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15.3  Rumore nei ripetitori

Come illustreremo al cap. 16↓, la propagazione del segnale attraverso un mezzo trasmissivo ne determina una attenuazione la cui entità aumenta con la distanza. La realizzazione di un collegamento molto lungo mediante un’unica tratta è pertanto praticamente impossibile, sia a causa del livello troppo ridotto del segnale che sarebbe ricevuto, sia (nel caso di un collegamento radio) per la mancanza di condizioni di visibilità. Pertanto, occorre suddividere il collegamento in più tratte, intervallate da stadi di amplificazione (o ripetitori) progettati in modo da compensare l’attenuazione della tratta appena attraversata.

15.3.1  Ripetitore trasparente

L’aggettivo trasparente si riferisce al fatto che, oltre al segnale, viene amplificato anche il rumore presente in ingresso, e nel caso delle trasmissione analogiche, è l’unico modo di procedere, al contrario delle trasmissioni numeriche, che invece possono adottare di un ripetitore rigenerativo (§ 15.3.2↓), che cioè produce un nuovo segnale, privo di rumore[683] [683] Ma eventualmente, con qualche bit errato in più..
Analizziamo la questione con riferimento ad un collegamento radio, anche se la trattazione può essere estesa ad altre tecniche trasmissive, come il cavo o le fibre ottiche, e consideriamo una successione di M tratte come mostrato in fig. 15.13↓. Il ripetitore interposto tra ogni coppia di tratte amplifica il segnale (ed il rumore) di una quantità pari al proprio guadagno disponibile Gdi, reso uguale all’inverso dell’attenuazione disponibile della tratta precedente, ovvero Gdi  = (1)/(Adi). Il rumore termico accumulato alla fine del collegamento può calcolarsi con i metodi fin qui esposti, ma considerando che il livello di segnale di uscita è lo stesso per tutti i ripetitori, si ritrova il risultato ottenuto al § 7.4.1↑, come ora illustreremo. Al § 15.3.1.2↓ valuteremo poi come le distorsioni di non linearità (§ 7.3↑) degli amplificatori possano intervenire nel progetto.
Rumore nei ripetitori
Figura 15.13 Suddivisione di un collegamento in M tratte, e relativo diagramma del livello di segnale o ipsogramma

15.3.1.1  Rumore termico accumulato

Osservando solamente il segnale in uscita dall’ultimo ripetitore, si può definire un SNR complessivo come SNRT =  (Pm)/(Pn). D’altra parte, il rumore complessivo è dovuto ai contributi di rumore introdotti dai singoli ripetitori: essendo questi ultimi indipendenti tra loro, la potenza di rumore accumulata è la somma delle singole potenze di rumore:
Pn  = σ2n  = E{n2(t)} = E{(ini(t))2}  = iE{n2i(t)} = Mi  = 1  Pni
Osserviamo ora che per ogni singolo ripetitore può essere definito un proprio SNRi = (Pmi)/(Pni), e quindi Pni =  (Pmi)/(SNRi); pertanto, l’SNR complessivo risulta: SNRT  = (Pm)/(i(Pmi)/(SNRi)). Notiamo inoltre che, essendo il livello di segnale Pmi in ingresso a ciascun ripetitore lo stesso, ovvero Pmi =  Pm per i, i singoli contributi Pni al rumore complessivo possono essere espressi nei termini di uno stesso livello di segnale, ovvero Pni  = (Pm)/(SNRi), e dunque per l’SNR complessivo si ottiene
SNRT = (Pm)/(Pmi(1)/(SNRi))  = (1)/(i(1)/(SNRi))
Questo risultato può essere espresso con la frase
l’SNR prodotto da più cause indipendenti è il parallelo degli SNR dovuti alle diverse cause di rumore
per via della analogia formale con l’espressione della resistenza equivalente di un parallelo di resistenze; l’analogia evidenzia, tra l’altro, che se una tratta è considerevolmente peggiore delle altre, SNRT dipenderà essenzialmente da questa.
Il risultato a cui siamo giunti ha validità più generale del caso illustrato, e può essere invocato ogni volta che un sistema di comunicazione è affetto da più cause di disturbo additivo indipendenti tra loro, per ognuna delle quali si sia separatamente in grado di giungere ad una espressione di SNR, come illustrato anche al § 7.4.1↑.
Proseguiamo l’analisi ipotizzando ora che tutte le tratte siano uguali tra loro, ovvero con eguali Ad e Gd, uguali temperature di rumore, ed uguali SNRi. In tal caso si ottiene
SNRT = (1)/((M)/(SNRi))  = (SNRi)/(M)
con SNRi = αSNR0  = α(PR)/(Pn), dove Pn = kTeiW è la potenza di rumore nella banda di messaggio W, PR è la potenza ricevuta da un ripetitore (uguale per tutti se le tratte sono uguali), e α è un fattore che dipende dal tipo di modulazione. Sembrerebbe dunque che per migliorare l’SNR complessivo sia sufficiente elevare il livello di trasmissione di tutti gli stadi, in modo da elevare la potenza ricevuta. In realtà la potenza trasmessa non può aumentare a piacere, in quanto intervengono fenomeni di non-linearità.

