Capitolo 15: Caratterizzazione circuitale, rumore e equalizzazione Su  Capitolo 15: Caratterizzazione circuitale, rumore e equalizzazione Sezione 15.2: Rumore nelle reti due porte 

15.1  Modello circuitale dei segnali

Innanzitutto, eseguiamo il passaggio da “segnale” come fin qui descritto, alla corrispettiva grandezza elettrica che lo veicola.
Potenza di segnale e grandezze elettriche
La caratterizzazione energetica dei segnali è stata finora svolta a prescindere dalla natura fisica degli stessi: ovvero, non si è mai specificato se si trattasse di tensioni o correnti, né si sono indicate le impedenze in gioco. Trattando ora di grandezze elettriche (vedi anche il § 1.7.1.1↑), le potenze di segnale, di tensione o di corrente, saranno misurate in (Volt)2 o in (Ampere)2 rispettivamente.
EsempioSia x(t) un segnale di tensione. La sua potenza Px ha unità di misura [V2], mentre la sua densità di potenza Px(f) si esprime in [V2Hz].
Eseguiamo quindi una distinzione relativa al ruolo che il circuito ha nei confronti del segnale, tradizionalmente basata sul suo numero di porte.
Numero di porte
Le coppie di morsetti a cui applicare o da cui prelevare un segnale vengono denominate porte. In questo senso un generatore che appunto produce il segnale, ed una impedenza di carico che ne assorbe la potenza, costituiscono reti ad una porta. Al contrario, l’oggetto che abbiamo fin qui indicato come filtro, o canale, da un punto di vista circuitale è un sistema fisico dotato di una relazione ingresso-uscita, e per questo indicato come rete due porte.
Modello di rappresentazione
Un circuito può essere rappresentato mediante il suo modello circuitale, in cui sono evidenziati generatori, resistenze,
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impedenze, generatori controllati..., oppure il suo schema simbolico, in cui sono solo mostrate le relazioni funzionali tra i segnali in transito.
Proprietà delle reti due porte
Le proprietà di linearità, permanenza, realizzabilità ideale e fisica, stabilità, già definite al § 1.7.2↑ per i sistemi fisici, possono essere verificate o meno nelle reti due porte. D’altra parte, alcune relazioni e grandezze che nella teoria dei circuiti sono definite per segnali puramente sinusoidali, come per la corrente alternata, nella teoria dei segnali devono essere ridefinite in modo da tenere nel giusto conto i diversi contenuti frequenziali presenti nei segnali con un contenuto informativo.

15.1.1  Bipoli

Passivi
Non contengono generatori, e sono caratterizzati dalle relazioni esistenti tra la tensione ai loro capi e la corrente che vi scorre (entrante). Il legame tra le due grandezze è una convoluzione
v(t)  = i(t)*z(t)
figure f11.3.png
in cui si suppone i(t) la causa e v(t) l’effetto. La trasformata di Fourier fornisce V(f) = I(f)Z(f) in cui Z(f) prende il nome di impedenza, e può scriversi nei termini di parte reale ed immaginaria:
Z(f)  = R(f)  + jX(f)
in cui R(f) (resistenza) è una funzione pari di f (e sempre positiva), mentre X(f) (reattanza) è dispari: pertanto, Z(f) = Z*( − f) e quindi z(t) è reale. Allo stesso tempo, è definita l’ammettenza
Y(f)  = (1)/(Z(f))  = (R(f) −  jX(f))/(|Z(f)|2)
e la corrispondente y(t) = ℱ − 1{Y(f)}, che permette di scrivere i(t) = v(t)*y(t).
Attivi
Sono bipoli al cui interno è presente un
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generatore. Per il teorema di Thévenin,[674] [674] Vedi ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Thévenin qualunque circuito può essere ridotto ad un generatore di tensione con in serie una impedenza (vedi figura), in cui Vg(f) rappresenta la tensione a vuoto, ossia quando I(f) = 0 (considerata uscente nei bipoli attivi).
figure f11.5.png
Esempio Una antenna trasmittente (§ 16.3.1↓) è schematizzabile come un bipolo passivo, di impedenza pari all’impedenza di ingresso dell’antenna, che assorbe la potenza erogata dal trasmettitore. Una antenna ricevente è schematizzabile come un generatore di tensione con in serie la propria impedenza di uscita, e trasferisce allo stadio di ingresso del ricevitore la potenza ricevuta per via elettromagnetica.

