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3.4  Impulso matematico

Prima di esporre altre proprietà della trasformata di Fourier, occorre definire ed analizzare le proprietà della “funzione“ impulso matematico, indicato con il simbolo δ() e chiamato anche delta di Dirac. Questo è definito come un segnale δ(t) che vale zero ovunque, tranne per t = 0 dove vale infinito; per contro, l’area di δ(t) è unitaria:
δ(t)  =  cont  = 0 0  altrove      e       − ∞δ(t)dt  = 1
figure f3.65.png
Da un punto di vista analitico, δ(t) non è una funzione, ma una distribuzione[54] [54] Vedi ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_(matematica) per approfondire., definita come il limite a cui tende una successione di funzioni, come discusso in appendice 3.9.2↓. E’ prassi rappresentare graficamente Aδ(t) come una freccia (vedi figura) con scritto accanto il valore dell’area A.

3.4.1  Trasformata di una costante

La trasformata di una costante è un impulso matematico, di area pari al valore della costante.
Questa proprietà è valida per entrambi i dominii (f e t) di partenza, fornendo
{A}  = Aδ(f) e − 1{A} = Aδ(t)
In appendice 3.9.2↓ sono svolte riflessioni che illustrano come interpretare questo risultato. Qui osserviamo semplicemente che la costante A può essere vista come il limite, per τ →  ∞, di un segnale rettangolare:
A = limτ → ∞Arectτ(t)
la cui trasformata per τ → ∞ risulta
{limτ  → ∞Arectτ(t)} = limτ  → ∞Aτsinc(fτ)  =  conf  = 0 0  altrove
Ci troviamo pertanto nelle esatte circostanze che definiscono un impulso matematico, e resta da verificare che  − ∞τsinc(fτ)df  = 1: si può mostrare (pag. 1↑) che tale integrale vale uno per qualunque τ, e quindi possiamo scrivere {A} = Aδ(f).

3.4.2  Trasformata di segnali periodici

Consideriamo un segnale periodico x(t), del quale conosciamo lo sviluppo in serie
x(t)  = n  =  − ∞Xn ej2πnFt
Applicando la proprietà di linearità, il risultato per la trasformata di una costante, e ricordando la proprietà della traslazione in frequenza, troviamo[55] [55] X(f) =  ℱ{n  =  − ∞Xn ej2πnFt} = n  =  − ∞Xn{1⋅ ej2πnFt} = n  =  − ∞Xnδ(f  − nF) che la -trasformata di x(t) vale:
X(f)  = n  =  − ∞Xn δ(f  − nF)
Lo spettro di ampiezza di un segnale periodico è quindi costituito da impulsi matematici, situati in corrispondenza delle frequenze armoniche, e di area pari ai rispettivi coefficienti della serie di Fourier. Un modo alternativo di calcolare la trasformata di segnali periodici è illustrato alla sezione 3.8.1↓.
Trasformata di un cosenoApplichiamo il risultato trovato nel verso opposto, ossia per individuare le componenti armoniche, a partire dall’espressione della trasformata di Fourier. Nel caso di un coseno, che scriviamo
x(t)  = Acos(2πf0t  + φ) = A(ej(2πf0t  + φ) + e  − j(2πf0t  + φ))/(2)
la -trasformata risulta:
X(f)  =  (A)/(2)( ej2πf0tejφ + e − j2πf0te − jφ)  =  (A)/(2){ ejφδ(f − f0) +  e  − jφδ(f  + f0)}
trasformata di un coseno
in cui riconosciamo X1  = (A)/(2) ejφ e X − 1 = (A)/(2) e  − jφ come mostrato in figura.

3.4.3  Proprietà di setacciamento

Osserviamo innanzitutto che il prodotto di un segnale per un impulso unitario dà come risultato lo stesso impulso, con area pari al valore del segnale nell’istante in cui è centrato l’impulso:
(8.6) x(t)δ(t  − τ)  = x(τ)δ(t  − τ)
Proprietà di setacciamento
Questa considerazione consente di scrivere il valore di x(t) per un istante t = τ, nella forma
(8.7) x(τ) =   − ∞x(t)δ(t  − τ)dt
La relazione (8.7↑) è detta proprietà di setacciamento (in inglese, sieving) in quanto consiste nel passare (metaforicamente) al setaccio x(t), che compare in entrambi i membri dell’espressione ottenuta, così come la farina compare su entrambi i lati del setaccio stesso.
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