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3.3  Prime proprietà della trasformata di Fourier

Simmetria coniugata
Nel caso in cui x(t) sia reale, risulta[47]  [47] Infatti X*(f) =  [x(t)e  − j2πftdt]*  = x*(t)ej2πftdt  = X( − f) dato che x(t) è reale.
X(f)  = X*(  − f)
e quindi la parte reale di X(f) è pari, e quella immaginaria dispari, ossia modulo |X(f)| pari e fase arg{X(f)} dispari; si applica inoltre il corollario di pag. 1↑.
Dualità
Trasformata ed antitrasformata differiscono solo per il segno. Ciò comporta che se sostituiamo alla variabile f del risultato X(f) di una -trasformata, la variabile t, si ottiene una funzione del tempo X(t) che, se nuovamente trasformata, fornisce ... il segnale originario x(t), espresso come funzione della variabile f, cambiata di segno: x(  − f). Il concetto esposto, verificabile analiticamente con un pò di pazienza, si riassume come
se    x(t){}  → X(f)     allora  sostituendofcont     →    X(t){}  → x(  − f) se    X(f)  − 1{} → x(t)    allora  sostituendotconf     →      x(f)  − 1{} → X(  − t)
e consente l’uso di risultati ottenuti “in un senso” (ad es. da tempo a frequenza) per derivare senza calcoli i risultati nell’altro (da frequenza a tempo), o viceversa.
Esempio: Trasformata di un sinc(t) Supponiamo di voler -trasformare il segnale x(t) = B(sin(πtB))/(πtB)  = Bsinc(tB): l’applicazione cieca dell’integrale che definisce la trasformata di Fourier al segnale x(t) appare un’impresa ardua... Allora, ricordando che ℱ{rectτ(t)} = τsinc(fτ) scriviamo direttamente ℱ{Bsinc(tB)} = rectB(f).
trasformata di un sinc
Pertanto la trasformata di un  sinxx nel tempo, è un rettangolo in frequenza.
Linearità
Discende molto semplicemente dalla proprietà distributiva dell’integrale che definisce la trasformata. Pertanto:
se    z(t) = ax(t) + by(t)    allora    Z(f) = aX(f) + bY(f)
Valore nell’origine (o iniziale) e area
Subito verificabile una volta notato che la -trasformata, calcolata per f  = 0, si riduce all’integrale di x(t), e quindi alla sua area. Pertanto:
X0 = X(f  = 0) =   − ∞x(t)dt    e,perdualità    x0  = x(t = 0)  =  − ∞X(f)df
Esempio Come applicazione, troviamo subito che l’area di un sinc(.):
(8.4)  − ∞sinc(tB)dt  = (1)/(B)rectB(f = 0)  = (1)/(B)
Traslazione nel tempo
Si tratta di una proprietà molto semplice, e che ricorre frequentemente nei calcoli sui segnali. Manifesta la relazione esistente tra la trasformata dei segnali e quella degli stessi traslati, e si esprime con il predicato:
se    z(t)  =  x(t − T) allora    Z(f)  =  X(f)e − j2πfT
la cui dimostrazione è fornita sotto[48] [48] La dimostrazione si basa su di un semplice cambio di variabile: Z(f) =  x(t − T) e − j2πftdt  =  x(θ) e − j2πf(T  + θ)dθ =  e − j2πfT x(θ) e − j2πfθdθ  = X(f)e − j2πfT.
EsempioValutiamo la trasformata di z(t) = rectτ(t  − T) mostrato sotto. Consideriamo innanzitutto che X(f) = ℱ{rectτ(t)} = τsinc(fτ) può scriversi in forma polare X(f) = |X(f)|ejarg{X(f)} come
X(f)  = τ|sinc(fτ)|ejφ(f)
in cui
φ(f)  = π2{1 −  sgn[sinc(fτ)]}sgn(f)
alterna valori tra 0 e π in funzione del segno del sinc: infatti, risulta che ejπ  =  − 1, mentre il prodotto finale per sgn(f) rende la fase un segnale dispari. La traslazione temporale del rect determina per Z(f) uno spettro di modulo ancora pari a |Z(f)| = τ|sinc(fτ)|, mentre alla fase φ(f) si aggiunge il contributo lineare in f pari a φ(f) =  − 2πfT, ottenendo quindi Z(f) = τ|sinc(fτ)|ej(φ(f)  − 2πfT), che viene rappresentato in figura, avendo posto τ  = 2 e T = .5.
trasformata di un rect
Poniamo ora l’attenzione sul fatto che l’espressione x(t  − T) indica un ritardo[49] [49] Notiamo tra l’altro che il ritardo comporta uno spostamento nel futuro. Ad esempio, se un autobus è in ritardo significa che deve ancora passare, e non che è già passato. del segnale x(t) di una quantità pari a T.
