Sezione 16.2: Collegamenti in cavo Su  Capitolo 16: Collegamenti e mezzi trasmissivi Sezione 16.4: Collegamenti in fibra ottica 

16.3  Collegamenti radio

La trasmissione via onda radio si differenzia da quella via cavo o fibra ottica sotto diversi aspetti, tra cui la condivisione di uno stesso mezzo tra più comunicazioni, e la possibilità di comunicare in movimento. E’ resa possibile dalla conversione di un segnale elettrico in radiazione elettromagnetica[734] [734] Dato che tale conversione avviene unicamente a seguito delle variazioni del segnale, è esclusa la presenza di una componente continua, e per questo (ma non solo) il segnale può unicamente essere di natura modulata. ad opera dei dispositivi di antenna, che fungono da carico dal lato trasmissione, e da generatore dal lato ricezione. La descrizione
circuito equivalente del collegamento di antenna
circuitale delle antenne viene poi semplificata dalla circostanza che per il segnale modulato è praticamente sempre vera la condizione di occupare una banda stretta attorno alla portante f0, in modo da poterlo assimilare ad una singola sinusoide. In tal caso, le condizioni di massimo trasferimento di potenza (§ 15.1.1.3↑) tra amplificatore finale e antenna trasmittente (Zg  = Z*T) e tra antenna ricevente e stadio di ingresso al ricevitore (ZR  = Z*i) danno luogo, nella banda di segnale, ad una risposta in frequenza H(f) che non dipende dalla frequenza (modulo e fase costanti), e questo corrisponde (a parte una rotazione di fase) all’assenza di distorsione lineare, vedi pag. 1↑. Tutta la potenza disponibile fornita dall’amplificatore finale WdT  = (V2Teff)/(4Rg) viene ceduta all’antenna, e da questa allo spazio. In effetti ZT dipende dalla frequenza portante ed in parte dalla geometria dello spazio circostante, mentre Zg è in genere fissata a 50 Ω; perciò tra stadio di uscita del trasmettitore Tx e cavo di antenna può essere interposto un adattatore di impedenza[735] [735] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_tuner.

16.3.1  Trasduzione elettromagnetica

Antenna isotropa
Antenna isotropa
Se l’antenna trasmittente irradia allo stesso modo in tutte le direzioni, WdT si distribuisce su di una sfera; dunque una superficie dS, posta a distanza d, è attraversata da una potenza pari a
(16.110) dW  = WdT(dS)/(4πd2) [ Watt]
Si noti che il denominatore rappresenta la superficie di una sfera di raggio d.
Antenna direttiva
Sono antenne che hanno direzioni privilegiate di emissione. Ad esempio, le antenne paraboliche dispongono di un illuminatore o feed[736]  [736] Dall’inglese to feed = alimentare. posto in corrispondenza del fuoco della parabola stessa, la cui superficie riflette le onde elettromagnetiche in modo che si propaghino in forma pressoché parallela[737] [737] Il processo di focalizzazione parabolica, comunemente usato ad esempio nei fanali degli autoveicoli, era ben noto ad Archimede da Siracusa, che lo impiegò negli specchi ustori....
Antenna direttiva

La potenza WdT si distribuisce quindi non sfericamente, e la direzione di propagazione massima esibisce un guadagno GT rispetto all’antenna isotropa, mentre l’intensità di campo irradiato spazialmente è descritta da un diagramma di radiazione. Il valore di GT dipende dal rapporto tra le dimensioni dell’antenna e quelle della lunghezza d’onda λ secondo la relazione
(16.111) GT  = 4π(A)/(λ2)
avendo indicato con A l’area dell’antenna; il guadagno GT viene spesso espresso in dBi, ovvero dB riferiti all’antenna isotropa.
Può essere definita una larghezza del fascio (beam width), che misura l’angolo θb entro cui la potenza irradiata è superiore alla metà della massima potenza presente nella direzione privilegiata[738]  [738] Si tratta di un concetto del tutto analogo alla “frequenza di taglio a 3 dB”, ma applicata ad un dominio spaziale con geometria radiale.. Ovviamente minore è θb, e maggiore è GT.
Antenna ricevente
Se una antenna identica a quella trasmittente viene usata (dall’altro lato del collegamento) per ricevere, questa mantiene lo stesso guadagno GR  = GT e lo stesso θb. Si definisce allora la sua area efficace come il valore
(16.112) Ae  = GR(λ2)/(4π)
legato alla forma e dimensione dell’antenna, a meno di un fattore di efficienza ρ ([739]  [739] Indicando con Ar l’area reale (fisica) dell’antenna, risulta Ae  = ρAr, con ρ  < 1. La diseguaglianza tiene conto delle perdite dell’antenna, come ad esempio le irregolarità nella superficie della parabola, o l’ombra prodotta dalle strutture di sostegno. Ovviamente, anche l’antenna trasmittente presenta perdite, ed il valore GT misurato è inferiore a quello fornito dalla (16.111↑), a meno di non usare appunto il valore di area efficace.). Perciò una stessa antenna (Ae fisso) aumenta il suo guadagno (e stringe il beam) all’aumentare della frequenza, ovvero al diminuire di λ  = (c)/(f) ([740]  [740] La costante c = 3⋅108 metri/secondo rappresenta la velocità della luce nel vuoto, ossia la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nello spazio.).

16.3.2  Bilancio di collegamento per spazio libero

Potenza ricevuta
Usando l’area efficace dell’antenna ricevente (16.112↑) per intercettare parte della potenza irradiata (16.110↑), si ottiene
WR = WdTGT(Ae)/(4πd2) = WdTGTGR(λ)/(4πd)2 [Watt]
Ovviamente, anche il ricevitore ha la propria Zi  = Z*R accordata per il massimo trasferimento di potenza, e la banda di segnale è sempre stretta a sufficienza da garantire l’assenza di distorsioni lineari. Quindi la WR =  WdR è proprio la potenza ricevuta.
Attenuazione di spazio libero
Il termine
(16.113) Asl  = (4πd)/(λ)2  = (4πdf)/(c)2
è chiamato attenuazione di spazio libero, e dipende da f2 oltreché da d2. In realtà ai fini del bilancio di collegamento, la dipendenza dalla frequenza si elide con quella relativa al guadagno delle antenne: GT = Ae(4π)/(λ2) = Ae(4πf2)/(c2) ([741]  [741] Mantenendo fissa la dimensione delle antenne, si ottiene il risultato che trasmissioni operanti a frequenze più elevate permettono di risparmiare potenza. Purtroppo però, guadagni di antenna superiori a 30-40 dB (corrispondenti a piccoli valori di θb) sono controproducenti, per i motivi esposti al § 16.3.3.1↓.).
Attenuazione disponibile
Il rapporto
(16.114) Ad  = (WdT)/(WdR)  = (4πdf)/(c)2(1)/(GTGR)
è chiamato attenuazione disponibile, ed indica di quanto si riduce la potenza trasmessa. Il suo valore espresso in decibel, tenendo conto delle costanti che vi compaiono, ed usando le unità di misura più idonee, risulta essere
(16.115) Ad(dB)  = 32.4 + 20log10f(MHz) + 20log10d(Km)  − GT(dB) − GR(dB)
nota come equazione di Friis. Osserviamo che, a differenza della trasmissione in cavo, l’attenuazione cresce con il quadrato della distanza, e quindi con il suo logaritmo quando espressa in decibel. Infatti ora l’attenuazione è dovuta esclusivamente all’aumentare della superficie su cui si distribuisce la potenza irradiata, e non a fenomeni dissipativi, come accade invece per cavo (eq. (16.109↑)) e fibra ottica. Per un esempio di applicazione della (16.115↑), si veda l’esercizio a pag. 1↑.
Il sistema di telecomunicazione che meglio rappresenta le condizioni di spazio libero è quello tra terra e satellite (§ 20.3↓), per il semplice fatto che non vi sono frapposti ostacoli, e che approfondiamo brevemente alla appendice 20.3↓. D’altra parte, i collegamenti radio terrestri, sia fissi che mobili, sono affetti da una serie di ulteriori fenomeni, mentre la (16.115↑) si limita a considerare un solo aspetto del problema; di seguito ne citiamo un altro paio, ed ai prossimi § approfondiamo il tema:

16.3.3  Condizioni di propagazione e attenuazioni supplementari

Sono ora descritti i fenomeni legati alla geometria del territorio ed alle condizioni atmosferiche, che determinano l’insorgenza di attenuazioni supplementari As ovvero in più, da sommare al valore Ad(dB) fornito dalla (16.115↑) per ricavare la potenza realmente ricevuta.

16.3.3.1  Condizioni di visibilità

Come ricavabile anche dall’espressione dell’area efficace (16.112↑), all’aumentare della frequenza si possono ottenere antenne di dimensioni ridotte e contemporaneamente di elevato guadagno. Allo stesso tempo, per evitare l’assorbimento terrestre, occorre posizionare l’antenna in alto (in cima ad una torre), e trasmettere per onda diretta, condizione nota anche come los o line of sight.
A causa della curvatura terrestre, esiste una altezza minima da rispettare: ad esempio con torri da 60 metri si raggiungono distanze (in visibilità) di 50 Km. Ovviamente, il problema si presenta in pianura. Tratte più lunghe richiedono torri più alte, ma anche guadagni di antenna maggiori (e quindi antenne più grandi e più direttive). Questa non è però una soluzione molto praticabile, in quanto in presenza di vento forte le antenne “grandi” possono spostarsi e perdere il puntamento; inoltre, il costo delle torri aumenta esponenzialmente con l’altezza.
Orizzonte radio
Nel calcolare l’altezza delle torri (ed il puntamento delle antenne) si deve
Orizzonte radio
considerare anche il fenomeno legato al fatto che l’onda elettromagnetica, propagandosi, si piega verso gli strati dell’atmosfera con indici di rifrazione maggiori (ossia verso terra). Pertanto, i calcoli vengono effettuati supponendo che il raggio terrestre sia per 4 ⁄ 3 maggiore di quello reale. Inoltre, l’indice di rifrazione (che aumenta verso il basso) può variare con l’ora e con le condizioni climatiche: pertanto, anche in questo caso, le antenne con guadagni elevati (e molto direttive) possono andare fuori puntamento.
Ellissoidi di Fresnel
Anche se le antenne si trovano in condizioni di visibilità, occorre tenere conto dei fenomeni di diffrazione[744]  [744] http://it.wikipedia.org/wiki/Diffrazione, che deviano nella zona in ombra le onde radio che transitano in prossimità di ostacoli[745]  [745] Lo stesso fenomeno di diffrazione è egualmente valido per l’energia luminosa, e può essere sperimentato illuminando una fessura, ed osservando le variazioni di luminosità dall’altro lato.. Pertanto, la determinazione dell’orizzonte radio deve prevedere un margine di distanza h tra la congiungente delle antenne ed il suolo, od un eventuale ostacolo.
Ellissoidi di Fresnel
La distanza h deve essere almeno pari al raggio del primo ellissoide di Fresnel, che è un solido di rotazione definito come il luogo dei punti P per i quali la somma delle distanze d(A, P)  + d(P, B) è pari a d(A,  B) + (λ)/(2), in cui λ  = (c)/(f) è la lunghezza d’onda della trasmissione a frequenza f. Suddividendo la distanza d(A,  B) tra i due fuochi A e B in due segmenti d1 e d2, individuati dalla posizione dell’ostacolo, si trova che il raggio dell’ellissoide è pari a
R = ((λ)/((1)/(d1)  + (1)/(d2)))
che, nel caso d1 = d2  = (d(A, B))/(2), assume il valore massimo RM = (1)/(2)(λd). Qualora si determini la condizione h <  R, il collegamento subisce una attenuazione supplementare che aumenta al diminuire di (h)/(R), ed è maggiore per gli spigoli vivi, fino ad arrivare ad una decina di dB.