15.3.1.2  Compromesso tra rumore termico e di intermodulazione

Al § 7.3↑ si è osservato come per un segnale modulato la presenza di un elemento a comportamento non lineare (tipicamente l’amplificatore di potenza del trasmettitore) produce interferenza in banda, la cui potenza dipende con legge cubica dalla potenza del segnale trasmesso. Indicando quindi con SNRI  = (Pm)/(PI) il rapporto SNR complessivo del collegamento dovuto a cause di non linearità, indipendenti dal rumore termico, osserviamo che questo diminuisce all’aumentare della potenza trasmessa da ogni ripetitore. Pertanto, l’SNR complessivo deve tener conto sia del rumore termico che di quello di intermodulazione, e può essere espresso come “il parallelo” di entrambi, ossia
SNR = (1)/(1SNRT  + 1SNRI)
Dato che all’aumentare della potenza di trasmissione SNRT diminuisce mentre SNRI aumenta, l’SNR complessivo presenta un massimo per un certo valore di potenza trasmessa, ovvero esiste un dimensionamento ottimo in grado di fornire il miglior SNR complessivo.
EsempioLa figura a lato mostra l’andamento di
SNR = (1)/((1)/(SNRT) + (1)/(SNRI))
figure f14.9.png
dovuto ai due termini
SNRT = PmeSNRI = (Pm)/(.1⋅ P2m  + .01⋅ P3m)
Come si vede, SNR presenta un massimo per Pm≃2.5.

15.3.2  Ripetitore rigenerativo

Affrontiamo ora il caso in cui la trasmissione sia di natura numerica (§ 14↑): in tal caso i dispositivi intermedi di amplificazione anziché essere di tipo trasparente, vengono detti rigenerativi,
Ripetitore rigenerativo
ovvero mentre dal lato ricevente svolgono l’intero processo di decisione (§ 8.3↑) sui simboli del messaggio, dal lato di trasmissione generano un nuovo segnale in cui è assente il rumore presente in ricezione.
La valutazione delle prestazioni complessive nel caso si adottino M ripetitori rigenerativi posti in serie lungo un medesimo collegamento è piuttosto semplice, qualora siano equispaziati, ed ognuno caratterizzato dalla stessa p = Pbite. In tale circostanza si ricade infatti nel caso delle prove ripetute, permettendo di esprimere la probabilità che lo stesso bit sia sbagliato da n ripetitori (su M) mediante la distribuzione di Bernoulli (§ 17.1↓) p(n) = (Mn)pn(1  − p)M − n. Ovviamente il bit risulterà sbagliato solo se avrà subito un numero dispari di errori, e dunque complessivamente possiamo scrivere
PTe = Mn dispari, n = 1p(n) = Mp(1  − p)M  − 1 + (M(M  − 1)(M  − 2))/(3!)p3(1  − p)M  − 3 + ⋯
Nel caso, come spesso accade, che p≪1, l’espressione indicata è bene approssimata dal solo primo termine, e dunque si può affermare che PTeMPbite, ovvero che la prob. di errore sul bit è proporzionale al numero di tratte.
Ripetitore trasparente nelle trasmissioni numeriche
In questo caso, ogni ripetitore trasparente amplifica oltre al segnale anche il rumore già presente, e ne aggiunge di suo: come mostrato al § 15.3.1.1↑ nel caso di tratte identiche, all’estremo di destinazione del collegamento si osserva un SNRT  = (SNRi)/(M), pari cioè a quello di ogni singola tratta, diviso per il numero delle tratte. In tal caso l’EbN0 del ricevitore a destinazione (l’unico ora che esegue il processo di decisione) risulta diminuito della stessa quantità (vedi eq. (10.69↑) pag. 1↑), producendo un peggioramento delle sue condizioni operative di 10log10M dB rispetto a quelle delle singole tratte.
EsercizioUna trasmissione numerica 16-qam (§ 14.3↑) è realizzata mediante un collegamento suddiviso in M  = 16 tratte uguali. Qualora si desideri una PTe complessiva pari a 10 − 5, valutare il valore di EbN0 necessario in ingresso a ciascuna tratta, nei due casi a) ripetitori rigenerativi oppure b) ripetitori trasparenti. Indicare quindi l’entità del rapporto tra le potenze di segnale in ingresso ai ripetitori nei due casi.
SvolgimentoNel caso a) risulta PTeMPe, dunque per ogni tratta si deve ottenere una Pe  = PTeM = 10 − 516  = 6.25⋅10 − 7, a cui (per un 16-qam) corrisponde (fig. 14.22↑) un valore EbN0≃14.5 dB. Nel caso b) la decisione ha luogo solamente nell’ultima tratta, e per ottenere una PTe  = 10 − 5, la modulazione 16-qam necessita di un valore EbN0≃13.5 dB. D’altra parte, per ottenere un tale EbN0 in ingresso al decisore, ogni tratta che lo precede deve presentare un EbN0 in ingresso allo stadio di amplificazione maggiore (rispetto a quello del decisore) di una quantità pari a log2M  = 4 dB, ossia EbN0  = 13.5 + 4 = 17.5 dB, ovvero 3 dB in più rispetto al caso a).
     Essendo le tratte identiche, per ognuna di esse il valore N0  = 12kTei è lo stesso, in quanto (vedi eq. 16.74↑) Tei  = Tg  + T0(F  − 1), e sia Tg che F sono gli stessi per tutte le tratte. Pertanto la differenza di 3 dB tra i valori di EbN0 nei casi a) e b) si riflette in un raddoppio della potenza in ingresso ad ogni ripetitore trasparente, in confronto a quello rigenerativo.
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