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2.3 Teorema di Parseval

Stabilisce l’equivalenza di due rappresentazioni del segnale dal punto di vista energetico. La potenza, infatti, è calcolabile in modo simile in entrambi i domini del tempo e della frequenza, risultando
Px = limΔT  → ∞(1)/(ΔT)(ΔT)/(2)  − (ΔT)/(2)|x(t)|2dt = n =  − ∞|Xn|2
Sviluppiamo i calcoli che danno luogo al risultato mostrato:
Px  =  limΔT → ∞(1)/(ΔT)(ΔT)/(2) − (ΔT)/(2)|x(t)|2dt = (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)|x(t)|2dt = (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)x(t)x*(t)dt  =   =  (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)[nXn ej2πnFt][mX*m e − j2πmFt]dt =   =  nmXnX*m(1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)  ej2π(n  − m)Ftdt  =   =  n =  − ∞XnX*n  = n =  − ∞|Xn|2  = n =  − ∞M2n  = n =  − ∞(R2n + I2n)
Ortogonalità degli esponenziali complessi
Nei precedenti calcoli si è fatto uso del risultato
(4.6) (1)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)  ej2π(n  − m)Ftdt =  0  con n ≠ m 1  con n = m
che deriva dalla circostanza che la funzione integranda (per n  ≠ m) è esprimibile nei termini di seni e coseni con periodo uguale o sotto-multiplo di T, e quindi ad area nulla nell’intervallo T; per n = m invece essa vale e0 = 1, e dunque il risultato. Questo prende il nome di proprietà di ortogonalità degli esponenziali complessi, in base ai princìpi di algebra vettoriale forniti in appendice 36↓.
Spettro di potenza per segnali periodici
In appendice (pag. 1↓) si mostra come l’integrale
x(t)2 =  (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)x(t)x(t)*dt
oltre a misurare la potenza del segnale periodico x(t), ne misuri la norma quadratica da un punto di vista algebrico.
Tornando ad esaminare il risultato Px  = n =  − ∞|Xn|2 espresso dal teorema di Parseval, notiamo che |Xn|2 è la potenza di una singola componente armonica di x(t):
Pn = (1)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)[Xn ej2πnFt][X*n e − j2πnFt]dt = (|Xn|2)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)dt = |Xn|2
e quindi osserviamo che
La potenza totale Px di un segnale periodico x(t) è pari alla somma delle potenze delle sue componenti armoniche Xn ej2πnFt.
Si presti attenzione che il risultato è una diretta conseguenza dell’ortogonalità della base di rappresentazione: infatti, la potenza di una somma non è in generale pari alla somma delle potenze[39]  [39] In generale risulta, con la notazione di prodotto scalare (a,  b) tra vettori-segnali a e b introdotta al § 36↓: (x + y,   x + y) = (x,   x)  + (y,   y)  + (x,   y)  + (y,   x). ; l’uguaglianza ha luogo solo nel caso di in cui gli addendi siano ortogonali.
La successione {Pn}  = {...,  |X  − k|2,  ...,  |X0|2,   ...,  |Xk|2,  ...} rappresenta come la potenza totale si ripartisce tra le diverse armoniche a frequenza f = nF, e prende il nome di spettro di potenza del segnale x(t).
Osserviamo che necessariamente i termini Pn  = |Xn|2 risultano reali e positivi. Inoltre, se x(t) è reale, risulta |Xn|2 = |X* −  n|2 =  |X − n|2, e quindi si ottiene Pn  = P − n; pertanto un segnale reale è caratterizzato da uno spettro di potenza pari.
 
EsempioSi determini lo spettro di potenza di un’onda quadra. Soluzione: Essendo Xn  = (1)/(2) sinc(n)/(2), si ottiene {Pn}  = {|Xn|2}  = (1)/(4)  sinc2(n)/(2).
Potenza di un coseno
Cogliamo l’occasione per calcolare la potenza di una sinusoide di ampiezza A. Applicando il teorema di Parseval si ottiene:
Px  = |X1|2  + |X − 1|2  = 2(A2)/(4) = (A2)/(2)
a cui corrisponde un valore efficace (pag. 1↑) pari a (A22) = A(2)≃0.707⋅A.
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