16.3.3.2  Diffusione e riflessione atmosferica

diffusione troposferica
Tra 0,1 e 10 GHz si può verificare il fenomeno della diffusione troposferica[746] [746] http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_scatter (lo strato dell’atmosfera fino a 20 Km di altezza), causata da turbolenze e particelle sospese, e che comportano un numero infinito di cammini multipli.
radiodiffusione ionosferica
Tra qualche MHz e 30 MHz, intervengono fenomeni di radiodiffusione ionosferica[747] [747] http://en.wikipedia.org/wiki/Skywave (la fascia oltre gli 80 Km), dove strati ionizzati causano riflessioni del segnale, e consentono la trasmissione anche tra luoghi non in visibilità[748] [748] Anche, ma non solo, in concorso con la riflessione operata da masse d’acqua, come mostrato in figura., ma con il rischio di cammini multipli. E’ questo il caso tipico delle onde corte.
Per frequenze sotto il MHz la propagazione è per onda di terra, e l’assorbimento terrestre impedisce di coprire grandi distanze (tranne che per le onde lunghe, meno attenuate). Anche in questo caso può verificarsi la diffusione troposferica, specie di notte.

16.3.3.3  Assorbimento atmosferico

Per lunghezze d’onda di dimensione comparabile a quella delle molecole di ossigeno, si produce un fenomeno dissipativo di assorbimento; le frequenze interessate sono quelle superiori a 30 GHz, con un massimo di 20 dB/Km a 60 GHz([749]  [749] L’elevata attenuazione chilometrica presente a 60 GHz può essere sfruttata nei sistemi di comunicazione cellulare, allo scopo di riusare una stessa banda di frequenze anche a breve distanza.). Inoltre, il vapor d’acqua (con molecole di dimensioni maggiori) produce una attenuazione supplementare di 1-2 dB/Km (al massimo) a 22 GHz[750]  [750] L’assorbimento di potenza da parte delle molecole d’acqua per onde elettromagnetiche a 22 GHz è il principio su cui si basa il forno a microonde.. Sotto i 10 GHz non si verifica assorbimento né da ossigeno, né da vapore.

16.3.3.4  Dimensionamento di un collegamento soggetto a pioggia

In caso di pioggia, si manifesta una ulteriore causa di assorbimento atmosferico, detto appunto da pioggia, che costituisce la principale fonte di attenuazione supplementare per frequenze superiori a 10 GHz. L’attenuazione supplementare da pioggia aumenta con la frequenza portante, con l’intensità di precipitazione e con l’estensione della zona piovosa lungo il tragitto radio; questi ultimi due fattori sono evidentemente elementi aleatori, e per questo il dimensionamento mira a stabilire quale sia il margine necessario a garantire un grado di servizio prefissato. Il margine necessario, è pertanto pari al valore di attenuazione supplementare che viene superato con una probabilità minore o uguale al grado di servizio.
Una formula sperimentale che consente di determinare il valore in dB dell’attenuazione supplementare che viene superato con probabilità p è:
As(r0,   d,  p) = Krα0dβ(d)γ(p) [dB]
in cui r0 è l’intensità di precipitazione (in mm/h) che viene superata per lo 0.01 % del tempo, d è la lunghezza del collegamento, e K ed α sono costanti che caratterizzano l’entità dell’interazione dell’onda radio con la pioggia, in funzione della frequenza portante e di altre condizioni climatiche ed ambientali, i cui valori medi sono riportati nella tabella che segue.
f0(GHz) 10 15 20 25 30 35
α 1.27 1.14 1.08 1.05 1.01 .97
K .01 .036 .072 .12 .177 .248

Il valore di r0 per l’Italia è compreso tra 20 e 60 mm/h, mentre il termine γ(p) =  6.534⋅10 − 3p − (.718  + .043⋅log10p), che vale 1 per p = 10 − 4, permette di tener conto del grado di servizio che si vuole ottenere. Infine, β(d) = 1 ⁄ (1 +  .0286⋅d) è un fattore correttivo che tiene conto del fatto che non piove lungo tutto il collegamento. I grafici in fig. 16.16↓mostrano l’andamento del termine Krα0dβ(d) per diversi valori di f0 ed r0, in funzione dell’estensione del collegamento; infine, è riportato il grafico della funzione γ(p) per diversi valori di p.
figure f12.150.png figure f12.151.png
figure f12.152.png figure f12.155.png
   
Figura 16.16 Curve di attenuazione supplementare per pioggia
Dimensionare un collegamento imponendo un margine elevato può dar luogo a problemi dal lato del ricevitore, che potrebbe trovarsi ad operare in regione non lineare a causa dell’eccesso di potenza ricevuta, qualora non siano presenti le attenuazioni supplementari: può essere allora utilizzato un canale di ritorno nell’altra direzione, in modo da regolare la potenza del trasmettitore.
EsempioUn ponte radio numerico opera tra due località distanti 50 Km con una portante f0  =  15 GHz. Valutare l’attenuazione supplementare superata per lo 0.1% del tempo, nell’ipotesi che l’intensità di precipitazione superata per lo 0.01% del tempo sia pari a 40 mm/h.
Svolgimento Dal primo grafico di fig. 16.16↑ si ricava un valore di A10 − 4s  ≥  50 dB per lo 0.01% del tempo; considerando invece un grado di servizio 10 volte peggiore, occorre considerare il fattore γ(10  − 3) 0.45, e dunque A10 − 3s  ≥  50 0.45 = 22.5 dB.

16.3.3.5  Cammini multipli

Oltre i 30 MHz, nonostante la direttività delle antenne, alcuni raggi obliqui possono incontrare superfici riflettenti come laghi o masse d’acqua, essere riflessi dagli strati atmosferici, o percorrere notevoli distanze nei condotti atmosferici[751]  [751] Nel caso in cui una massa d’aria calda ne sovrasti una più fredda, si verifica una inversione dell’indice di rifrazione, e l’onda elettromagnetica di propaga come in una guida d’onda, vedi anche http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_propagation. per poi tornare al suolo, e causare la ricezione di una (o più) eco ripetuta dello stesso segnale. In questi casi il collegamento si dice affetto da multipath, e può essere caratterizzato mediante una risposta impulsiva del tipo
(16.116) h(t)  = Nn = 1anδ(t − τn)
in cui i valori τn sono i ritardi con cui si presentano le diverse eco, ognuna caratterizzata da una ampiezza an, in accordo allo schema di filtro trasversale presentato al § 6.7↑.
La corrispondente risposta in frequenza
H(f)  = Nn  = 1ane  − j2πfτn
può produrre distorsione lineare; come esempio, consideriamo il caso di una eco singola con ritardo T, per il quale (vedi § 6.7.2↑) il modulo quadro della risposta in frequenza risulta
|H(f)|2 =  1 + a2 + 2acos2πfT
periodico in frequenza con periodo f = (1)/(T), mostrato in fig. 16.17↓,per valori lineari ed in dB, e per diverse scelte di a. Osserviamo che per valori di a prossimi ad 1, la risposta in frequenza presenta una notevole attenuazione nell’intorno di f = (2k + 1)/(2T), di fatto impedendo la trasmissione su tali frequenze; inoltre, all’aumentare di T le oscillazioni di |H(f)|2 si infittiscono[752]  [752] Ad esempio, desiderando (1)/(T) > 1 MHz, si ottiene TMax = 1 μsec; se l’onda radio si propaga alla velocità c = 3⋅108 m/sec, la massima differenza di percorso vale Δmax  = cTMax = 3⋅108⋅10  − 6 = 300 metri. , e dunque aumenta la possibilità che |H(f)|2 vari di molto nella banda del segnale, causando una distorsione lineare che sarà necessario equalizzare.
figure f12.15.pngfigure f12.15bis.png
Figura 16.17 Modulo quadro della risposta in frequenza per un collegamento affetto da eco singola
figure f12.12z.png
Esempio Consideriamo la geometria descritta in figura, in cui un collegamento di portata d tra A e B subisce un fenomeno di riflessione ametà della sua lunghezza, da parte di una superficie riflettente R che dista h dalla congiungente, e ricaviamo l’espressione del ritardo T. Ricordando che tempo = (spazio)/(velocita) e indicando con d la distanza dAB e con dr quella percorsa dall’onda riflessa, otteniamo che la differenza tra i tempi di arrivo dell’onda diretta e riflessa vale T  = (1)/(c)(dr  − d); inoltre, dalla trigonometria risulta che (d)/(2) = (dr)/(2)cosθ. Combinando le due relazioni, otteniamo che T  = (d)/(c)(1)/(cosθ)  − 1, in cui θ = arctan(h)/(d2)  = arctan2(h)/(d). Attualizzando il risultato ad uno scenario in cui d  = 1 Km ed h = 100 metri, si ottiene θ = 11o31’, cosθ  = 0.98, e T  = 0, 066 μsecondi. Pertanto |H(f)|2 presenta un periodo (in frequenza) di (1)/(T) = 15, 15⋅106 =  15,  15 MHz
Modello two-ray ground-reflected
E’ il nome attribuito allo schema descritto dall’esempio precedente, esteso ad un caso generale in cui vengono prese in considerazione possibili altezze differenti per le antenne, il cui guadagno viene considerato variabile in funzione dell’angolo di emissione, e sono prese in considerazione le caratteristiche del coefficiente di riflessione al suolo. L’approfondita analisi[753]  [753] Vedi ad esempio https://en.wikipedia.org/wiki/Two-ray_ground-reflection_model, da cui è tratta l’immagine mostrata. Molto interessante, anche l’applet java disponibile presso http://www.cdt21.com/resources/siryo1_02.asp, che grafica l’andamento della attenuazione del modello, al variare di alcuni dei parametri prima illustrati. di tali particolarità porta al risultato che, per distanze
Modello two-ray ground-reflected
brevi tra le antenne le onde diretta e riflessa si sommano costruttivamente, producendo ad un guadagno anziché ad una attenuazione; aumentando la distanza si assiste ad una attenuazione che cresce con d2, come per il caso di spazio libero, ma con sovrapposta l’oscillazione su illustrata, e che dipende dalla geometria del problema. Oltre un distanza detta critica, e che corrisponde alla prima zona di Fresnel, l’attenuazione aumenta con d4.
Il fading piatto
Qualora la banda del segnale sia sufficientemente piccola rispetto a (1)/(T), e si possa considerare |H(f)|2 costante in tale banda (pag. 1↑), l’attenuazione dovuta alla presenza di cammini multipli prende il nome di flat fading (vedi § 16.3.4.5↓). Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza, ma è spesso usato in inglese, cosicché l’assenza di distorsione lineare per segnali a banda stretta è anche detta condizione di fading piatto, sottintendendo in frequenza. Nel seguito ci si continua a riferire alle attenuazioni supplementari con il termine più generale di fading.