Linearità di fase
La circostanza che un ritardo temporale del segnale x(t) si traduca in una alterazione lineare della fase della sua trasformata X(f), comporta una conseguenza notevole anche nel passaggio da frequenza a tempo, ossia:
Affinché un segnale mantenga inalterato l’aspetto della propria forma d’onda anche a seguito di una modifica della corrispondente trasformata, l’unica alterazione possibile è una variazione costante per lo spettro di modulo, e lineare per quello di fase[50]  [50] Tali condizioni corrispondono a quelle descritte a pag. 1↓ come un canale perfetto.
EsempioConsideriamo un segnale periodico x(t) costituito da due sole armoniche:
x(t)  = a sin(ωt)  + b sin(2ωt)
(avendo posto 2πF = ω), assieme alla sua versione ritardata
x(t  − T)  = a sin(ω(t  − T))  + b sin(2ω(t  − T))  = a sin(ωt  − ωT) + b sin(2ωt  − 2ωT)
Ponendo ωT = θ, otteniamo
x(t  − T)  = a sin(ωt  − θ) + b sin(2ωt  − 2θ)
e verifichiamo che la seconda armonica subisce un ritardo di fase esattamente doppio.
In fig 3.3↓ si è posto a  = 1; b  = .5; θ  = (π)/(4) e F  = .2, ed è mostrato sia il segnale somma originario, sia quello ottenuto considerando un contributo di fase lineare per le due armoniche. Verifichiamo come nel secondo caso la forma d’onda sia la stessa ottenibile per T = 0, in quanto le armoniche sono traslate del medesimo intervallo temporale. A destra invece, la fase della seconda armonica viene annullata, ottenendo dalla somma un segnale asin(2πFt − θ)  + bsin(2π2Ft). Come è evidente, in questo caso il risultato assume una forma d’onda completamente diversa[51] [51] Nel seguito (§ 8.1.2.2↓) illustreremo che una conseguenza del risultato discusso, è la sensibilità delle trasmissioni numeriche alle distorsioni di fase..
sfasamento sfasamento sfasamento

Figura 3.3 Confronto tra diversi spettri di fase
Traslazione in frequenza (Modulazione)
E’ la proprietà duale della precedente, e stabilisce che
se Z(f) = X(f  − f0)      allora     z(t)  = x(t)ej2πf0t
la cui dimostrazione è del tutto analoga a quanto già visto. Da un punto di vista mnemonico, distinguiamo la traslazione temporale da quella in frequenza per il fatto che, nel primo caso, i segni della traslazione e dell’esponenziale complesso sono uguali, e nel secondo, opposti.
Da un punto di vista pratico, può sorgere qualche perplessità per la comparsa di un segnale complesso nel tempo. Mostriamo però che anti-trasformando uno spettro ottenuto dalla somma di due traslazioni (in frequenza) opposte, si ottiene un segnale reale:
 − 1{X(f  − f0)  + X(f  + f0)}  = x(t)ej2πf0t  + x(t)e − j2πf0t  = 2x(t)cos2πf0t
Pertanto, lo sdoppiamento e la traslazione di X(f) in ±f0 sono equivalenti ad un segnale cosinusoidale di frequenza f0, la cui ampiezza è modulata dal segnale x(t) = ℱ  − 1{X(f)}. E’ proprio per questo motivo, che la proprietà è detta di modulazione (vedi anche a pag. 1↓).
Coniugato
Deriva direttamente[52] [52] Infatti {x*(t)} =   − ∞x*(t)e − j2πftdt  =   − ∞[x(t)ej2πft]*dt. dalla definizione di -trasformata:
(8.5) {x*(t)} = X*(  − f); ℱ − 1{X*(f)} = x*(  − t)
Nel caso di segnali reali, ritroviamo la proprietà di simmetria coniugata X(f) = X*(  − f).
Cambiamento di scala
Quantifica gli effetti sullo spettro di una variazione nella velocità di scorrimento del tempo (e viceversa). Possiamo ad esempio pensare come, riavvolgendo velocemente un nastro magnetico, si ascolta un segnale di durata più breve, e dal timbro più acuto. Questo fenomeno viene espresso analiticamente come:
{x(at)} = (1)/(|a|)X(f)/(a)
in cui scegliendo ad es. a > 1, si ottiene una accelerazione temporale ed una allargamento dello spettro (ed il contrario, con a  < 1). La dimostrazione (per a  > 0) è riportata alla nota[53] [53]  x(at) e − j2πftdt  = (1)/(a) x(at) e − j2π(f)/(a)atd(at)  = (1)/(a) x(β) e − j2π(f)/(a)βdβ  = (1)/(a)X(f)/(a). Un corollario di questa proprietà, è che se a  =  − 1, allora
{x(  − t)}  = X( − f)
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