Sezione 2.3: Teorema di Parseval Su  Capitolo 2: Serie di Fourier Capitolo 3: Trasformata di Fourier 

2.4  Appendici

2.4.1  Convergenza della serie di Fourier

Illustriamo le condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie di Fourier (4.4↑) al segnale x(t) di partenza per ogni istante t.
Condizioni di Dirichlet
Qualora x(t), per t interno all’intervallo di un periodo t ϵ ( − T2, T2),
  1. sia assolutamente integrabile, ovvero   − T2  − T2|x(t)|dt < ∞;
  2. presenti un numero finito di discontinuità di prima specie[40]  [40] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_discontinuità., ovvero sia continua a tratti;
  3. contenga un numero finito di massimi e minimi, ovvero sia derivabile ovunque, esclusi al più un numero finito di punti in cui la derivata presenta discontinuità di prima specie;
allora la serie n  =  − ∞Xn ej2πnFt eguaglia il valore x(t) del segnale utilizzato per calcolarne i coefficienti Xn  = (1)/(T) (T)/(2) − (T)/(2)x(t) e − j2πnFtdt in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre negli istanti di discontinuità di prima specie, fornisce un valore pari alla media dei valori limite destro e sinistro. Tali condizioni si applicano direttamente ai segnali x(t) reali, mentre nel caso di segnali complessi, si applicano in modo indipendente alla parte reale ed a quella immaginaria. Inoltre le condizioni sono sufficienti e non necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di un segnale in serie di Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.
Nella pratica, i segnali che rappresentano fenomeni fisici sono di energia, cioè per essi si può assumere sempre verificata la condizione T2  − T2|x(t)|2dt < ∞, più debole della prima condizione su espressa, che è dunque automaticamente verificata; inoltre, tali segnali sono in pratica sempre continui, rendendo verificata la seconda condizione. Infine, nel caso ad esempio di un’onda triangolare (vedi § 2.4.3↓), la derivata soddisfa anche la terza condizione.
Rapidità di convergenza
Svolgiamo ora qualche riflessione in merito alla velocità con cui i coefficienti Xn tendono a zero per n → ∞. Si può mostrare che se un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora le ampiezze dei relativi coefficienti di Fourier rispettano l’andamento |Xn| ≤ (α)/(n), ovvero le armoniche presentano ampiezze che si riducono con legge almeno inversa del corrispondente ordine. Un caso in cui vale l’uguaglianza è quello relativo all’onda quadra studiata al § 2.2.1.4↑, in cui sono presenti discontinuità di prima specie. Al contrario, per un’onda triangolare (§ 2.4.3↓) la velocità di smorzamento delle ampiezze è maggiore, risultando infatti del tipo |Xn|  = (α)/(n2). Ciò significa che volendo approssimare il segnale troncando la serie ad un indice N, nel caso di un’onda triangolare la potenza dell’errore sarà molto minore, a parità di N, di quella osservabile per l’onda quadra. In generale, si può affermare che se la k  − esima derivata di un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora i corrispondenti coefficienti della serie vanno a zero con legge |Xn|  ≤ (α)/(nk  + 1). Ciò in pratica significa che più un segnale ha un andamento dolce, e minore sarà il suo contenuto armonico. Il caso limite è rappresentato dalla sinusoide, alla quale è associata una unica armonica (la fondamentale), e difatti per essa tutte le derivate sono continue essendo, come noto, sinusoidi anch’esse.

2.4.2  Algebra vettoriale

Sono qui richiamati alcuni concetti di rappresentazione geometrica, indispensabili per fornire alla serie di Fourier una giustificazione vettoriale, gettando così le basi per una interpretazione dei segnali come elementi di uno spazio algebrico.
Spazio normato
Un insieme di elementi viene detto spazio lineare (o spazio vettoriale), quando sono definite le operazioni di somma tra elementi e di moltiplicazione degli stessi per dei coefficienti, e queste operazioni danno come risultato ancora un elemento dell’insieme.
Lo spazio prodotto interno (o spazio normato) è quello spazio lineare, in cui è definito il prodotto scalare x,  y tra generici vettori x ed y[41]  [41] Il prodotto scalare è un operatore che associa ad una coppia di vettori uno scalare. Indicando con x,   y il prodotto scalare tra x ed y, tale operatore deve soddisfare alle seguenti tre proprietà:
  • x,   y  = y,   x - proprietà commutativa;
  • ax + by,   z  = ax,   z  + by,   z - proprietà distributiva;
  • x,   x  ≥ 0 (con il segno uguale solo se x = 0).
Qualora lo spazio normato sia anche completo, prende il nome di spazio di Hilbert (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert). Il senso “naif” di completo è che i punti ci sono tutti, mentre quello più matematicamente forbito è che tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio.
. In tal caso, si può definire la norma x di un vettore x come
x = (x,  x)
Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo, ossia x,  y = 0.
Un generico punto x di uno spazio lineare può esprimersi come combinazione di vettori ui di una base di rappresentazione, con coefficienti xi, ovvero:
x  = ixiui
Se lo spazio è normato, e per i vettori della base risulta ui,   uj  = 0 per tutti gli i ≠ j, allora la base è detta ortogonale, ed i coefficienti xi si determinano per proiezione di x lungo i vettori della base:
xi = x,   ui
In tal caso, il prodotto scalare tra due vettori x ed y ha espressione[42]  [42] E’ facile verificare che il risultato ottenuto è direttamente applicabile allo spazio descritto dalla geometria euclidea, in
figure f2.101.png
diventa
 