16.3.3.6  Collegamento in diversità

Il fading prodotto da cammini multipli viene detto selettivo in frequenza quando |H(f)|2 varia in modo rilevante, e ciò accade specialmente quando due repliche del segnale giungono al ricevitore con ampiezze molto simili. Il problema può essere affrontato prevedendo una ridondanza degli apparati.
Diversità di frequenza
La stessa trasmissione è effettuata mediante due diverse portanti: nel caso in cui una delle due subisca attenuazione, la trasmissione che utilizza l’altra portante ne è probabilmente esente (o viceversa).
Diversità di frequenza
Se il collegamento è condiviso tra diverse trasmissioni, una unica via di riserva può essere impiegata per fornire una ridondanza N:1. Ad esempio, in una trasmissione multiplata fdm (§ 9.1.1.2↑), la portante di riserva viene assegnata al canale del banco fdm che presenta la maggiore attenuazione.
Diversità di spazio
Adottando due diverse antenne riceventi in posizioni differenti, la differenza di percorso T tra
Diversità di spazio
cammini multipli è differente per le due antenne, e dunque la risposta in frequenza |H(f)|2 = 1 + a2 + 2acos2πfT ha una diversa periodicità nei due casi. Pertanto, anche se un ricevitore subisce una attenuazione selettiva, l’altro ricevitore ne è esente.
EsempioUtilizzando gli stessi dati del precedente esempio, valutiamo cosa accade se la riserva viene posta dieci metri più indietro dell’antenna principale. In tal caso il nuovo ritardo tra il raggio diretto e quello riflesso diviene pari a T’  = 65.3 nanosecondi contro i T  = 66.0 nsec ottenuti per la via principale, e dunque |H(f)|2 per la riserva ha un periodo pari a 1T  = 15.29 MHz, una differenza di 140 KHz. Per ottenere che i minimi della |H(f)|2 nei due casi siano distanziati di almeno 3 Mhz, ovvero il 20% del periodo in frequenza, occorre operare con portanti oltre i 300 MHz.

16.3.4  Collegamenti radiomobili

Le condizioni di propagazione per comunicazioni radiomobili, come nel caso della telefonia cellulare, presentano diversi aspetti particolari che influenzano il fading.
figure steetcanyon.jpg
Innanzitutto, l’antenna del terminale mobile è molto vicina al suolo, e ciò comporta la presenza di una eco fissa da terra, quasi sempre il mancato rispetto delle condizioni di Fresnel[754]  [754] Alla frequenza di 1 GHz si ha λ  = 30 cm e per una distanza di 100 metri dal trasmettitore si ottiene un raggio massimo dell’ellissoide pari a (1)/(2)(.3⋅100) = (1)/(2)(30)≃2.7 metri., ed una attenuazione supplementare da assorbimento terrestre. Inoltre, specialmente in ambito urbano, si verifica un elevato numero di cammini multipli e diffrazioni, che per di più variano nel tempo in conseguenza dello spostamento del terminale.
Infine, l’uso condiviso di una stessa banda di frequenze radio da parte di una moltitudine di terminali, determina la necessità di riusare le stesse frequenze in regioni differenti[755]  [755] Vedi ad es. il § 9.1.1.3↑., e l’attuazione di meccanismi di codifica di canale (§ 11.3↑) per ridurre gli effetti delle interferenze e del fading variabile[756] [756] Mentre il fading produce una attenuazione variabile sul segnale, la stessa variabilità delle condizioni di propagazione può portare a livelli di interferenza variabili, causati da altre trasmissioni nella stessa banda. La variabilità temporale della qualità del segnale ricevuto, in particolare quella veloce (vedi § 16.3.4.6↓), produce errori a burst, che possono essere corretti mediante codifica di canale ed interleaving (vedi § 8.4.2.3↑).. Analizziamo nel seguito i fenomeni legati alla posizione ed all’ambiente, fornendo modelli che descrivono le attenuazioni supplementari ed i fenomeni di multipath variabile, rimandando la discussione sulle tecniche di accesso multiplo ad una prossima edizione.

16.3.4.1  Le componenti del fading

Il bilancio di collegamento descritto dalla figura di pag. 1↑ può essere impostato come illustrato in fig. 16.22↓, considerando una componente di attenuazione nominale indicata come path loss (o attenuazione di percorso), e due componenti aleatorie di attenuazione supplementare legate a posizione e movimento, indicate rispettivamente come fading su larga scala o shadowing (ombreggiatura) e su piccola scala.
Il valore del path loss Apl risulta maggiore di quello di Asl (eq. 16.113↑) a causa delle condizioni di propagazione non ideali, causando una Ad più elevata, come analizzato al § 16.3.4.2↓.
L’attenuazione supplementare su larga scala alss tiene conto dei fenomeni lentamente variabili nel tempo, come la frapposizione di rilievi, edifici, ed alberi: essa non varia di molto
figure fadingmargin.png
Figura 16.22 Determinazione del margine radiomobile
con il movimento del ricevitore, ed al § 16.3.4.3↓ si mostra come il suo valore possa considerarsi quello di una v.a. gaussiana in dB a media nulla e varianza σ2ls, consentendo di determinare il margine su larga scala MlsdB come quel valore di alssdB che viene superato con probabilità sufficientemente bassa.
La variabilità su piccola scala è quella che maggiormente caratterizza il fading, e tiene conto degli innumerevoli cammini multipli presenti in ambito urbano ed indoor, che possono produrre una attenuazione supplementare apssdB maggiore del caso precedente, una H(f) selettiva in frequenza, e se è presente movimento del ricevitore e/o delle superfici riflettenti, la variabilità temporale di apssdB; a seconda se la rapidità di variazione sia maggiore o minore del periodo di simbolo, si distingue ulteriormente in fast e slow fading. Questi effetti sono analizzati al § 16.3.4.4↓, dove si determina il margine MpsdB tale da rendere trascurabile la probabilità che apssdB  > MpsdB; mentre ai § 16.3.4.5↓ e 16.3.4.6↓ si illustrano gli effetti dei fenomeni di variabilità in frequenza e nel tempo.
La fig. 16.22↑ mostra come queste tre componenti di attenuazione si sommano[757]  [757] Considerando le v.a. statisticamente indipendenti. al fine di determinare la potenza che occorre trasmettere
WT = WRmin  + Ad + MlsdB + MpsdB
Path loss
mentre quella a lato tenta di rappresentare come varia la somma dei tre contributi di attenuazione con la posizione del ricevitore.

16.3.4.2  Path loss

La dipendenza della attenuazione dal quadrato della distanza espressa dalla (16.113↑) si riferisce al caso ideale di spazio libero; misurazioni reali mostrano che invece l’esponente di d aumenta fino alla quarta potenza, a seconda del tipo di ambiente (urbano, rurale) e dell’altezza dell’antenna ricevente[758]  [758] Inoltre, la condizione di nlos introduce una attenuazione supplementare costante. Per una rassegna dei diversi modelli di propagazione, si veda ad es. http://www.slideshare.net/deepakecrbs/propagation-model.. Pertanto, il termine 20log10d(Km) che compare in (16.115↑) viene sostituito con Apl  = n⋅10log10d(Km) + α, e quindi in questo caso anziché la (16.115↑), l’espressione da usare per l’attenuazione disponibile è
(16.117) Ad(dB)  = 32.4 + 20log10f(MHz) + n⋅10log10d(Km) + α  − GT(dB) − GR(dB)
in cui n ed α sono determinati in base a campagne di misura, e tengono conto delle condizioni operative. Il valore di n varia da 4 a 3 con d < 100 metri, all’aumentare dell’altezza dell’antenna fissa, mentre il termine α può variare da 7 a 15 dB con antenna fissa alta 30 e 10 metri rispettivamente, e subire un incremento di quasi 30 dB passando da un ambiente aperto ad un ambito urbano.
EsempioValutare il path loss per un collegamento a 2 GHz lungo un chilometro, considerando le antenne omnidirezionali, in un ambiente per il quale sono stati stimati i parametri n  = 4 e α  = 32.
E’ sufficiente applicare la (16.117↑) utilizzando i valori forniti per i parametri:
Ad(dB) =  32.4 + 20log102⋅103  + 4⋅10log101  + 32 = 130.4 dB.