15.1.1.1  Potenza assorbita da un bipolo

figure f11.6.png
Se ad un bipolo passivo di impedenza Z(f) è applicato un segnale di tensione con spettro di densità di potenza Pv(f), la potenza dissipata sul bipolo, indicata come Wz per distinguerla da quella di segnale Pv, ha densità
(16.63) Wz(f) = Pv(f)⋅ℜ{Y(f)} = Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2) (V2)/(Ω⋅Hz) = (Watt)/(Hz)
La dimostrazione della relazione illustrata è fornita in appendice 15.5.1↓. La dipendenza di Y(f) dalla frequenza svolge pertanto una azione filtrante, e la potenza totale assorbita (o dissipata) su Z(f) vale
Wz  =  − ∞Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2)df [Watt]

15.1.1.2  Connessione tra generatore e carico

figure f11.7.png
La tensione ai capi del carico è valutabile applicando la regola del partitore[675]  [675] http://it.wikipedia.org/wiki/Partitore_di_tensione:
Vc(f) = Vg(f)(Zc(f))/(Zc(f) + Zg(f))
ossia Vc(f) = Vg(f)H(f) con H(f) = (Zc(f))/(Zc(f) +  Zg(f)). La densità di potenza di segnale ai capi del carico vale Pvc(f) = Pvg(f)|H(f)|2, e la potenza dissipata su Zc(f) risulta
(16.64) Wzc(f)  =  Pvc(f)(Rc(f))/(|Zc(f)|2) =   Pvg(f)||(Zc(f))/(Zc(f)  + Zg(f))||2(Rc(f))/(|Zc(f)|2) =   =   Pvg(f)(Rc(f))/(|Zc(f) + Zg(f)|2)
Osserviamo dunque che la potenza dissipata dal carico dipende da Zc(f), che compare sia a denominatore, che a numeratore con Rc(f). Ci chiediamo allora quale sia il valore di Zc che realizza il massimo trasferimento di potenza tra generatore e carico, sfruttando così appieno la potenzialità del generatore detta potenza disponibile.

15.1.1.3  Potenza disponibile e massimo trasferimento di potenza

La Wzc(f) espressa da (16.64↑) risulta massimizzata qualora il suo denominatore viene reso minimo, ed al § 15.5.2↓ si mostra che ciò avviene qualora risulti Rc(f) = Rg(f) e Xc(f) =  − Xg(f), ovvero Zc(f) = Z*g(f), in modo da poter enunciare
(16.65) se Zc(f) = Z*g(f) allora Wzc(f)  = maxZc(f){Wzc(f)} = (Pvg(f))/(4Rg(f)) = Wdg(f)
Il valore Wdg(f) = (Pvg(f))/(4Rg(f)) prende il nome di spettro di potenza disponibile del generatore, dipende solo dai suoi parametri Pvg(f) e Rg(f), e rappresenta la massima potenza ceduta ad un carico che è adattato per il massimo trasferimento di potenza[676] [676] E’ bene notare esplicitamente che questo massimo è valido solo nel caso in cui non sia possibile modificare la Zg(f). Altrimenti, per un qualunque valore fissato di Zc(f), il massimo di Wzc(f) si ottiene quando Zg(f) →  0..
La potenza disponibile Wdg(f) è pertanto una grandezza caratteristica del generatore; la potenza effettivamente ceduta ad un carico generico Zc(f) ≠ Z*g(f), risulta inferiore a Wdg(f) di una quantità
α(f)  = (4Rg(f)Rc(f))/(|Zg(f) +  Zc(f)|2)
(vedi § 15.5.3↓) e quindi in generale si ha Wzc(f) = α(f)Wdg(f).

15.1.1.4  Adattamento di impedenza per assenza di distorsione lineare

Abbiamo già osservato come la tensione ai capi del carico abbia valore Vc(f) = Vg(f)(Zc(f))/(Zc(f) +  Zg(f))  = Vg(f)H(f). Ci chiediamo ora quali condizioni debbano sussistere affinché H(f) si comporti come un canale perfetto (pag. 1↑), ovvero risulti |H(f)| = cost e arg{H(f)} =  − 2πfτ: tali condizioni sono anche indicate come assenza di distorsione lineare. Il risultato cercato si ottiene qualora si ponga
Zc(f) = αZg(f) con  α  reale
infatti in tal caso risulta H(f) = (αZg(f))/((1 + α)Zg(f))  = (α)/(1 + α), ossia H(f) costante. La condizione Zc(f) = αZg(f) prende il nome di adattamento di impedenza, a volte ristretta al caso in cui α = 1.
Zg(f) reale
Notiamo che massimo trasferimento di potenza ed assenza di distorsione lineare possono sussistere congiuntamente, a patto che Zg(f) = Rg, ovvero che sia il generatore che il carico siano caratterizzati da una impedenza reale.

15.1.2  Reti due porte

Come anticipato, un circuito accessibile mediante due coppie di morsetti è detto rete due porte, e può essere rappresentata secondo almeno due diversi formalismi: il modello circuitale e lo schema simbolico.

