Sezione 3.1: Definizione Su  Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.3: Prime proprietà della trasformata di Fourier 

3.2 Energia mutua e densità di energia

Similmente al caso dei segnali periodici, individuiamo la relazione tra l’energia totale di un segnale, e come questa si distribuisce nel dominio della frequenza. In base alle considerazioni geometriche analoghe a quelle del § 36↑, definiamo il prodotto scalare tra segnali di energia x(t) e y(t), indicato anche come energia mutua[46] [46] Nei testi anglofoni la (8.3↓) è indicata come cross-energy, tradotta letteralmente come energia incrociata, o meglio, in comune., il valore
(8.3) xy  = x,   y  =  − ∞x(t)y*(t)dt
che, nel caso in cui x(t) = y(t), coincide con l’energia x di x(t). Se entrambi x(t) e y(t) possiedono trasformata di Fourier possiamo scrivere
xy  =  y*(t) [ X(f) ej2πftdf] dt =  X(f) [ y*(t) ej2πftdt] df  =   − ∞X(f) Y*(f) df
ed il risultato
 − ∞x(t)y*(t)dt  =  − ∞X(f)Y*(f)df
esprime il teorema di Parseval per segnali di energia, ed implica che le trasformate di segnali ortogonali, sono anch’esse ortogonali. Ponendo ora x(t) = y(t), si ottiene:
x = (x,   x)  = x2  =  − ∞|x(t)|2dt  =  − ∞|X(f)|2df
Esaminando quest’ultima espressione, possiamo indicare
x(f)  = |X(f)|2
come lo spettro di densità di energia di x(t). Infatti, l’integrale f2f1|X(f)|2df rappresenta il contributo all’energia totale x di x(t), limitatamente alla banda di frequenze comprese tra f1 ed f2.
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