16.3.4.3  Fading su larga scala e shadowing

La stima delle grandezze n ed α ora introdotte è svolta mediando i risultati di diverse misure condotte nel territorio che si intende caratterizzare, che in realtà variano con il movimento tra territori diversi, in cui si riscontrano valori di fading diversi, anche per uguali valori di d. Questo fenomeno è indicato come slow fading oltre che su larga scala, poiché non si presenta muovendosi di poco in una stessa zona, dipendendo dalla orografia del territorio e dalla natura degli oggetti limitrofi. Ma anche stando fermi, non conoscendo a priori in che zona ci si trovi, l’effetto del fading su larga scala (ls) si manifesta come una attenuazione supplementare as aleatoria, che risulta avere un andamento gaussiano in dB[759]  [759]  La d.d.p. gaussiana discende dall’ipotesi che uno dei cammini multipli pervenga al ricevitore con una potenza nettamente predominante rispetto agli altri. In questo caso l’inviluppo complesso x del segnale ricevuto è adeguatamente rappresentato da una v.a. di Rice (vedi pag. 1↑) x = a + r, in cui |r| ha d.d.p. di Rayleigh e rappresenta l’effetto di molte cause indipendenti, relative ai cammini multipli, ed a è l’ampiezza della eco di segnale ricevuta con la maggiore ampiezza. Se a|r| possiamo scrivere
     as(dB)  = 10log10(1)/(|a  + r|2) =  − 10log10((a  + rc)2  + r2s)  = 
                =   − 10log10(a2)/(a2)(a2  + 2arc  + r2c  + r2s)  = 10log10a2  + log101 + (2rc)/(a) + (|r|2)/(a2)  = 
               ≃10log10a2  + (2rc)/(a) =  10log10a2 + 20(rc)/(a)
in quanto log(1  + α)α con α≪1, e quindi as(dB) ha media 10log10a2 (compresa nel path loss) ed esibisce una d.d.p. gaussiana, la stessa di rc.
(per questo detto lognormale) ed a media nulla, cioè del tipo
pAs(as(dB)) = (1)/((2π)σ)e − ((as(dB))2)/(2σ2ls)
dove σls varia tra 6 ed 8 dB per una altezza dell’antenna tra 5 e 15 metri[760] [760] All’aumentare dell’altezza dell’antenna, si estende l’area di copertura della stessa, ma in ambito urbano questo corrisponde ad una maggiore variabilità delle effettive condizioni operative.. Per velocità del mobile non superiori ai 15 Km/h, si può assumere as costante in frequenza per qualche MHz, e nel tempo per poche centinaia di millisecondi.
EsempioUna trasmissione los per la quale occorre ricevere una potenza di almeno WR  =  − 50 dBm è realizzata mediante un collegamento radio tra antenne omnidirezionali poste a d =  20 Km e con portante f0  = 27 MHz. Determinare la potenza WslibT che occorre trasmettere in condizioni di spazio libero, e la nuova potenza WsfadT necessaria a garantire una probabilità di fuori servizio pari al 5%, in presenza di un fading su larga scala caratterizzato da σls = 3 dB. Utilizziamo la (16.115↑) per calcolare
Ad(dB)  =  32.4 + 20log10f(MHz) +  20log10d(Km) − GT(dB) − GR(dB) =   =  32.4 + 20log1027 + 20log1020 = 32.4 +  28.6 + 26 = 87  dB
da cui si ottiene
WslibT(dBm) = WR(dBm)  + Ad(dB) =  − 50 + 87 = 37  dBm
pari a 7 dBW ovvero 100.7  = 5 Watt. Il fading su larga scala produce una attenuazione supplementare aleatoria con d.d.p. gaussiana in dB, e la probabilità di fuori servizio del 5% corrisponde al punto della curva di pag. 1↑ per cui 0.05 = (1)/(2) erfc(MlsdB)/((2)σls), e quindi graficamente si ottiene (MlsdB)/((2)σls) = 1.5, da cui MlsdB  = 1.5⋅(2)⋅3  = 1.5⋅1.41⋅3 = 6.3 dB, che ci consente di calcolare la nuova WsfadT come WsfadT(dBW)  = WslibT(dBW) + MlsdB  = 7 + 6.3 = 13.3  dBW, ovvero 101.33 = 21.4 Watt.

16.3.4.4  Fading su piccola scala

Consiste nelle fluttuazioni di livello del segnale radio osservate durante il movimento, causate dalla variazione dei ritardi con cui i cammini multipli giungono al ricevitore: spostandosi infatti di (λ)/(2) si può passare[761]  [761] A frequenza di 1 Ghz, si ha λ≃30 cm. Questo fenomeno può essere facilmente sperimentato quando, durante una sosta al semaforo, si perde la sintonia di una radio fm, riacquistandola per piccoli spostamenti dell’auto; un altro esempio può essere la ricerca del campo per poter telefonare. da una situazione di somma coerente ad una completa opposizione di fase. Analizziamo ora la situazione nel dettaglio, distinguendo tra diversi casi-tipo.
Fading piatto
L’inviluppo complesso del segnale ricevuto y(t) in presenza di cammini multipli può essere espresso in funzione di quello trasmesso x(t) considerando che la (16.116↑) consente di scrivere il segnale ricevuto come y(t) = Nn  = 1anx(t  − τn) da cui si ottiene[762] [762]  La (16.118↓) discende dal considerare un generico segnale modulato x(t) =  a(t)cos(2πf0t  + φ(t)) ed il suo inviluppo complesso x(t) = a(t)ejφ(t): per ogni sua replica ritardata xn(t) = x(t  − τn) possiamo scrivere
xn(t) = a(t  − τn)cos[2πf0(t  − τn) + φ(t − τn)] = a(t − τn)cos(2πf0t  − 2πf0τn + φ(t − τn))
ed il suo inviluppo complesso rispetto ad f0 può essere quindi scritto come
xn(t) = a(t − τn)ejφ(t  − τn)e  − j2πf0τn  = x(t − τn)e − j2πf0τn
(16.118) y(t)  = Nn = 1anx(t − τn)e − j2πf0τn
in cui τn è il ritardo dell’n-esimo cammino, ed an il rispettivo guadagno. Se durante il tempo che intercorre tra l’arrivo della prima replica (ritardata di τmin) e l’arrivo dell’ultima (ritardata di τmax) il segnale x(t) non varia di molto (e cioè x(t − τmin)x(t  − τn)x(t − τmax))[763] [763] Si consideri che il risultato dell’esempio di pag. 1↑ valuta i ritardi in gioco dell’ordine di grandezza delle decine di nanosecondi, mentre (ad esempio) ad un segnale x(t) limitato in banda a 10 KHz corrisponde un periodo di campionamento Tc  = 50 μsec., l’effetto complessivo equivale alla moltiplicazione di x(t) per un numero complesso, senza quindi produrre distorsione lineare (vedi pag. 1↑). Infatti, in tal caso la (16.118↑) può essere riscritta come
(16.119) y(t) x(t)Nn = 1ane − j2πf0τn  = x(t)Nn = 1an(cosφn − jsinφn)  =  x(t)(X + jY)  = x(t)ρejφ
Fading piatto
in cui il valore complesso X + jY  = ρejφ = Nn = 1ancosφn  − jNn  = 1ansinφn riassume l’effetto delle diverse repliche, e rappresenta un v.a. gaussiana complessa, in quanto a partire da valori della portante f0 dell’ordine dell’inverso di (1)/(τn), e tanto più per f0 più elevate[764] [764] Se ad esempio i ritardi τn sono dell’ordine di 10 − 8, l’ipotesi è valida per f0  > 100 MHz, quasi 110 delle frequenze a cui operano i radiomobili., bastano piccole variazioni di ritardo τn per produrre una fase φn  = 2πf0τn (nota 347↑) uniformemente distribuita tra 0 e 2π e del tutto indipendente per le diverse repliche. Pertanto, se anche i valori an sono realizzazioni di v.a. indipendenti ed equidistribuite, e se i cammini multipli sono in numero elevato, si applica il teorema centrale del limite (§ 5.2.4↑), e quindi i valori di X ed Y nella (16.119↑) possono considerarsi realizzazioni di v.a. indipendenti, gaussiane, a media nulla ed uguale varianza σ2.
Fading di Rayleigh
Per ciò che riguarda l’ampiezza del segnale ricevuto, risulta |y(t)| = ρ|x(t)|, e nelle condizioni descritte ρ = (X2  + Y2) è una v.a. di Rayleigh (pag. 1↑), la cui d.d.p. ha espressione
(16.120) pP(ρ) = (ρ)/(σ2) e  − (ρ2)/(2σ2)
con ρ ≥ 0; pertanto il valore della potenza istantanea ricevuta, legata[765]  [765] Per semplicità nel seguito consideriamo x(t) a potenza unitaria, in modo che ρ2 sia proprio la potenza istantanea
figure f12.142.png
ricevuta.
a |y(t)|2 = ρ2|x(t)|2, risulta variato di una quantità pari a ρ2, che è una v.a. esponenziale negativa[766] [766] 
Impostando il cambiamento di variabile s  = ρ2, si possono applicare le regole viste al § 5.4↑, individuando la funzione inversa come ρ  = (s), la cui (d)/(ds)ρ(s) fornisce (1)/(2(s)). Pertanto, la d.d.p. della nuova v.a. s vale:
pS(s) = pP((s))(d)/(ds)ρ(s)  = ((s))/(σ2) e  − (((s))2)/(2σ2)(1)/(2(s)) = (1)/(2σ2) e  − (s)/(2σ2)
Nella figura a lato si mostra il processo di costruzione grafica che produce una d.d.p. esponenziale negativa a partire dal quadrato di una d.d.p. di Rayleigh.
, descritta dalla d.d.p. (vedi § 17.2.1↓)
(16.121) pE(ρ2)  = λe  − λρ2  = (1)/(2σ2) e  − (ρ2)/(2σ2)
in cui si è posto in evidenza il valor medio mρ2  = E{ρ2}  = 1λ  = 2σ2. In base alla (16.121↑) è possibile determinare[767] [767]  A tal fine osserviamo che il collegamento va fuori servizio quando la potenza ricevuta è inferiore alla sensibilità del ricevitore WRmin, e la probabilità di questo evento si esprime come p  = Pr(ρ2 <  WRmin)  = 1 −  e − (WRmin)/(mρ2), essendo appunto ρ2 una v.a. a d.d.p. esponenziale con media mρ2  = 2σ2, e tenendo conto dell’eq. (19.3↓) a pag. 1↓. Al tempo stesso, mρ2  = E{ρ2} rappresenta la potenza media ricevuta, ovvero lo zero dB di fig. 16.27↓: esprimendo dunque il margine M (non in dB) come il rapporto tra la potenza media ricevuta e la sensibilità del ricevitore M  = (mρ2)/(WRmin), si ottiene p  = 1 −  e − (1)/(M), e quindi  − (1)/(M)  = ln(1 − p) e, passando ai decibel,  − 10log10M  = 10log10( − ln(1  − p)), da cui la (16.122↓).
figure f12.149.png
il margine MpsdB necessario a contrastare un fading di Rayleigh, qualora si desideri una probabilità di fuori servizio pari a p:
(16.122) MpsdB  =  − 10log10( − ln(1  − p))
il cui andamento è mostrato sopra.
 Nel caso in cui trasmettitore, ricevitore ed ambiente siano statici, ρ assume una determinata realizzazione, distribuita come indicato dalla (16.120↑). Al contrario se (ad es.) il ricevitore è in movimento, i cammini multipli si modificano, e la figura 16.27↑
Fading di Rayleigh
Figura 16.27 Intensità del segnale in presenza di fading di Rayleigh
mostra come varia la potenza in dB del segnale ricevuto, relativamente alle condizioni di ricezione medie (ovvero su larga scala, rappresentate dalla condizione di zero dB), per posizioni via via più distanti: si nota chiaramente come la potenza possa diminuire anche di molto, condizione indicata come deep fade.
Frequenza e durata media del fading
Se è presente movimento a velocità costante, la fig.16.27↑ rappresenta l’andamento di ρ2mρ2 (dB) in funzione del tempo. In tal caso, è interessante valutare per quanto tempo la potenza istantanea ρ2 del segnale ricevuto scende sotto la soglia WRmin, e dunque valutare quanti bit, ricadendo in tale intervallo temporale, saranno soggetti ad una Pe peggiore di quella desiderata. Come osservato alla nota 348↑, la probabilità che ρ2 sia minore di WRmin vale
(16.123) p = Pr(ρ2  < WRmin)  = 1 −  e  − (WRmin)/(mρ2)
Fading di Rayleigh
e la durata media τa di questo evento si ottiene dividendo p per il numero medio Na di affievolimenti per secondo[768] [768] Infatti in tal modo la percentuale di tempo p viene spalmata su di un secondo, e suddivisa per il numero (medio) di volte (in un secondo) per cui avviene che ρ2  < WRmin.
EsempioSe p = 0.1, ed Na = 5 fading/sec, allora τa  = 0.15 = 0.02 ossia 20 msec, ripartendo i 100 msec (10% di 1 secondo) sui 5 affievolimenti medi.
, ovvero τa  = (p)/(Na). D’altra parte, si può mostrare che risulta
(16.124) Na  = (2π)fDαe  − α2
in cui si è posto α2 = (WRmin)/(mρ2) = (1)/(Mps), mentre fD è la massima deviazione doppler (pag. 1↓) che come vedremo è direttamente legata alla velocità di movimento: infatti, per velocità maggiori aumenta la frequenza dei fenomeni di fading. Combinando le (16.123↑) e (16.124↑) si ottiene pertanto
(16.125) τa  = (p)/(Na) = (1 − e − α2)/((2π)fDαe  − α2)  = (eα2  − 1)/((2π)fDα)
il cui andamento normalizzato è rappresentato nella figura 16.29↓ assieme a quello di Na, al variare di α ovvero di MpsdB  = 10log10(1)/(α2)  =  − 20log10α.
Fading di Rayleigh
Figura 16.29 Frequenza e durata media del fading di Rayleigh per fD=1 Hz in funzione di α ovvero di MpsdB
EsercizioValutare la durata media del fading di Rayleigh in presenza di doppler fD  = 20 Hz e di un margine MpsdB  = 20 dB. Consideriamo quindi errato un bit, se durante il suo periodo Tb si verifica un affievolimento che rende la potenza istantanea ricevuta minore di quella media per più di MpsdB. In presenza di una modulazione bpsk a velocità fb = 50 bit/sec, quanti sono in media i bit errati per secondo, e la corrispondente Pbite?
Svolgimento Ad un MpsdB  = 20 dB corrisponde α =  0.1, ed in base alla (16.125↑) si ottiene τa  = 2 msec, minore di Tb  = 150  = 20 msec, e quindi l’intervallo temporale per cui il fading è maggiore del margine, interessa un solo bit. Mediante la (16.124↑) (con α = 0.1 e fD  = 20 Hz) si ottiene che Na  = 4.96 fading/sec, e dunque in un secondo risultano errati quasi 5 bit su 50, ovvero Pbite  = 550  = 0.1.
Fading di Rice
Si verifica nel caso in cui le ampiezze an dei diversi percorsi che compaiono nella (16.118↑) non sono identicamente distribuite, ma ne esiste una (a0 in figura) che prevale su tutte le altre, come quando l’antenna trasmittente si trova in visibilità (anche parziale) del ricevitore.
In questo caso il canale produce un guadagno aleatorio ρ caratterizzato da una d.d.p. di Rice, espressa dalla eq. (16.5↑) a pag. 1↑, essendo la risultante X  + Y tipicamente ora vicina al cammino prevalente a0 e  − j2πf0τ0. In particolare, il rapporto K = (a20)/(2σ2) tra la potenza (a20)/(2) dell’onda diretta e quella σ2 della componente dovuta al multipath prende il nome di fattore di Rice, ed nella figura a lato si mostra come, in presenza di una forte componente diretta, la profondità del fading si riduce sensibilmente. In corrispondenza di un K elevato, il fading di Rice può infine essere descritto nei termini di un fading su larga scala (§ 16.3.4.3↑), come discusso alla nota 16.3.4.3↑.
Viceversa, qualora la ricezione avvenga principalmente in assenza di visibilità, i valori del modulo dell’inviluppo complesso del segnale ρ(t) = |y(t)| sono soggetti al fading di Rayleigh precedentemente esposto.