15.1.2.1  Modello circuitale

In figura è mostrato un possibile modello circuitale[677]  [677] 
Sono chiaramente possibili modelli diversi, basati su topologie e relazioni differenti. Esistono infatti circuiti a T, ad L, a scala, a traliccio, a pigreco; le relazioni tra le grandezze di ingresso ed uscita possono essere espresse mediante modelli definiti in termini di impedenze, ammettenze, e parametri ibridi.
Il caso qui trattato è quello di un modello ibrido, con la particolarità di non presentare influenze esplicite dell’uscita sull’ingresso. Qualora il circuito che si descrive presenti una dipendenza, ad esempio di Zi da Zc, o Zu da Zg, questo deve risultare nell’espressione della grandezza dipendente. Viceversa, qualora il circuito presenti in ingresso un generatore controllato da una grandezza di uscita, il modello non è più applicabile.
per una rete due porte, caratterizzata in termini di impedenza di ingresso Zi(f), di uscita Zu(f), e di un generatore controllato con tensione a vuoto Vq(f) = Hq(f)Vi(f); le condizioni di chiusura sono quelle di un generatore Vg(f) con impedenza Zg(f) in ingresso, e di una impedenza di carico Zc(f) in uscita.
figure f11.8.png
La tensione Vi(f) all’ingresso della rete
Vi(f) = Vg(f)Hi(f)
dipende da quella del generatore Vg(f) mediante il rapporto di partizione Hi(f) = (Zi(f))/(Zg(f) +  Zi(f)), così come la tensione in uscita
Vu(f) = Vq(f)Hu(f)
dipende da quella del generatore controllato Vq(f) mediante il rapporto di partizione Hu(f) = (Zc(f))/(Zu(f) +  Zc(f)). Combinando queste relazioni, si ottiene che la risposta in frequenza complessiva H(f) risulta:
(16.66) Vu(f) = Vg(f)Hi(f)Hq(f)Hu(f) = Vg(f)H(f)
La relazione mostra come H(f) dipenda, oltre che dalla risposta in frequenza intrinseca della rete Hq(f), anche dalle condizioni di adattamento che si realizzano in ingresso ed in uscita.

15.1.2.2  Schema simbolico

Lo stesso modello circuitale descritto può essere rappresentato equivalentemente mediante lo schema simbolico rappresentato a lato, in
figure f11.9.png
cui sono evidenziate le tre funzioni di trasferimento sopra ricavate, e che operano sui segnali indicati. Lo schema simbolico ha il vantaggio di trascendere dal modello circuitale soggiacente, e di rendere del tutto evidente come la risposta in frequenza complessiva abbia origine dal prodotto di tre termini, di cui solo uno (Hq(f)) rappresenta la rete due porte in senso stretto.