figure f2.10.png
cui gli ui sono unitari ed orientati come gli assi cartesiani, ottenendo in definitiva
x,   y  = x1y1  + x2y2  + x3y3
Osserviamo inoltre come l’espressione che permette il calcolo della lunghezza di un vettore
x  = (i(xi)2)
non sia nient’altro che la riproposizione del teorema di Pitagora, che (su due dimensioni) asserisce l’uguaglianza dell’area del quadrato costruito sull’ipotenusa, con la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti, come mostrato a lato.
x,   y  = ixiy*iui2
Se ui2 = 1, allora gli ui sono unitari e la base è detta ortonormale.
Spazio dei segnali periodici
I concetti ora esposti sono immediatamente applicabili all’insieme dei segnali periodici di periodo T,  una volta che questi vengano assimilati a elementi di uno spazio normato, e per i quali sia definito un operatore di prodotto scalare tra due segnali x(t) ed y(t) nella forma di un integrale
x(t), y(t) = (1)/(T)(T)/(2)  − (T)/(2)x(t)y*(t)dt
a cui corrisponde una norma quadratica immediatamente riconoscibile come la potenza del segnale:
x(t)2 =  (1)/(T)(T)/(2) − (T)/(2)|x(t)|2dt
Considerando ora il sottospazio dei segnali periodici con periodo T = (1)/(F) costituito dall’insieme {ej2πnFt}, la validità di (4.6↑) di pag. 1↑ prova che gli {ej2πnFt} costituiscono una base ortonormale per i segnali periodici di periodo T; in particolare si riconosce che l’espressione (4.3↑) di pag. 1↑ rappresenta la proiezione[43]  [43] Infatti, il prodotto scalare si calcola come il prodotto dei moduli, moltiplicato per l’angolo compreso tra i due: x,   y  = |x||y|⋅cosθ. Se il secondo vettore ha lunghezza unitaria, si ottiene la proiezione del primo nella direzione del secondo. del segnale lungo i vettori della base, mentre la formula di ricostruzione (4.4↑) costituisce la rappresentazione del segnale nei termini delle sue componenti ortogonali.
Ri-definizione dei coefficienti di Fourier
Moltiplicando il segnale periodico per e  − j2πmFt ed eseguendo l’integrale tra due istanti t1 e t2 presi a distanza di un multiplo intero di periodi (ossia t2  − t1 = kT), si ottiene
t2t1x(t) e − j2πmFtdt  =  t2t1(n  =  − ∞Xn ej2πnFt)e −  .j2πmFtdt =   =  n =  − ∞Xn t2t1 e.j2π(n  − m)Ftdt  = (t2 − t1)Xm
in quanto per n ≠ m la funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell’intervallo (t1, t2) (dovunque collocato dell’asse dei tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il calcolo dei coefficienti può ottenersi a partire da un qualunque intervallo esteso su un numero intero di periodi:
Xn = (1)/(t2 − t1)t2t1x(t) e − .j2πnFtdt
Disuguaglianza di Schwartz
Consiste nel risultato
(4.7) |  − ∞x(t)y*(t)dt|2  ≤   − ∞|x(t)|2dt − ∞|y(t)|2dt
che a volte può tornare utile nei calcoli che coinvolgono segnali di energia. La dimostrazione si basa sull’identificare l’insieme di tali segnali come uno spazio normato, dotato di un operatore di prodotto scalare tra x(t) ed y(t) definito come
(4.8) x(t), y(t) =   − ∞x(t)y*(t)dt
In tal modo, il risultato (4.7↑) mostrato deriva da quello valido per un qualunque spazio vettoriale, che si basa sulla disuguaglianza |cosθ| ≤ 1, permettendo di scrivere
x,   y2  = (|x||y|⋅cosθ)2  ≤ |x|2|y|2
Applicando quindi la definizione di prodotto scalare (4.8↑) ai due vettori-segnale x = x(t) e y  = y(t), si ottiene il risultato espresso dalla disuguaglianza di Schwartz, in cui  −  ∞|x(t)|2dt  =  − ∞x(t)x*(t)dt  = x,   x, e per la quale vale il segno di uguale se e solo se x(t) = Ky(t), con K costante reale, che rappresenta una condizione di parallelismo tra vettori-segnale.

2.4.3  Sviluppo in serie per alcuni segnali

Nello schema che segue, sono mostrate le ampiezze delle componenti armoniche Xn per alcuni segnali periodici di periodo T, di cui è fornita l’espressione nel tempo per |t| < T  ⁄ 2.
Onda quadra simmetrica
 
x(t)  =   + 1 |t|  < T ⁄ 4  − 1 T  ⁄ 4 ≤ |t|  < T ⁄ 2
Xn =  sincn2 n ≠ 0 0 n =  0
figure f2.9a.png
 
Treno di impulsi rettangolari

x(t)  =   + 1 |t|  < τ ⁄ 2 0 τ  ⁄ 2 ≤ |t|  < T ⁄ 2
Xn = τTsincnτT
figure f2.9b.png
 
Onda triangolare simmetrica

x
(t)  = 1 − 4|t|T |t| < T ⁄ 2
Xn =  sinc2n2 n ≠  0 0 n  = 0
figure f2.9c.png
 
Dente di sega simmetrico

x
(t)  = 2tτ |t|  < T ⁄ 2
Xn =  j( − 1)nnπ n ≠  0 0 n  = 0
figure f2.9d.png
 
Rettificata a singola semionda
x(t)  =  sinω0t 0 ≤ t < T  ⁄ 2 0  − T  ⁄ 2 ≤ t  < 0
Xn =  1π(1  − n2) npari  − j14 n = ±1 0   altrimenti
figure f2.9e.png
 
Rettificata a onda intera
x(t)  = |sinω0t|
Xn =  2π(1  − n2) npari 0   altrimenti
figure f2.9f.png
 
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