16.3.4.5  Fading selettivo in frequenza

Rimuoviamo ora l’ipotesi fatta a pag. 1↑ e assumiamo dunque che nell’intervallo temporale Δτ  = τmax  − τmin tra l’arrivo della prima e dell’ultima replica, detto anche dispersione temporale, il segnale possa modificare il suo valore. Per analizzare cosa succede, partiamo dalla (16.118↑) per scrivere l’espressione dell’inviluppo complesso della risposta impulsiva del canale come[769]  [769] Il cambiamento negli indici della sommatoria è legato a considerare l’origine dei tempi in corrispondenza al primo arrivato dei cammini multipli.
(16.126) h(t)  = N − 1n = 0anδ(t − τn)e − j2πf0τn  = N − 1n = 0Znδ(t − τn)
in cui si è posto Zn = ane − j2πf0τn. Facciamo quindi l’ipotesi semplificatrice che i ritardi τn siano multipli di un comune intervallo T, cioè τn = nT, considerando eventualmente nullo qualche valore an: in tal modo la (16.126↑) può essere assimilata all’espressione di un segnale campionato (§ 4.1↑) h(t) = N − 1n =  0Znδ(t  − nT), interpretando dunque i coefficienti complessi Zn come campioni di un processo Z(t)[770] [770] Si sottintende che T sia minore dell’inverso del doppio della banda di Z(t), ovvero T < 12W., ovvero Zn = Z(nT) = ane − j2πf0nT. Ciò consente di esprimere la risposta in frequenza equivalente di b.f. del canale come la dtft (vedi § 4.3↑) della sequenza Zn, ovvero
(16.127) H(f)  = N − 1n = 0Zne − j2πfnT
Notiamo ora che i valori di H(f) in funzione di f sono variabili aleatorie, in quanto dipendono dalle caratteristiche statistiche dei termini Zn, che per i motivi illustrati a pag. 1↑ sono v.a. complesse, indipendenti ed a valor medio nullo, e quindi (vedi § 6.6.1↑)
(16.128) E{Z*nZn  + m} =  0  sem ≠  0        σ2an altrimenti
in cui la sequenza di valori σ2an  = E{a2n} è indicata nel seguito come...
Dispersione potenza-ritardo[771] [771] Libera traduzione del termine power delay spread.
E’ costituita dalla sequenza Pn  = E{a2n} e rappresenta la distribuzione temporale (media) della potenza (o energia) delle repliche del segnale. Infatti, trasmettendo un impulso di energia unitaria δ(t) si ricevono N impulsi di energia n = a2n, ovvero viene ricevuto l’inviluppo complesso h(t) espresso dalla (16.126↑), la cui energia vale h  =   − ∞h*(t)h(t)dt = a2n  = n, ed il cui valore atteso rispetto all’aleatorietà degli an risulta E{h} = E{a2n}  = n.
Misura della dispersione potenza-ritardo
Può essere attuata con tre diverse tecniche, di cui ci si limita ad accennare i principi operativi.
Nella prima tecnica si trasmette una portante modulata in ampiezza da impulsi molto brevi, ottenendo dopo demodulazione la convoluzione tra l’impulso usato in trasmissione e l’h(t) del canale: benché questa soluzione sia molto semplice, è affetta sia dal rumore a larga banda che entra nel passa-banda di ricezione, che dalle interferenze presenti.
La seconda tecnica fa invece uso di una segnale dsss, il cui despreading in ricezione avviene variando di volta in volta la fase della pn: quando questa risulta allineata temporalmente con una delle repliche dovute al multipath, a valle del filtro passabasso si rivela un massimo con ampiezza legata ad an. In tal modo la sensibilità al rumore viene ridotta dal guadagno di processo, ma la misura richiede il tempo necessario a provare tutte le fasi della pn.
L’ultimo metodo opera nel dominio della frequenza, e si basa su diverse frequenze trasmesse una alla volta, le cui ampiezze e fasi sono confrontate con quelle ricevute, come illustrato a pag. 1↑; i campioni della H(f) così ottenuti sono quindi antitrasformati mediante idft, per ottenere i campioni di h(t). Ma per effettuare il confronto, occorre che trasmettitore e ricevitore siano fisicamente vicini, e dunque il metodo è applicabile solo per ambiti indoor.
Profilo di dispersione potenza-ritardo
Figura 16.31 Profilo di dispersione potenza-ritardo per ambito indoor
Una volta pervenuti alla misura della sequenza delle ampiezze a2n; l’operazione è ripetuta più volte spostandosi di poco[772]  [772] Tipicamente di 14 della lunghezza d’onda relativa alla portante adottata. alla volta, ed alla fine i risultati sono mediati tra loro, in modo da ottenere una stima di Pn  = σ2an  = E{a2n}, da cui si possono definire dei parametri statisticicome il ritardo medio
τ  = nPnτnnPn
e la deviazione standard dei ritardi
στ  = (τ2 − τ2)
in cui τ2  = nPnτ2nnPn, mentre la dispersione temporale
Δτ = τmax  − τmin
è definita con riferimento ad una soglia che permette di distinguere le repliche dal rumore.
La figura 16.31↑ mostra la curva di dispersione potenza-ritardo misurata per un ambiente al coperto, per il quale sono calcolate τ, στ e Δτ per una soglia di -10 dB. In appendice 387↓ sono riportati alcuni valori tipici di questi parametri per diversi contesti ambientali. L’andamento tendenziale rilevato per le Pn misurate suggerisce l’approssimazione della dispersione potenza-ritardo mediante una densità esponenziale:
(16.129) P(τ) = (1)/(στ)e  − (τ)/(στ) ovvero Pn = (1)/(στ)e  − (nT)/(στ)
Banda di coerenza
Proseguiamo l’analisi con lo scopo di capire per quale intervallo Δf si ottengano coppie di valori della risposta in frequenza (H(f), H(f  + Δf)) che iniziano a divenire incorrelati, dato che in tal caso un segnale che occupa una banda comparabile a Δf è affetto da distorsione lineare. A tal fine, partendo dalla (16.127↑) interpretiamo H(f) come un processo ad aleatorierà parametrica (§ 5.3.7↑) in frequenza, e dunque ne calcoliamo la funzione di autocorrelazione (appunto, in frequenza):
(16.130) H(Δf)  =  E{H*(f)H(f + Δf)} =   =  N − 1n  = 0N  − 1m = 0E{Z*nZm}ej2πfnTe − j2π(f  + Δf)mT = N − 1n = 0 Pne  − j2πΔfnT
in cui all’ultimo passaggio si è applicata la (16.128↑) considerando m  = n: H(Δf) è dunque pari alla trasformata di Fourier di sequenze (§ 4.3↑) della dispersione potenza-ritardo Pn  = σ2an  = E{a2n}.
La banda di coerenza Bc è quindi definita come l’intervallo di frequenze Δf entro cui H(f) si mantiene correlata, e può essere fatto corrispondere alla larghezza di banda di H(Δf). Pertanto, quanto più la dispersione temporale Δτ (o, più in generale, la deviazione στ) risulta elevata, tanto minore sarà il valore di Bc. Convenzionalmente, una sua valutazione approssimata ricade nell’intervallo
(16.131) (1)/(50στ) ≤ Bc ≤ (1)/(5στ)
EsempioConsideriamo un canale radio in un contesto urbano, caratterizzato da una deviazione standard dei ritardi στ  = 5 μsec, e per il quale si assume valida l’approssimazione del profilo di dispersione potenza-ritardo esponenziale (16.129↑), ovvero P(τ) =  (1)/(στ)e  − τστ. L’applicazione della (16.131↑) porta ad una stima di Bc compresa tra 4 e 40 KHz.
Svolgimento Dato che[773] [773] 
{P(τ)}  =   − ∞P(τ)e  − j2πfτdτ  = (1)/(στ)0e  − (τ)/(στ)e  − j2πfτdτ  = (1)/(στ)0e  − (1)/(στ) + j2πfτdτ  =   =  (1)/(στ)(  − 1)/((1)/(στ) + j2πf)e  − (1)/(στ) + j2πfτ|0  = (1)/(στ)(1)/((1)/(στ) + j2πf) = (1)/(1  + j2πστf)
H(Δf)  = ℱ{P(τ)} = (1)/(1 + j2πστΔf), osserviamo che questa ha il massimo nell’origine (vedi fig. 4.20↑ a pag. 1↑), ed il suo modulo si dimezza[774] [774] |H(Δf)| = (1)/(2) se (1 + (2πστΔf)2)  = 2, e dunque 2πστΔf  = (3) ovvero Δf = (1.73)/(6.28στ) = (1)/(3.63στ) per Δf  = (1)/(3.63στ): pertanto la scelta Bc = 15στ  = 40 KHz corrisponde ad una correlazione in frequenza maggiore di 0.5. Lo stesso calcolo mostra che scegliere invece la stima più restrittiva Bc  = 150στ  = 4 KHz corrisponde ad una correlazione |H(Δf)| >  0.9 (per l’esattezza, si ottiene |H(Δf  = 150στ)| = 0.94).
Dimensione di cella e velocità trasmissiva
Ricapitolando, se la banda W del segnale modulato non eccede Bc ci si trova nelle condizioni di fading piatto, mentre se W > Bc le componenti spettrali di x(t) subiscono alterazioni statisticamente indipendenti, i cammini multipli causano un effetto filtrante, si manifesta isi, ed il canale corrispondente viene detto selettivo in frequenza. Approssimando l’occupazione di banda di un segnale numerico modulato come il reciproco del periodo di simbolo W(1)/(Ts), osserviamo che la condizione di fading piatto W < Bc implica che Ts(1)/(W)  > (1)/(Bc) > στ, ovvero la deviazione standard dei ritardi è inferiore al periodo di simbolo, limitando gli effetti dell’isi.
Dato che la correzione degli effetti di distorsione lineare e isi richiede al ricevitore complesse operazioni di equalizzazione (§ 15.4↑), si tenta di operare per quanto possibile in condizioni di fading piatto, occupare una banda W  < Bc, e limitare di conseguenza la velocità di segnalazione fs. Un possibile escamotage può essere l’adozione di una trasmissione ofdm, che suddivide W in tante sotto-bande più piccole, e adotta un Ts > στ. Mentre nel caso di trasmissione dsss, anche se viene occupata una banda W > Bc, al § 16.3.4.10↓ si mostra come non sia necessaria equalizzazione.
Per celle molto grandi la differenza di percorso tra cammini multipli può essere notevole (vedi § 16.5.2↓), determinando una Bc ridotta, e quindi una bassa velocità di trasmissione. Riducendo la dimensione di cella è possibile aumentare la velocità, dato che le differenze di ritardo si riducono. Pertanto, se celle con raggio di chilometri e τ > 10 μsec possono richiedere equalizzazione anche per trasmissioni a 64 kbps, al contrario comunicazioni indoor con τ  < 1 μsec possono presentare flat fading per velocità dell’ordine del Mbps. Celle di dimensione minima, dette anche picocelle, presentano una dispersione temporale di solo qualche decina di picosecondi, permettendo di operare a molti Mbps anche senza equalizzazione.

