Sezione 17.2: Distribuzione di Poisson Su  Capitolo 17: Sistema di servizio, teoria del trafficoe delle reti Sezione 17.4: Sistemi di servizio orientati al ritardo 

17.3  Sistema di servizio orientato alla perdita

Un sistema di servizio è una entità in grado di accogliere delle richieste di servizio, ovvero
Richieste di servizio e occupazione serventi
Richieste di servizio e occupazione serventi
eventi che definiscono il cosiddetto processo di ingresso al sistema, fino al raggiungimento della capacità limite, determinata dal numero M di serventi di cui il sistema dispone[851] [851] Gli esempi dalla vita reale sono molteplici, dal casello autostradale presso cui arrivano auto richiedenti il servizio del casellante (M=numero di caselli aperti), al distributore automatico di bevande (servente unico), all’aereo che per atterrare richiede l’uso della pista (servente unico).... nel contesto delle telecomunicazioni, il modello si applica ogni qualvolta vi siano un numero limitato di risorse a disposizione, come ad esempio (ma non solo!) il numero di linee telefoniche uscenti da un organo di commutazione, od il numero di time-slot presente in una trama PCM, od il numero di operatori di un call-center.....
Una volta occupati tutti i serventi, e finché non se ne libera qualcuno, le successive richieste possono essere poste in coda, individuando così un sistema orientato al ritardo (che affrontiamo al § 17.4↓), oppure rifiutate (vedi la figura a fianco), come avviene per i sistemi orientati alla perdita. Scopo della presente sezione sarà pertanto quello di determinare il numero di serventi necessario a garantire una probabilità di rifiuto della richiesta di servizio pari ad un valore che descrive il grado di servizio che si intende fornire.

17.3.1  Frequenza di arrivo e di servizio

Mentre il processo di ingresso è descritto in termini della frequenza media di arrivo λ, il tempo medio di occupazione dei serventi (indicato come processo di servizio) è descritto nei termini del tempo medio di servizio τS, ovvero dal suo inverso μ = 1 ⁄ τS, pari alla frequenza media di servizio. Nella trattazione seguente si fa l’ipotesi che entrambi i processi (di ingresso e di servizio) siano descrivibili in termini di v.a. a distribuzione esponenziale[852] [852] L’ipotesi permette di valutare la probabilità che l’intervallo temporale tra due eventi di ingresso sia superiore a θ, in base alla (19.3↑), come e − λθ (ad esempio, la prob. che tra due richieste di connessione in ingresso ad una centrale telefonica passi un tempo almeno pari a θ); allo stesso modo, la probabilità che il servizio abbia una durata maggiore di θ è pari a e − μθ (ad esempio, la prob. che una telefonata duri più di θ)., ovvero che le durate degli eventi “nuova richiesta” e “servente occupato” siano completamente casuali[853]  [853] Le ipotesi poste fanno sì che i risultati a cui giungeremo siano conservativi, ovvero il numero di serventi risulterà maggiore od uguale a quello realmente necessario; l’altro caso limite (di attese deterministiche) corrisponde a quello in cui il tempo di servizio non varia, ma è costante, come ad esempio il caso del tempo necessario alla trasmissione di una cella atm di dimensioni fisse. In questi casi, la stessa intensità media di traffico Ao  = (λ)/(μ) può essere gestita con un numero molto ridotto di serventi; nella realtà, ci si troverà in situazioni intermedie..

