Sezione 3.4: Impulso matematico Su  Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.6: Moltiplicazione in frequenza e nel tempo 

3.5  Risposta impulsiva e convoluzione

Questa sezione illustra due concetti cardine nella descrizione dei sistemi fisici e delle relazione tra lo stimolo ad essi applicato, e l’effetto corrispondente.

3.5.1  Risposta impulsiva

Consideriamo un sistema fisico (elettrico, meccanico, pneumatico...) che venga sollecitato, in un punto considerato come ingresso, da un segnale impulsivo δ(t) centrato in t  = 0, ed osserviamo l’andamento temporale di una grandezza (meccanica, pneumatica, elettrica...) che possiamo considerare una uscita. Questo nuovo segnale prende il nome di risposta impulsiva (ossia all’impulso) e viene indicato con h(t). L’andamento di h(t) rappresenta quindi la grandezza di uscita, osservata dopo che è passato un tempo pari a t da quando si è applicato in ingresso l’impulso δ(t), e se il sistema è causale (vedi § 1.7.2↑) risulta h(t) = 0 con t  < 0, come raffigurato appresso. Se inoltre il sistema è anche lineare e permanente, applicando un ingresso costituito da più impulsi, ognuno con differente area ai e centrato ad un diverso istante τi, ovvero
(8.8) x(t) = Ni  = 1aiδ(t  − τi)
si ottiene una uscita pari a
(8.9) y(t) = Ni  = 1aih(t  − τi)
risposta impulsiva
Si rifletta sul significato della sommatoria, con l’aiuto della figura a lato: ad un dato istante t, il valore dell’uscita y(t) è il risultato dalla somma di N termini, ognuno pari al valore della risposta impulsiva calcolata con argomento pari al tempo trascorso tra l’istante di applicazione dell’i-esimo impulso e l’istante di osservazione.

3.5.2  Integrale di convoluzione

Consideriamo ancora lo stesso sistema fisico, al cui ingresso sia posto un generico segnale x(t) che, grazie alla proprietà di setacciamento, rappresentiamo come scomposto in infiniti termini, ossia come somma integrale di impulsi centrati in τ (variabile) ed area x(τ)dτ (infinitesima):
(8.10) x(t) =   − ∞x(τ)dτ δ(t  − τ)
Questa espressione, formalmente simile alla (8.8↑), è equivalente alla proprietà di setacciamento (8.7↑), dato che δ(t) è una funzione pari.
convoluzione
L’andamento della grandezza di uscita sarà dunque pari alla sovrapposizione di infinite risposte impulsive, ognuna relativa ad un diverso valore dell’ingresso:
y(t)  =   − ∞x(τ) h(t  − τ) dτ
in cui x(τ)dτ è l’area infinitesima degli impulsi di cui, in base alla (8.10↑), è costituito l’ingresso, e h(t  − τ) è l’uscita all’istante t causata dall’impulso in ingresso centrato all’istante τ. Il risultato ottenuto, formalmente simile a (8.9↑), prende il nome di integrale di convoluzione, e viene indicato in forma simbolica da un asterisco (*), in modo che ci si possa riferire ad esso anche come prodotto di convoluzione, ossia g(t) = x(t)*h(t).
Notiamo come h(t) caratterizzi completamente il sistema fisico, in quanto permette di calcolarne l’uscita per un qualsiasi ingresso.
Proprietà commutativa
Se un segnale con andamento h(t) è posto in ingresso ad un sistema con risposta impulsiva x(t), si ottiene ancora la stessa uscita, in quanto l’integrale di convoluzione è commutativo[56]  [56] Adottando il cambio di variabile t  − τ  = θ, si ottiene  − ∞x(τ)h(t  − τ)dτ  =  −  − ∞x(t − θ)h(θ)dθ  =   =   − ∞x(t  − θ)h(θ)dθ. Infatti, il cambio di variabile determina quello degli estremi in integrazione, che vengono poi scambiati ripristinando il segno, vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione:
y(t)  = x(t)*h(t) =   − ∞x(τ) h(t  − τ) dτ =   − ∞h(τ) x(t  − τ) dτ = h(t)*x(t)
Questa proprietà, assieme a quella di linearità, consente di stabilire le equivalenze mostrate in figura,
risposta impulsiva
dove si mostra come l’attraversamento in serie ed in parallelo di più sistemi lineari può essere ricondotto all’attraversamento di un sistema equivalente, con risposta impulsiva pari rispettivamente alla convoluzione ed alla somma delle singole risposte impulsive.

3.5.3  La risposta impulsiva come funzione memoria

Diamo ora un’interpretazione grafica della convoluzione: poniamo che h(t) sia un esponenziale decrescente ed x(t) un segnale triangolare, come mostrato in figura, assieme alla funzione integranda che compare nel calcolo dell’uscita ad un generico istante t = t.
L’andamento di h(t − τ) con τ variabile indipendente, si ottiene prima ribaltando h(t) rispetto all’origine dei tempi e quindi traslandola a destra (ovvero nel futuro) di t[57]  [57] Per convincerci dell’operazione, verifichiamo che per τ  < t l’argomento t  − τ di h è positivo, e infatti il valore di h(t  − τ) è   ≠ 0.. Il risultato dell’integrale di convoluzione, quando t = t, è pari a
y(t) =   − ∞x(τ) h(t − τ) dτ
ossia pari all’area del prodotto x(τ)h(t − τ), ombreggiata in figura;
convoluzione
per altri valori di t, il termine h(t − τ) sarà traslato di una diversa quantità.
Il calcolo dell’area di x(τ)h(t − τ) ha il significato di sommare le risposte causate da tutti i valori di ingresso, in cui per ogni termine della somma, h(t − τ) pondera l’ingresso in τ in base al tempo trascorso t  − τ tra l’istante (passato) τ  ≤ t di applicazione del valore di ingresso, e l’istante t di osservazione. Pertanto, i valori di h(t) rappresentano il peso della memoria, da parte del sistema fisico, degli ingressi precedenti.
Estensione temporale della convoluzione
In base alla costruzione grafica discussa, è facile verificare che se x(t) ed h(t) presentano una estensione temporale limitata, ovvero x(t) ≠ 0 con 0 ≤ t  ≤ Tx e h(t) ≠ 0 con 0 ≤ t  ≤ Th, allora il risultato y(t) = x(t)*h(t) ha estensione compresa tra t  = 0 e t = Tx  + Th, ossia presenta una durata pari alla somma delle durate.

3.5.4  Convoluzione con l’impulso traslato

Consideriamo un sistema fisico che operi un semplice ritardo θ sui segnali in ingresso: in tal caso risulterà h(t) = δ(t  − θ), ovvero: la risposta all’impulso è un impulso ritardato.
convoluzione

convoluzione
Per calcolare l’uscita, che sappiamo essere pari a y(t) = x(t − θ), possiamo ricorrere all’integrale di convoluzione, ottenendo
y(t)  =  x(t)*h(t)  = x(t)*δ(t  − θ)  =   =   − ∞x(τ) δ(t − θ − τ) dτ = x(t  − θ)
Questo risultato ci permette di enunciare un principio generale, che verrà utilizzato di frequente, e che recita:
La convoluzione tra un segnale x(t) ed un impulso δ(t  − θ) centrato ad un istante θ provoca la traslazione di x(t) all’istante in cui è centrato l’impulso.
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