16.3.4.6  Dispersione spettrale e variabilità temporale

Finché il ricevitore e gli oggetti riflettenti sono fermi, la distribuzione dei ritardi τn non varia nel tempo, e la componente di attenuazione supplementare su piccola scala mantiene uno stesso (casuale) valore, sia esso di Rayleigh o di Rice; in tal caso il fading non è né lento né veloce, ma costante. Viceversa, nel caso in cui ci sia movimento[775]  [775] Del ricevitore, del trasmettitore, o degli oggetti riflettenti. l’inviluppo complesso ricevuto (16.118↑) si riscrive come
y(t)  = Nn  = 1an(t)x(t  − τn(t))e  − j2πf0τn(t)
evidenziando come ora sia le ampiezze an che i ritardi τn dipendono dal tempo.
Allo scopo di analizzare le conseguenze di questa non stazionarietà, consideriamo una portante non modulata x(t)  =  cos2πf0t, con inviluppo complesso x(t) = 1[776] [776] Come evidente dalla eq. (11.2↑) a pag. 1↑, che produce la ricezione di
(16.132) y(t)  = Nn = 1an(t)e − j2πf0τn(t)  = Nn = 1an(t)e − jαn(t)
Si ottengono quindi N diversi segnali modulati sia in ampiezza che angolarmente, anche se è stata trasmessa una sola frequenza. In generale le ampiezze an(t) non variano di molto con il movimento, mentre come già osservato, sono sufficienti piccole variazioni di τn(t) per causarne di grandi per αn(t) = 2πf0τn(t): ad esempio, con una f0 = 1 GHz, basta una variazione di τ pari ad 1 nsec per produrre una rotazione di 2π.
Esempio
Riprendiamo i dati ed il modello usati a pag. 1↑ per ottenere il risultato in figura,
figure f_delay_vs_time.png
relativo ad un mobile che viaggia a 50 Km/h, e che in 100 sec percorre 1.4 Km a partire da una distanza di 1 Km dal trasmettitore, in presenza di una superficie riflettente posta a 100 metri da metà percorso. Il ritardo del cammino riflesso varia da 66 a 27 nsec, con la legge mostrata in figura,
dovuta al variare nel tempo dell’angolo di riflessione.
Effetto Doppler
La figura a lato rappresenta
Effetto Doppler
un mobile che viaggia a velocità costante v, ed impiega Δt  = dv secondi per spostarsi tra i punti X ed Y distanti d, mentre riceve una portante a frequenza f0  = cλ dalla sorgente S. La differenza di distanza Δl dalla sorgente nei due punti risulta[777] [777] Approssimiamo θ come uguale in X e Y, nell’ipotesi che S sia molto lontana rispetto a d.
Δl = dcosθ = vΔtcosθ
e quindi la differenza di fase nel segnale ricevuto in X e Y vale[778]  [778] Il rapporto n  = lλ indica quanti periodi di portante entrano in l, che moltiplicato per 2π fornisce appunto la differenza tra le fasi di arrivo, nulla se n è intero.
Δα = (2πΔl)/(λ)  = (2πvΔt)/(λ)cosθ
Pertanto, durante il tragitto la frequenza ricevuta differisce da f0 per una quantità[779]  [779] Vedi eq. (11.27↑) a pag. 1↑.
fd = (1)/(2π)(Δα)/(Δt) = (v)/(λ)cosθ  = (c)/(c)(v)/(λ)cosθ  = f0(v)/(c)cosθ
denominata scostamento Doppler[780] [780] Si tratta dello stesso effetto che produce la variazione del suono della sirena di un mezzo di soccorso, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Doppler. Considerando ora al posto della singola sorgente S tutti gli N riflettori che danno origine al multipath, l’effetto Doppler si verifica per ciascuno di essi, producendo la ricezione di frequenze fn  = f0±fnd, aumentate (o diminuite) rispetto alla portante f0 della frequenza Doppler
(16.133) fnd  = f0(v)/(c)cosθn
in cui θn è l’angolo tra la direzione del moto e la congiungente con il riflettore[781] [781] La stessa analisi è valida anche nel caso di un ricevitore fermo ma con i riflettori in movimento, come per la la riflessione ionosferica: in tal caso l’espressione si scrive come fnd  = f0(vn)/(c)cosθn, considerando cioè la possibilità che i riflettori abbiano velocità diverse tra loro.. Con i dati dell’esempio precedente (relativo ad un moto con v = 50 Km/h ovvero 13.8 m/sec), ponendo f0  = 1 GHz si ottiene una fnd massima di 46.3 Hz, relativa al caso di θn  = 0[782] [782] Notiamo che se θn  = 0 ci stiamo riferendo al caso in cui il moto si realizza lungo la congiungente tra ricevitore e sorgente (o riflettore).; indichiamo con fD = maxn{fnd} = f0(v)/(c) tale valore.
Dispersione Doppler
Dato che ogni diverso percorso è caratterizzato da una fnd compresa tra zero e fD, il segnale ricevuto contiene frequenze che si discostano da f0 in più o in meno, entro una deviazione massima pari ad fD, per questo indicata come dispersione (o spread) Doppler, ed il canale è detto dispersivo in frequenza.
Considerando il mobile raggiunto da infiniti percorsi con direzione di arrivo distribuita uniformemente (condizione di scattering isotropo), si può arrivare a mostrare[783]  [783] Notiamo che il risultato è diretta conseguenza della condizione di scattering isotropo: infatti la (16.133↑) rappresenta un processo armonico (pag. 1↑) quando  − π < θn  < π con d.d.p. uniforme, ed al tempo stesso rappresenta la deviazione della frequenza istantanea fi rispetto ad f0 (§ 9.2.2↑), e dunque si verifica l’effetto di conversione am-fm descritto al § 10.3.3↑. Se
Dispersione Doppler
viceversa ad es. esistono due soli cammini, il primo diretto (S), e l’altro riflesso (R) con il mobile nel mezzo, Py(f) corrisponde a due impulsi in ±fD.
che la densità spettrale ricevuta assume una espressione del tipo
(16.134) Py(f) =  (Py)/(πfD(1 − (ffD)2)) con|f|  ≤ fD       0  altrove
mostrata sotto, e del tutto simile a quella di pag. 1↑. La dispersione Doppler fD
figure spettro_doppler.png
costituisce nella pratica una misura della velocità di variazione del canale[784] [784] In questo modo si ottiene una trattazione unificata sia per il caso di un ricevitore mobile in un contesto statico, sia per quello di un ricevitore fermo con riflettori in movimento. In entrambi i casi il doppler spread fD può essere effettivamente misurato al ricevitore, in presenza di una portante non modulata., come già evidenziato in relazione alla frequenza degli affievolimenti di cui all’eq. (16.124↑).
Consideriamo infatti che l’inviluppo complesso ricevuto y(t) descritto dalla (16.132↑) è il risultato della somma vettoriale nel piano complesso dei termini an(t)e − j2πf0τn(t), che in virtù dei diversi scostamenti Doppler sono ognuno in rotazione[785] [785] Si veda l’interessante animazione java presso ad una diversa velocità angolare 2πfnd, tanto maggiore quanto più è grande fD, che quindi determina la rapidità con cui il risultato y(t) varia nel tempo.
Tempo di coerenza
L’antitrasformata di Py(f) è per definizione l’autocorrelazione di y(t), e per la (16.134↑) si ottiene yy(τ) = Jo(2πfDτ) in cui J0 è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine zero graficata a pag. 1↑, ed il cui primo passaggio per zero avviene con τ(0.4)/(fD), che corrisponde al minimo intervallo di tempo necessario ad osservare valori di y(t) incorrelati; viceversa, un intervallo sufficientemente più piccolo trova il canale in condizioni pressoché immutate. Definendo allora
Tc = (0.1)/(fD)
come tempo di coerenza, osserviamo che una trasmissione con periodo di simbolo Ts ≥  Tc subisce condizioni del canale differenti nell’arco di tempo di un simbolo, ostacolandone la sincronizzazione[786] [786] Ciò avviene perché in pratica è come se due simboli consecutivi pervenissero attraverso due differenti canali, e dunque non è possibile eseguire operazioni di media., ed in tal caso il fading viene detto veloce. Se invece TsTc il canale si mantiene in condizioni pressoché stazionarie per tutto il periodo di simbolo, il fading è lento, ed il movimento non produce conseguenze sensibili. Utilizzando di nuovo i dati dell’ultimo esempio, ad un doppler spread fD  = 46.3 Hz corrisponde un tempo di coerenza Tc  = 21.6 msec.