17.3.2  Intensità media di traffico

Il rapporto Ao  = (λ)/(μ) è indicato come intensità media del traffico offerto[854] [854] Si noti che il pedice o è una “o” e non uno “0”, ed identifica appunto l’aggettivo offerto. e descrive quanti serventi (in media) sarebbero occupati ad espletare le richieste arrivate e non ancora servite, nel caso in cui M fosse infinito. L’aggettivo offerto indica la circostanza che, essendo invece M finito, alcune richieste non sono accolte, ed Ao risulta diverso dal traffico As che può essere effettivamente smaltito. L’unità di misura dell’intensità di traffico è l’erlang, il cui valore indica appunto il numero medio di serventi occupati.
EsempioAd un centralino giungono una media di λ  = 3 chiamate al minuto, e la durata media di una conversazione è 1 ⁄ μ  = 3 minuti. In tal caso l’intensità media di traffico risulta Ao  = 3⋅3 =  9 Erlang, corrispondenti al potenziale impegno di una media di 9 centralinisti (e nove linee telefoniche).

17.3.3  Probabilità di rifiuto

La teoria che porta a determinare la probabilità che una nuova richiesta di servizio non possa essere accolta a causa dell’esaurimento dei serventi, si basa sull’analisi di un cosiddetto processo di nascita e morte, che descrive da un punto di vista statistico l’evoluzione di una popolazione, nei termini di una frequenza di nascita (nuova conversazione) e di morte (termine della conversazione). Istante per istante, il numero esatto di individui della popolazione può variare, ma in un istante a caso, possiamo pensare alla numerosità della popolazione come ad una variabile aleatoria discreta, descritta in base ai valori di probabilità pk che la popolazione assommi esattamente a k individui. La determinazione di questi valori pk dipende dalla caratterizzazione dei processi di ingresso e di servizio, e nel caso in cui questi siano descritti da v.a. esponenziali (o poissoniane, a seconda se ci riferiamo ai tempi medi di interarrivo/partenza, od al loro numero medio per unità di tempo) si può procedere nel modo che segue.
processo di nascita e morte
Descriviamo innanzitutto l’evoluzione dello stato del sistema, in cui il numero di serventi occupati evolve aumentando o diminuendo di una unità alla volta (come per i processi di nascita e morte), con l’ausilio della figura a lato, dove il generico stato Sk rappresenta la circostanza che k serventi siano occupati, circostanza a cui compete una probabilità pk  = Pr(Sk).
Gli stati del grafo sono collegati da archi etichettati con la frequenza λ delle transizioni tra gli stati, ovvero dal ritmo con cui si passa da Sk a Sk  + 1 a causa di una nuova richiesta, indipendente (per ipotesi) dal numero di serventi già occupati, e dal ritmo (k  + 1)μ con cui si torna da Sk + 1 ad Sk, a causa del termine del servizio espletato da uno tra i k  + 1 serventi occupati, e proporzionale quindi a questo numero[855] [855] Pensiamo ad un ufficio postale visto dall’esterno: la frequenza media λ con cui entrano nuove persone non dipende da quanti siano già all’interno, mentre invece la frequenza con la quale escono dipende sia dal tempo medio 1μ di permanenza allo sportello, che dal numero di sportelli (serventi) M in funzione. La differenza con il caso che stiamo trattando, scaturisce dal fatto che l’ufficio postale è un sistema a coda, e dato che la coda c’è praticamente sempre (ossia i serventi sono generalmente tutti occupati) possiamo dire che la frequenza media di uscita è proprio Mμ.. Se λ e μ non variano nel tempo, esaurito un transitorio iniziale, il sistema di servizio si troverà in condizioni stazionarie, permettendoci di scrivere le equazioni di equilibrio statistico
(19.5) λpk  = μ(k  + 1)pk  + 1  con k = 0, 1, 2, …,  M − 1
che eguagliano la frequenza media con cui il sistema evolve dallo stato k verso k  + 1, alla frequenza media con cui avviene la transizione inversa[856] [856]  E’ un po come se il numero medio di nuove richieste per unità di tempo λ si distribuisse, in accordo alle probabilità pk, tra tutti gli stati possibili del sistema: come dire che del totale di λ, una parte λp0 trovano il sistema vuoto, una parte λp1 con un solo occupante, eccetera. Per quanto riguarda le richieste servite per unità di tempo, la frequenza di uscita dal sistema è quella che si otterrebbe con un unico servente, moltiplicata per il numero di serventi occupati. Dato che questa ultima quantità è una grandezza probabilistica, la reale frequenza di uscita μr può essere valutata come valore atteso, ossia μr  = Mk  = 1μkpk . La (19.5↑) può essere riscritta come pk  + 1 = (λ)/(μ(k  + 1))pk  = (Ao)/((k  + 1))pk, che applicata ricorsivamente, porta a scrivere
(19.6) pk  = (Ako)/(k!)p0
Non resta ora che trovare il modo per dare un valore a p0, e questo è oltremodo semplice, ricordando che deve risultare[857]  [857] Usiamo il pedice m anziché k per non creare confusione nella (19.8↓) 1 = Mm  = 0pm = p0Mm = 0(Amo)/(m!), e quindi
(19.7) p0  = Mm = 0(Amo)/(m!) − 1
Nei due casi distinti in cui i serventi siano in numero finito (e pari ad M) od infinito (M  = ∞) otteniamo rispettivamente il caso cercato, ed un caso limite. Se poniamo M = ∞, tenendo conto dell’espansione in serie m = 0(Amo)/(m!) = eA0, si ottiene che la (19.7↑) fornisce appunto p0 = e  − A0, e la (19.6↑) diviene pk  = e  − A0(Ako)/(k!), che come riconosciamo immediatamente è proprio la ddp di Poisson (19.2↑) con valore medio A0[858] [858] Questo risultato è in perfetto accordo con le la (19.2↑), quando abbiamo sostituito alla ddp di Bernoulli quella di Poisson, mantenendo inalterato il numero medio di serventi occupati, che ora indichiamo con Ao, come definito al § 17.3.2↑.. Se invece poniamo M finito, la sommatoria che compare in (19.7↑) non corrisponde ad una serie nota, e dunque rimane come è, fornendo il risultato
probabilità di blocco PB in un sistema orientato alla perdita probabilità di blocco PB in un sistema orientato alla perdita
Figura 17.8 Andamento della probabilità di blocco PB in un sistema orientato alla perdita, al variare di Ao, per il numero di serventi indicato sulle curve
pk = Pr(Sk) = ((Ako)/(k!))/(Mm = 0(Amo)/(m!))
Notiamo ora che pM è la probabilità che tutti i serventi siano occupati, pari dunque alla probabilità che una nuova richiesta di servizio sia rifiutata. Chiamiamo allora questo valore Probabilità di Blocco, di Rifiuto o di Perdita, la cui espressione prende il nome di Formula B di Erlang, del primo tipo, di ordine M ed argomento Ao:
(19.8) PB  = Pr(SM) = pM = ((AMo)/(M!))/(Mm  = 0(Amo)/(m!)) = E1, M(Ao)
L’andamento di PB in funzione di M e di Ao è graficato in Fig. 17.8↑, e mostra come (ad esempio) per una intensità di traffico offerto pari a 40 Erlang, siano necessari più di 50 serventi per mantenere una PB minore dell’1%, che salgono a più di 60 per una PB  = 10 − 3.

