⋅ΔHnejΔφn
in cui ΔHn = |HnH*n  − 1| (ma il modulo non ci interessa), e Δφn  = φn − φn − 1 è la differenza tra i valori della risposta di fase del canale valutata per due portanti contigue, e rappresenta l’entità di cui è ruotato il piano dell’inviluppo per i simboli trasportati dalle due portanti. Pertanto, se questa è di lieve entità (essendo le portanti vicine), produce un errore trascurabile.
Accenniamo brevemente ad una ulteriore possibilità di applicare il principio differenziale, oltre che portante per portante, anche ad interi simboli ofdm consecutivi: in questo caso il vettore di simboli akn da trasmettere all’istante k viene combinato con i valori del vettore trasmesso al simbolo precedente k − 1, ovvero dkn  = akndk − 1n. In questo modo possono essere contrastati i fenomeni tempo-varianti che modificano il canale, per una stessa portante n, simbolo dopo simbolo.

14.8.9  Ottimalità

Come stiamo per mostrare, questa proprietà è intimamente legata alla possibilità dell’ofdm di assegnare valori di potenza differenti alle diverse portanti.
La trasmissione numerica con una fb elevata, eseguita utilizzando un tecnica ad una sola portante, deve necessariamente occupare una banda molto ampia, rendendo scarsamente applicabile la semplificazione di pag. 1↑; in tal caso H(f) presenta distorsione di ampiezza, la cui equalizzazione (§ 15.4↓) causa una colorazione del rumore in ingresso al demodulatore, ed un peggioramento delle prestazioni. Un problema analogo nasce nel caso in cui il rumore non sia bianco, ad esempio perché derivante da un segnale interferente.
In entrambi i casi, per tenere conto dell’andamento incostante di PN(f), la valutazione della capacità di canale[623]  [623] Come discusso ai § 11.2.3↑ e 11.2.4↑, il risultato della teoria di Shannon asserisce che fb  = C è la massima velocità di trasmissione per cui si può (teoricamente) conseguire una probabilità di errore nulla, ma anche che il canale consegue capacità C massima a seguito di una oculata scelta di come trasmettere il messaggio. C = Wlog21  + ( Pr)/(WN0) valida in presenza di un rumore bianco PN(f) = (N0)/(2) e con una potenza ricevuta Pr in una banda (positiva) W, si modifica come segue. Se consideriamo il canale scomposto in infinite sottobande entro le quali le densità di potenza di segnale e di rumore possono ritenersi costanti, l’espressione della capacità diviene:
(16.49) C = supPr(f)f  ∈ Iflog21  + ( Pr(f))/(PN(f))df
in cui If rappresenta l’insieme delle frequenze in cui è presente il segnale, ovvero If = {f:Pr(f) > 0}, e Pr(f) viene fatto variare in tutti i modi possibili, con i vincoli f ∈ IfPr(f)df = Pr, e Pr(f) ≥ 0. La (16.49↑) asserisce quindi che, nel caso in cui PN(f) in ingresso al canale non sia bianco, la massima capacità trasmissiva C (e dunque velocità fb) può essere raggiunta sagomando in modo opportuno la densità di potenza Pr(f) del segnale ricevuto.
Per determinare l’andamento ottimo[624]  [624] Ovvero, che rende massima la (16.49↑) di Pr(f) si ricorre al calcolo delle variazioni basato sui moltiplicatori di Lagrange[625]  [625] Vedi ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_moltiplicatori_di_Lagrange, che in questa sede non approfondiamo, ottenendo la soluzione
(16.50) Pr(f) + PN(f) =  λ se PN(f)  < λ PN(f) se PN(f)  ≥ λ
figure f10.24.png
detta anche del riempimento d’acqua perché asserisce che (vedi figura) il segnale debba essere presente in misura maggiore nelle regioni di frequenza dove il rumore è minore. La costante λ è scelta in modo tale da ottenere Pr(f)df  = Pr.
In un sistema di modulazione numerica a singola portante, Pr(f) non può essere modificato a piacere, in quanto il suo andamento è vincolato dal particolare formatore di impulsi G(f) scelto per ottenere una ricezione priva di isi. Nel caso dell’ofdm invece, la potenza assegnata a ciascuna portante può essere variata liberamente, e se la Pr(f) che realizza le condizioni (16.50↑) viene resa nota al modulatore, è possibile avvicinarsi alla velocità massima permessa dalla (16.49↑).
Bit loading
In particolare, si ottiene che la massima velocità fb è conseguibile attribuendo a tutte le portanti la medesima probabilità di errore, e quindi in definitiva determinando dei valori (Eb)/(N0)n per ogni portante n = 0, 1, ...,   − 1 tali da rendere le Pe  ⁄ n = Pe. Questo risultato può essere ottenuto scegliendo le potenze Pn in accordo alla (16.50↑), e quindi trasmettere (o caricare) più bit Mn sulle portanti n per le quali Pn è maggiore.