16.3.4.7  Tipologia di canale radiomobile

Notiamo che il verificarsi contemporaneo della assenza di distorsione lineare in quanto W  < Bc, e della stazionarietà del canale in quanto Ts  < Tc, ovvero di fading lento e piatto,
W < Bc = 0.1στ no dist lin       Ts  < Tc  = 0.1fD stazionario
 
Condizioni di slow flat fading
equivale in pratica al verificarsi delle condizioni di canale perfetto (pag. 1↑). Perché ciò possa accadere è necessario che si verifichi[787] [787] Infatti le due condizioni W < Bc e Ts < Tc possono essere riscritte come Wστ≪1 e fDTs≪1; moltiplicandole tra loro si ottiene WστfDTs≪1. Ponendo quindi W(1)/(Ts) si ottiene la condizione indicata.
(16.135) fDστ≪1  ovvero TcBc≫1
detta condizione di sottodispersione (underspread). Nella pratica, i valori di fD e στ per i canali in uso nelle telecomunicazioni soddisfano tale condizione. La figura 16.37↓-a) suddivide[788] [788] Il ramo di iperbole che individua il luogo dei punti WTs  = cost è tracciato in base all’osservazione della nota precedente, ossia W(1)/(Ts), da cui WTs≃1. il piano Ts, W nelle regioni per le quali si verificano i diversi tipi di fading, in funzione dai valori Bc e Tc, mentre la figura 16.37↓-b) rappresenta in forma gerarchica i fenomeni di attenuazione supplementare fin qui discussi.
a)
figure piano-Tc-Bc.png
b)
figure tipi_di_fading.png

Figura 16.37 a) - Tipo di fading in relazione al canale ed al segnale; b) - caratterizzazione gerarchica del tipo di fading
EsempioDato un canale con assegnati Tc e Bc, determinare la massima velocità per una trasmissione qpsk con impulso a coseno rialzato e γ = 1, in modo da evitare l’uso di un equalizzatore. Affrontiamo l’analisi fissando la banda occupata B = fs(1 + γ) pari a Bc, da cui si ottiene una fb  = fs⋅2 = Bc2⋅2 = Bc. In tal caso Ts = 1fs  = 2Bc, e se il canale verifica la condizione di sottodispersione (16.135↑), si ottiene anche Ts  < Tc, ovvero il canale può essere ritenuto stazionario per la durata di un simbolo.
Ricezione di trasmissioni radiomobili
Come discusso, il fading su piccola scala, pur se lento, può determinare una attenuazione selettiva in frequenza, vincolando il segnale trasmesso ad occupare una banda minore della banda di coerenza, oppure ad adottare tecniche di equalizzazione (§ 15.4.1↑) da parte del ricevitore. D’altra parte, anche in presenza di fading piatto, con il movimento l’ampiezza del segnale ricevuto subisce fluttuazioni alla Rayleigh (fig. 16.27↑), penalizzando le prestazioni ottenibili, ed imponendo l’adozione di un margine Mps (eq. (16.122↑)) che aumenta di molto la potenza che occorre trasmettere. Sviluppiamo di seguito una discussione su come modificare le formule di calcolo della probabilità di errore in modo da valutare l’aumento della potenza necessaria senza dover determinare Mps, mentre ai § 16.3.4.9↓ e 16.3.4.10↓ illustriamo come trasformare il fenomeno dei cammini multipli in una opportunità per ridurre la potenza necessaria.

16.3.4.8  Probabilità di errore in presenza di fading di Rayleigh

La variabilità temporale della potenza istantanea ricevuta ρ2 può essere tenuta direttamente in conto se l’espressione della Pbite(EbN0) ottenuta al § 14↑ per un canale gaussiano viene considerata come quella di una probabilità condizionata Prerr  ⁄ (Eb)/(N0) rispetto ad un determinato valore di EbN0, di cui valutare il valore atteso rispetto alla variabilità statistica dei valori ricevuti di Eb  = ρ2Eb, ovvero
Pbite = EρPrerr  ⁄ (ρ2Eb)/(N0)  = 0Prerr  ⁄ (ρ2Eb)/(N0)p(ρ)dρ
Prendendo come esemplare il caso della modulazione bpsk[789] [789] A causa delle fluttuazioni di ampiezza legate al fading, non è possibile ricorrere a modulazioni di tipo qam, e nel seguito sono prese in considerazione unicamente modulazioni di fase e di frequenza., partendo dall’eq. (16.22↑) possiamo scrivere Prerr  ⁄ (ρ2Eb)/(N0) = Pbite(ρ2Eb)/(N0) = (1)/(2) erfc{ρ(EbN0)}, mentre in presenza di fading di Rayleigh la v.a. ρ ha come noto d.d.p. pP(ρ) = (ρ)/(σ2) e  − (ρ2)/(2σ2) con ρ  > 0; ricordando (§ 5.2.4↑) l’espressione di erfc{α} = (2)/((π))αe − y2dy possiamo quindi scrivere
Pbite = (1)/((π))0ρ(EbN0)  e − y2dy(ρ)/(σ2) e  − (ρ2)/(2σ2)dρ
ed invertendo l’ordine di integrazione otteniamo[790]  [790] Il dominio di integrazione è rappresentato in figura, e anziché muoversi prima lungo y dalla retta
Probabilità di errore in presenza di fading di Rayleigh
y = ρ(EbN0) ad infinito ottenendo una funzione di ρ, e quindi integrare con 0 < ρ < ∞, ci si muove in orizzontale tra ρ = 0 e ρ = y(N0Eb) ottenendo una funzione di y, quindi integrata con 0 < y < ∞. Verifichiamo quindi che
y(N0Eb)0(ρ)/(σ2) e  − (ρ2)/(2σ2)dρ  =  − e  − (ρ2)/(2σ2)|y(N0Eb)0  =  −  e − (y2)/(2σ2)(N0)/(Eb) + 1.
(16.136) Pbite  = (1)/((π))0  e − y2y(N0Eb)0(ρ)/(σ2) e  − (ρ2)/(2σ2)dρdy  = (1)/((π))0 e − y2[1  −  e − (N0)/(Eb)(y2)/(2σ2)]dy
Notando ora che E{ρ2Eb} = Eb’  = 2σ2Eb, indichiamo con Γ = (2σ2Eb)/(N0) = (Eb)/(N0) l’SNR per bit medio che viene ricevuto, e dopo alcuni passaggi[791]  [791] Con l’ultima posizione la (16.136↑) si riscrive come Pbite  = (1)/((π))0 e − y2dy  − (1)/((π))0 e − y2 − (y2)/(Γ)dy. Tenendo conto che  − ∞e  − y2dy = (π) (vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss) il primo termine risulta pari ad (1)/(2), mentre dato che  − y2 − (y2)/(Γ) =  − (Γ + 1)/(Γ)y2 e che risulta anche  − ∞e  − αy2dy = (πα), il secondo termine si riscrive come (1)/((π))0 e − (Γ + 1)/(Γ)y2dy  = (1)/(2)((Γ)/(1 +  Γ)), da cui il risultato., si ottiene il risultato in forma chiusa
PRayleighe(bit) = (1)/(2)(1 − ((Γ)/(1 + Γ)))
che confrontato con l’espressione di PBPSKe(bit) per un canale agwn evidenzia come in presenza di fading di Rayleigh la Pe è sensibilmente peggiore, e diminuisce molto più lentamente all’aumentare di EbN0, come può essere apprezzato dalla figura 16.39↓.

figure f-ber-rayleigh-b.png
modulazione PRayleighe(bit) Pe|Γ → ∞
bpsk antip. coe. 12  − 12Γ1  + Γ 1
dbpsk 12(1  + Γ) 1
bfsk ortog. coe. 12  − 12Γ2  + Γ 1
bfsk ortog. inc. 12 + Γ 1Γ

Figura 16.39 Probabilità di errore in presenza di fading di Rayleigh per i tipi di modulazione possibili
Procedendo in modo simile si possono valutare le prestazioni per le altre forme di modulazione riportate nella tabella di fig. 16.39↑, assieme al rispettivo valore approssimato di Pbite per grandi valori di Γ.
EsempioDeterminare l’incremento di potenza necessario a conseguire una Pbite  = 10 − 4 nel caso di una modulazione bpsk affetta da fading di Rayleigh, rispetto alla potenza necessaria su di un canale awgn.
Svolgimento Dal grafico di fig. 16.39↑ osserviamo che nel caso awgn è necessario un EbN0 circa pari a 8 dB, mentre in presenza di fading ne occorrono circa 34, dunque l’incremento di potenza assomma a 26 dB.

