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2.1  Prerequisiti trigonometrici

2.1.1  Numeri complessi

figure f2.1.png
Un numero complesso x è costituito da una coppia di valori numerici a e b che ne rappresentano la parte reale e quella immaginaria:
x = a + jb
E’ spesso utile ricorrere alla rappresentazione di x nel piano complesso in coordinate polari, che mette in luce l’espressione alternativa[22] [22] La rappresentazione in modulo e fase consente di calcolare il prodotto tra numeri complessi x = |x|ejφ e y = |y|ejθ in modo semplice: z = xy  = |x||y|ej(φ  + θ). di x nei termini di modulo |x| e fase φ:
x = |x|ejφ
Queste due quantità si ottengono dalle parti reale ed immaginaria, mediante le relazioni
|x|  =  (a2 + b2)  e φ = arctan(b)/(a)
mentre le relazioni inverse risultano
a = |x|cosφ e b = |x|sinφ
Per ogni numero complesso x, è definito il suo coniugato x* come quel numero complesso con uguale parte reale, e parte immaginaria di segno opposto, ovvero uguale modulo, e fase cambiata di segno: x* = a − jb = |x|e − jφ.
 

2.1.2  Formula di Eulero

L’esponenziale ejφ è un particolare numero complesso con modulo pari ad uno[23]  [23] L’espressione più generale eγ con γ  = α + jφ è ancora un numero complesso, con fase φ e modulo eα. Infatti eγ  = eα + jφ  = eαejφ  = eα(cosφ  + jsinφ)., e che quindi si scompone in parte reale ed immaginaria come
(4.1) e±jφ  = cosφ±jsinφ
La relazione (4.1↑) è nota come formula di Eulero[24] [24] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero, per mezzo della quale le funzioni trigonometriche possono essere espresse in termini di esponenziali complessi come
cosφ = (ejφ  + e − jφ)/(2)  e sinφ = (ejφ  − e − jφ)/(2j)
Tali relazioni possono tornare utili nel semplificare i calcoli, trasformando i prodotti tra funzioni trigonometriche in somme di angoli[25] [25] L’affermazione nasce dalla relazione eαeβ = eα  + β. Ad esempio quindi, il prodotto cosα⋅sinβ diviene
          (1)/(4j)(ejα  + e  − jα)(ejβ  − e  − jβ) = (1)/(4j)[ejαejβ  − ejαe − jβ + e − jαejβ  − e − jαe − jβ]  = 
           = (1)/(4j)[ej(α  + β) − e  − j(α + β) − ej(α − β)  + e − j(α  − β)] = (1)/(4j)[2jsin(α  + β) − 2jsin(α  − β)]  = 
           = (1)/(2)[sin(α + β)  − sin(α − β)]
.

2.1.3  Fasori

Un segnale del tipo x(t) = Acos(2πf0t  + φ) è completamente rappresentato dal numero complesso x  = Aejφ detto fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il segnale originario mediante la relazione x(t) = ℜ{xej2πf0t}, che una volta sviluppata[26]  [26] Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato è quello di esprimere gli esponenziali complessi in termini trigonometrici, ottenendo x(t) = ℜ{|x|(cosφ + jsinφ)[cos(2πf0t) + jsin(2πf0t)]}, e sviluppare il calcolo facendo uso delle relazioni cosαcosβ  = (1)/(2)[cos(α + β)  + cos(α − β)] e sinαsinβ  = (1)/(2)[cos(α − β)  − cos(α + β)], ma avremmo svolto più passaggi. risulta infatti pari a
x(t)  =  {Aejφej2πf0t} = A⋅ℜ{ej(2πf0t  + φ)}  =   =  A⋅ℜ{cos(2πf0t  + φ) + jsin(2πf0t  + φ)}  =   =  Acos(2πf0t  + φ)
fasore
Osserviamo che il risultato ottenuto può interpretarsi graficamente come l’aver impresso al fasore una rotazione di velocità angolare ω0  = 2πf0 radianti/secondo in senso antiorario, ed aver proiettato il risultato sull’asse reale. In alternativa, possiamo esprimere il segnale x(t) di partenza anche come
(4.2) x(t) = (1)/(2){xej2πf0t  + x*e − j2πf0t}
Tale operazione coinvolge anche le frequenze negative, e corrisponde a tener conto di un secondo vettore rotante, che si muove ora in senso orario, che ha una parte immaginaria di segno sempre opposto al primo, e che è moltiplicato per il coniugato del fasore. Vedremo tra breve che l’ultima espressione fornita è esattamente quella della serie di Fourier per il caso in questione.


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