14.8.10  Codifica

Abbiamo appena mostrato come, conoscendo la PN(f) e la H(f) del canale, sia possibile equalizzare Px(f) = (Pr(f))/(|H(f)|2) e al contempo soddisfare (16.50↑) e rendere massima la fb. Nel caso di collegamenti tempo-varianti però, la H(f) non è nota, ed anche se lo fosse non esiste garanzia che rimanga costante. In tal caso allora non ha senso determinare una distribuzione ottima della potenza e dei bit sulle portanti, mentre invece occorre aggiungere della ridondanza al segnale trasmesso mediante un codice di canale, allo scopo di correggere i bit errati.
Osserviamo ora che, nel caso di una modulazione a portante singola, in presenza di una H(f) tempo-variante, il processo di equalizzazione è particolarmente complesso in quanto deve inseguire le variazioni di H(f). Se l’equalizzazione non è perfetta, insorge isi e la trasmissione può divenire rapidamente così piena di errori da renderne impossibile la correzione anche adottando codici di canale.
Nel caso dell’ofdm, al contrario, l’andamento di H(f) determina un peggioramento di prestazioni solamente per quelle portanti per le quali H(f) si è ridotto[626] [626] Si consideri ad esempio il caso in cui H(f) ha origine da un fenomeno di cammini multipli, che determina un andamento di H(f) selettivo in frequenza (§ 16.3.4.5↓).. Pertanto, l’applicazione di un codice di canale (§ 11.3↑) al blocco di M bit che costituisce un simbolo, seguito da una operazione di scrambling (§ 8.4.2.3↑), consente al lato ricevente di recuperare l’informazione trasmessa anche nel caso in cui per alcune portanti si determini un elevato tasso di errore.
La trasmissione ofdm in cui è presente una codifica di canale prende il nome di trasmissione cofdm (Coded ofdm).

14.8.11  Portanti pilota

Fin qui abbiamo assunto che il ricevitore ofdm mostrato in fig. 14.40↑ operi in condizioni di sincronismo sia per quanto riguarda la portante di demodulazione, sia per gli intervalli di simbolo. A questo scopo alcune delle sottoportanti - dette pilota - non sono usate per trasmettere dati, ma sono mantenute costantemente attive, con potenza di poco superiore alle altre, allo scopo di facilitare la sincronizzazione in frequenza. In figura è rappresentato il caso per il dvb-t, in cui ogni riga rappresenta le portanti di un simbolo, e quelle pilota si trovano in posizione fissa; sono inoltre mostrate delle portanti disperse (scattered) le cui posizioni evolvono ciclicamente di simbolo in simbolo, e consentono di acquisire un sincronismo sia di simbolo che di trama, oltre che eventualmente a permettere una stima della H(f) del canale attraversato.
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  Sezione 14.7: Schema riassuntivo delle prestazioni Su  Capitolo 14: Modulazione numerica Sezione 14.9: Sistemi a spettro espanso 
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