15.1.2.3  Trasferimento energetico

Applicando ora la (16.63↑) alla potenza ceduta al carico Zc(f) dal generatore controllato Vq(f), e tenendo conto della (16.66↑), si ottiene:
Wc(f) = Pvu(f)(Rc(f))/(|Zc(f)|2)  =  Pvg(f)|H(f)|2(Rc(f))/(|Zc(f)|2)
Proseguiamo ora l’analisi cercando di individuare una relazione di trasferimento energetico che possa rappresentare caratteristiche esclusive della rete.
Guadagno di tensione
E’ definito come il rapporto tra tensione di uscita e di ingresso:
Gv(f) = (Vu(f))/(Vi(f))  = Hq(f)Hu(f)
Evidentemente, dipende dalle condizioni di chiusura all’uscita della rete.
Guadagno di potenza
E’ il rapporto tra la potenza ceduta al carico e quella assorbita all’ingresso della rete:
GW(f)  =  (Wc(f))/(Wi(f)) = Pvg(f)|H(f)|2(Rc(f))/(|Zc(f)|2)(1)/( Pvg(f))(|Zg(f)  + Zi(f)|2)/(Ri(f)) =   =  |H(f)|2(Rc(f))/(Ri(f))||(Zg(f)  + Zi(f))/(Zc(f))||2  =   =  |Hq(f)|2(Rc(f))/(Ri(f))||(Zi(f))/(Zu(f)  + Zc(f))||2
ed evidentemente è ancora funzione di Zc(f) ([678] [678] L’ultimo passaggio tiene conto che (omettendo la dipendenza da f):
|H|2||(Zg  + Zi)/(Zc)||2  = ||(Zi)/(Zi  + Zg)Hq(Zc)/(Zc  + Zu)||2||(Zg  + Zi)/(Zc)||2  = |Hq|2||(Zi)/(Zu  + Zc)||2
). Notiamo ora che, qualora il carico sia adattato per il massimo trasferimento di potenza (Zc(f) = Z*u(f)), la potenza ceduta a Zc(f) (e quindi GW(f)) è massima, e la dipendenza di GW(f) da Zc(f) decade, risultando
(16.67) GWMax(f) = |Hq(f)|2(|Zi(f)|2)/(4Ri(f)Ru(f))
Guadagno disponibile
Il rapporto tra la potenza disponibile di uscita, e quella disponibile del generatore posto in ingresso della rete (indipendentemente dal fatto che l’ingresso della rete presenti o meno le condizioni per il massimo trasferimento di potenza) è detto guadagno disponibile, e risulta:
(16.68) Gd(f)  =  (Wdu(f))/(Wdg(f)) = (Pvq(f))/(4Ru(f))(4Rg(f))/(Pvg(f)) =   =  Pvg(f)|Hi(f)|2|Hq(f)|2(Rg(f))/(Ru(f))(1)/( Pvg(f)) =   =  |Hi(f)|2|Hq(f)|2(Rg(f))/(Ru(f))
La relazione trovata mostra la dipendenza di Gd(f) dalle condizioni di chiusura in ingresso; se l’impedenza di ingresso Zi(f) è tale da permettere il conseguimento del massimo trasferimento di potenza, ovvero Zg(f) = Z*i(f), la dipendenza decade ed |Hi(f)|2 = ||(Zi(f))/(Zi(f) +  Z*i(f))||2  = (|Zi(f)|2)/(4R2i(f)); considerando inoltre che Rg(f) = Ri(f), la (16.68↑) diviene:
(16.69) GdMax(f) = |Hq(f)|2(|Zi(f)|2)/(4Ru(f)Ri(f))
Quest’ultima quantità è chiamata guadagno disponibile della rete due porte ed è quella che appunto dipende solo dai parametri della rete stessa. Confrontando (16.69↑) con (16.67↑) notiamo che GdMax(f) coincide con GWMax(f). Confrontando (16.69↑) con (16.68↑), troviamo che Gd(f) = |Hi(f)|2GdMax(f)(4Rg(f)Ri(f))/(|Zi(f)|2). Considerando ora che |Hi(f)|2(1)/(|Zi(f)|2)  = ||(Zi(f))/(Zi(f) +  Zg(f))||2(1)/(|Zi(f)|2)  = (1)/(|Zi(f) +  Zg(f)|2), otteniamo
Gd(f) = (4Rg(f)Ri(f))/(|Zg(f) +  Zi(f)|2)GdMax(f)
che ci consente di valutare Gd(f) nelle reali condizioni di chiusura in ingresso, a partire da GdMax(f) = GWMax(f) che dipende solo dalla rete.
Collegamento generatore-carico mediante rete due porte
Reti passive
Se una rete non contiene elementi attivi, allora GdMax(f) ≤ 1 per qualunque f. In questo caso si parla più propriamente di attenuazione disponibile Ad(f) = (1)/(Gd(f)) ovvero Ad(f) [dB]  =  − Gd(f) [dB].
Reti in cascata
Se più reti sono connesse tra loro l’una di seguito all’altra, e si verificano per ciascuna coppia le condizioni di massimo trasferimento di potenza tra lo stadio di uscita di una e quello di ingresso della successiva, il guadagno disponibile complessivo è il prodotto dei singoli guadagni disponibili: GdTot  = Gd1Gd2⋅…⋅GdN.
EsempioAlla figura seguente è mostrato un generatore con potenza disponibile Wdg collegato ad una serie di tre reti due porte; l’effetto complessivo è quello di un nuovo generatore di uscita con potenza disponibile Wdu pari al prodotto di quella del generatore originario, moltiplicata per i guadagni disponibili delle reti attraversate, tenendo anche eventualmente conto delle attenuazioni supplementari[679] [679] L’attenuazione supplementare (pag. 1↓) può esprimere il peggioramento dovuto al mancato verificarsi delle condizioni di massimo trasferimento tra le impedenze di uscita e di ingresso delle reti affacciate.:
Wdu = WdgGd1Gd2(1)/(Ad)(1)/(As)
che può essere egualmente valutato operando in decibel, come
Wdu[dBW] = Wdg[dBW] + Gd1[dB] + Gd2[dB] − Ad[dB] − As[dB]
in cui ovviamente, qualora Wdg fosse espresso in dBm anziché dBW, lo stesso accadrebbe per Wdu.
figure f11.9a.png
Collegamento radio
Con riferimento al circuito equivalente per una coppia di antenne di pag. 1↑, precisiamo che la potenza trasmessa è quella assorbita dall’impedenza di ingresso dell’antenna trasmittente, mentre quella ricevuta è quella ceduta dal generatore equivalente dell’antenna ricevente, all’impedenza di ingresso del ricevitore.
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