17.3.4  Efficienza di giunzione

In presenza di una intensità media di traffico offerto Ao, ed una probabilità di perdita Pp  = PB, solamente il (1 − Pp)⋅100 % delle richieste è smaltito, e quindi
figure f6.9.png
Ao si ripartisce tra l’intensità media di traffico smaltito As = Ao(1 − Pp), e l’intensità media di traffico perso Ap  = AoPp. Possiamo definire un coefficiente di utilizzazione, o efficienza
ρ = (As)/(M)  = (Ao)/(M)(1 − Pp)
che rappresenta la percentuale di impegno dei serventi, e di cui la figura 17.10↓ mostra l’andamento al variare di Ao,
Efficienza di giunzione
Figura 17.10 Efficienza di giunzione
per una PB assegnata e pari a 2⋅10 − 3, assieme al numero di serventi necessario a garantire tale probabilità di blocco.
Come si può osservare, una volta fissato il grado di servizio, all’aumentare del numero di serventi il traffico smaltito cresce più in fretta di quanto non crescano i serventi[859]  [859] ovvero, all’aumentare del traffico offerto, M aumenta più lentamente di Ao. Ad esempio, dalla figura si può verificare che se per Ao  = 10 occorrono circa 21 serventi, per una intensità doppia Ao = 20 il numero di serventi necessario a mantenere la stessa PB risulta poco più di 32. , cosicché (a parità di Pp) l’efficienza aumenta con l’intensità di traffico offerto, e per questo i collegamenti (giunzioni) in grado di smaltire un numero più elevato di connessioni, garantiscono anche una maggiore economicità di esercizio.