16.3.4.9  Ricevitore multi-antenna

Continuando a trattare il caso di fading di Rayleigh piatto, una soluzione semplice e vantaggiosa è quella di dotare il ricevitore di più di una antenna, in modo da attuare una tecnica di diversità di spazio, introdotta al § 16.3.3.6↑. Se la separazione tra le antenne è sufficiente[792]  [792] Nel caso di un telefono cellulare sono presenti numerosi riflettori nelle vicinanze del ricevitore, producendo fading incorrelati per distanze di circa mezza lunghezza d’onda. Viceversa nel caso della base station fissa con cui il cellulare comunica, i cammini multipli hanno tutti origine nei pressi del mobile, riducendo la gamma di angoli di incidenza dei raggi ricevuti, che iniziano ad essere indipendenti per distanze di decine di lunghezze d’onda, e quindi in tal caso sono necessarie antenne molto più lontane tra loro., ad ognuna di esse corrisponde un canale radio statisticamente indipendente da quello dell’altra, e quindi se per uno di essi si riceve un segnale affetto da deep fade, l’altro probabilmente ne è esente.
Selezione di diversità
Consideriamo un ricevitore per cui siano disponibili M canali indipendenti affetti da fading di Rayleigh, che indichiamo come rami di diversità. Su ognuno di essi viene ricevuto un segnale con inviluppo complesso (vedi eq. (16.119↑))
(16.137) ri(t) = ρix(t)ejθi  + νi(t)
con i = 1, 2, ⋯M, in cui x(t) è l’inviluppo complesso del segnale modulato con potenza Ebfb, ρi è una v.a. con d.d.p. p(ρ) = (ρ)/(σ2) e − (ρ2)/(2σ2) uguale per tutti i rami e E{ρiρj} = 0 con i  ≠ j, e νi(t) è un processo gaussiano complesso con c.a. di b.f. indipendenti, a media nulla e spettro di densità di potenza N0. A ciò corrisponde un EbN0 medio che indichiamo come Γ = (Eb)/(N0)E{ρ2} = (Eb)/(N0)2σ2 (vedi pag. 1↑), mentre indichiamo con γi l’EbN0 istantaneo del ramo i, a cui compete una d.d.p. esponenziale p(γi) = (1)/(Γ) e − γiΓ con γi  ≥ 0 (vedi eq. (16.121↑)). Pertanto, la probabilità che un singolo ramo abbia un γi inferiore ad una soglia δ risulta (vedi eq. (19.3↓) pag. 1↓)
Pr{γi  ≤ δ} = δ0p(γi)dγi  = 1 − δ(1)/(Γ) e  − γiΓdγi  = 1 −  e − δΓ
mentre la probabilità che tutti gli M rami indipendenti presentino contemporaneamente EbN0 < δ vale Pr{γ1,  γ2, ⋯, γM ≤ δ} = (1 −  e  − δΓ)M che indichiamo come PM(δ), e quindi la probabilità che almeno uno dei rami consegua EbN0i  = γi ≥ δ risulta
Pr{γi  ≥ δ} = 1 − PM(δ) = 1 −  (1 −  e  − δΓ)M
EsempioConsideriamo un ricevitore con quattro rami di diversità, ognuno affetto da fading di Rayleigh, e con un EbN0 medio Γ  =  20 dB. Determinare la probabilità che l’EbN0 istantaneo γi di tutti i rami sia contemporaneamente inferiore ad un valore δ tale che (δ)/(Γ)||dB  =  -10 dB, e confrontare il risultato con il caso di un ricevitore senza diversità.
Svolgimento Risulta che Pr{γ1,  γ2,  γ3, γ4  ≤ δ}  = P4(δ)  = (1 −   e  − 0.1)4  = 8.2⋅10 − 5, mentre Pr{γi ≥ δ} = P1(δ) = 1 −  e  − 0.1 = 9.5⋅10 − 2: pertanto l’uso di quattro rami di diversità corrisponde ad un miglioramento di più di mille volte!
L’approccio della selezione di diversità è facilmente realizzabile in quanto coinvolge solamente il ricevitore, dove viene comparata la potenza del segnale in arrivo sulle diverse antenne, e quindi il più forte è inviato al ricevitore. Dato che il livello di potenza si basa su stime che richiedono una media temporale, la decisione non avviene in modo prettamente istantaneo; d’altra parte, è sufficiente che avvenga con tempi inferiori dell’inverso della frequenza di fading.
Ma si può fare di meglio, se vengono utilizzati tutti i rami in contemporanea, anziché uno solamente.
Combinazione di massimo rapporto
Nell’ipotesi più generale che il segnale ricevuto (16.137↑) sui diversi rami sia soggetto a fading di diversa intensità, e dunque con EbN0 medio
Γi = (Eb)/(N0)E{ρ2i}  = (Eb)/(N0)R2i
in condizioni di slow fading il ricevitore può essere in grado di stimare sia le fasi θi con cui il segnale si presenta sui diversi rami, sia i valori Ri del corrispondente guadagno medio di ampiezza. Pertanto, il ricevitore può annullare i termini di fase mediante il prodotto di ri(t) per e − jθi, e procedere ad una operazione di somma (pesata) coerente, dando luogo ad una grandezza di decisione in corrispondenza degli istanti di simbolo pari a
(16.138) rk  = Mi  = 1Giri(kTs)e  − jθi = Mi = 1Giρixi(kTs)  + Mi = 1Giνi(t)
dove i coefficienti Gi rappresentano il diverso peso da attribuire ai rami, da scegliere in modo da massimizzare EbN0. Alla componente di segnale corrisponde dunque una energia media Eb(Mi  = 1GiRi)2, mentre per quella di rumore si ottiene N0Mi = 1G2i, dato che i campioni di rumore sono statisticamente indipendenti: pertanto l’EbN0 medio della somma (16.138↑) risulta pari a
(16.139) Γ = (Eb)/(N0)((Mi = 1GiRi)2)/(Mi  = 1G2i)
Indicando ora con G = (G1,  ⋯GM) il vettore dei coefficienti della combinazione e con R  = (R1, ⋯, RM) quello dei guadagni di ampiezza medi dei rami, osserviamo che scegliendo un vettore cG il risultato non cambia, e dunque limitiamoci a cercare vettori con modulo unitario ovvero |G|2 = Mi  = 1G2i = 1, in modo da esprimere la (16.139↑) come Γ = (Eb)/(N0)| GR|2. Dato che il prodotto scalare è massimo quando i vettori sono paralleli, si ottiene che Γ è massimizzato scegliendo G  = GMR = R|R| in modo che risulti a modulo unitario, e che il segnale dei diversi rami sia pesato proporzionalmente al corrispondente guadagno medio Ri. Tale strategia è indicata come maximum ratio combining, e corrisponde ad un EbN0 medio della (16.138↑) pari a[793] [793] Infatti |R|2  = R2i, e con G = GMR la (16.139↑) diviene Γ = (Eb)/(N0)((R2i)2)/(R2i) = (Eb)/(N0)R2i
ΓMR = (Eb)/(N0)|  R|2  = (Eb)/(N0)Mi  = 1R2i = Mi = 1Γi
ovvero pari alla somma degli EbN0 medi dei singoli rami, che quindi può conseguire valori accettabili anche se nessuno dei rami lo ottiene individualmente.
Combinazione equal gain
Nell’ipotesi in cui i diversi rami siano soggetti ad un fading di intensità comparabile e dunque Ri  = R, i pesi Gi della combinazione possono essere posti uguali tra loro e pari a Gi = 1(M), permettendo una notevole semplificazione del ricevitore[794]  [794] Fermo restando la necessità di rifasare i rami per ottenere una somma coerente., e conseguendo un EbN0 medio
ΓEG = M(Eb)/(N0)R2
ovvero M volte quello di ogni singolo ramo. D’altra parte, anche nel caso di guadagni differenti Ri ≠ Rj, il metodo equal gain offre comunque risultati solo di poco inferiori a quelli di massimo rapporto, e comunque migliori del metodo a selezione.

16.3.4.10  Ricevitore Rake

Questo particolare ricevitore trae vantaggio da una modulazione dsss (§ 14.9.2↑) che occupa una banda maggiore della banda di coerenza Wp  > Bc, in modo che il canale presenti una attenuazione selettiva in frequenza, legata alla ricezione di più repliche del segnale trasmesso a causa del fenomeno dei cammini multipli. In tal caso un metodo di modulazione tradizionale richiederebbe un equalizzatore per rimuovere l’isi prodotta, mentre se le repliche prodotte dal multipath arrivano con intervalli temporali maggiori del periodo di chip Tp, le proprietà di bassa autocorrelazione delle sequenze pn utilizzate nel dsss rendono tali repliche equivalenti ad una qualsiasi altra interferenza a larga banda, permettendo di fare a meno di una procedura di equalizzazione[795]  [795]  Indicando con {bi} la sequenza informativa e con x̃(t) =  ibipn(t  − iTb) l’inviluppo complesso del segnale dsss trasmesso, ricordando la (16.126↑) e trascurando il fattore 12 della convoluzione tra inviluppi complessi (eq. (11.10↑)), il segnale ricevuto in presenza di multipath ha espressione
r̃(t)  = N  − 1n  = 0Znx̃(t − τn) = N  − 1n = 0Znibipn(t  − iTb − τn)
dove i coefficienti Zn sono i guadagni complessi dovuti ai cammini multipli. La decodifica del simbolo j − esimo avviene moltiplicando r̃(t) per pn(t − jTs  − τ0) (allineata al primo ritardo τ0) ed integrando il risultato su di un periodo di bit, realizzando così un filtro adattato alla sequenza pn, ovvero
j  =  (1)/(Ts)(j +  1)Ts  + τ0jTs  + τ0r̃(t)pn(t  − jTs − τ0)dt  = (1)/(Ts)Ts0N − 1n = 0Znbjpn(α  − τn)pn(α)dα  =   =  N − 1n = 0Znbj(1)/(Ts)Ts0pn(α  − τn)pn(α)dα  = Z0bj + N − 1n = 1ZnbjRPN(τn)
in cui al secondo passaggio sopravvive solo il termine j  − esimo della i in quanto è l’unico entro gli estremi di integrazione, dopodiché si pone α = t − jTs  − τ0, e τn  = τn − τ0. Il primo termine del risultato è pari (a meno del coeff. complesso Z0) al simbolo cercato, mentre il secondo rappresenta il termine di interferenza intersimbolica legato ai ritardi τn, e che risulta ridotto rispetto al primo termine del rapporto RPN(τn)RPN(0).
.
ricevitore Rake
Figura 16.40 Schema di principio del ricevitore Rake
D’altra parte, anche le repliche ritardate trasportano la medesima informazione, ed il ricevitore rake (letteralmente, rastrello) le ricombina mediate l’uso di un banco di correlatori[796] [796] Detti fingers, ovvero dita (del rastrello)., ognuno dei quali utilizza una pn con un ritardo pari a quello di uno degli echi del multipath, realizzando uno schema di ricezione a diversità di tempo. Le uscite dei correlatori sono quindi combinate tra loro con il duplice intento di rendere la somma coerente eliminando il contributo di fase dovuto al multipath, e di applicare il principio di massimo rapporto per trarre massimo vantaggio dallo schema a diversità. Come mostrato in fig. 16.40↑, ciò avviene moltiplicando l’uscita del correlatore n  − esimo per Z*n, e dato che l’uscita stessa (vedi nota 16.3.4.10↑) contiene il fattore Zn, tale operazione elimina il contributo di fase, e pesa il contributo del ramo con Z2n, ovvero con l’energia associata al ritardo τn[797] [797] Ciò riduce il peso dei contributi relativi a rami su cui perviene un segnale di ampiezza ridotta, la cui uscita dipende in misura maggiore dal rumore.. Tali pesi sono infine scalati di una quantità α  = (1)/(N  − 1n = 0Z2n) in modo da mantenere la dinamica del risultato entro valori noti.
  Sezione 16.2: Collegamenti in cavo Su  Capitolo 16: Collegamenti e mezzi trasmissivi Sezione 16.4: Collegamenti in fibra ottica 
x Logo

Trasmissione dei Segnali e Sistemi di Telecomunicazione

http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/

Un esperimento divenuto nel tempo un riferimento culturale. Scopri come effettuare il download, ricevere gli aggiornamenti, e contribuire!