17.3.5  Validità del modello

Le considerazioni esposte si riferiscono ad una ipotesi di traffico completamente casuale con tempi di interarrivo e di servizio esponenziali[860] [860] In effetti, è stato dimostrato che i risultati ottenuti per i sistemi di servizio orientati alla perdita possono essere considerati validi anche nel caso di tempi di servizio a distribuzione qualsiasi, non necessariamente esponenziale., ossia con un processo di traffico incidente di Poisson. In queste ipotesi, il rapporto (σ2P)/(mP)  = 1 tra la varianza e la media delle distribuzioni di Poisson, è rappresentativo appunto di un traffico completamente casuale.
Del tutto diversa può risultare l’analisi, nel caso di una giunzione usata solo nel caso di trabocco del traffico da una giunzione piena. In questo caso λ non è più costante, anzi aumenta con l’aumentare delle connessioni già avvenute, tipico di traffico a valanga[861] [861] Un esempio di tale tipo di traffico potrebbe essere... l’uscita da uno stadio (o da un cinema, una metropolitana,...) in cui il flusso di individui non è casuale, ma aumenta fino a saturare le vie di uscita..
EsempioUn numero molto elevato di sorgenti analogiche condivide uno stesso mezzo trasmissivo, caratterizzato da una capacità complessiva netta di 25.6 Mbps. Le sorgenti sono campionate a frequenza fc  = 21.33 KHz e con una risoluzione di 12 bit/campione; ogni sorgente trasmette ad istanti casuali per un tempo casuale, quindi gli intervalli di interarrivo e di servizio sono entrambi v.a. a distribuzione esponenziale negativa, di valor medio rispettivamente λ  = 20 richieste/minuto e (1)/(μ) = 4.25 minuti.
  1. Determinare la fb di una sorgente nelle fasi di attività;
  2. determinare il numero massimo di sorgenti contemporaneamente attive;
  3. determinare il grado di servizio (Probabilità di rifiuto) ottenibile con il mezzo trasmissivo indicato;
  4. indicare la capacità da aggiungere al collegamento per garantire un grado di servizio cento volte migliore.
Risposte
  1. fb  = (bit)/(campione)(campioni)/(secondo) = 12⋅21.33⋅103  = 256 Kbps;
  2. Il numero massimo di sorgenti contemporaneamente attive coincide con il numero di serventi M del collegamento, e quindi M = (25.6⋅106)/(256⋅103) = 100 serventi;
  3. L’intensità media di traffico offerto risulta pari a Ao  = (λ)/(μ)  = (20)/(1 ⁄ 4.25)  = 85 Erlang, e pertanto dalle curve di Fig. 17.8↑ si trova una probabilità di rifiuto pari a circa 10  − 2:
  4. Si richiede quindi una probabilità di rifiuto 100 volte inferiore, e cioè pari a 10 − 4: si ottiene che la banda deve essere aumentata del 20%. Infatti, dalle curve di Fig. 17.8↑ si osserva che ciò richiede (a parità di Ao) almeno 120 (circa) serventi, 20 in più, pari ad una capacità aggiuntiva di 20⋅256⋅103 =  5.12 Mbps.
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