Sezione 3.5: Risposta impulsiva e convoluzione Su  Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.7: Derivazione ed integrazione nel tempo 

3.6  Moltiplicazione in frequenza e nel tempo

La descrizione di un sistema fisico per mezzo della sua risposta impulsiva è di fondamentale utilità soprattutto per merito della seguente proprietà della trasformata di Fourier:
La -trasformata della convoluzione tra due segnali è pari al prodotto delle trasformate dei segnali:
(8.11) {x(t)*y(t)} = X(f)Y(f)
La dimostrazione è riportata alla nota[58] [58]  Z(f)  =  {x(t)*y(t)} =   − ∞[ − ∞x(τ) y(t − τ) dτ] e − j2πftdt =   =    − ∞x(τ) [  − ∞y(t  − τ) e − j2πftdt] dτ =  − ∞x(τ) Y(f) e − j2πfτ dτ  =   =  Y(f)   − ∞x(τ) e − j2πfτ dτ = Y(f)X(f) . Sussiste inoltre anche la proprietà duale, ovvero ad un prodotto nel tempo corrisponde una convoluzione in frequenza, che si scrive
(8.12) {x(t)y(t)} = X(f)*Y(f)
In fig. 3.11↓ è mostrato come l’ultima relazione individui un isomorfismo tra spazi di segnale; chiaramente la (8.11↑) rappresenta un isomorfismo analogo. Nel seguito, trattiamo delle conseguenze e dei risvolti legati alla coppia di proprietà duali ora introdotte, iniziando dalla prima.
Isomorfismo tra gli spazi di segnale nel tempo e nella frequenza
Figura 3.11 Isomorfismo tra gli spazi di segnale nel tempo e nella frequenza

3.6.1  Moltiplicazione in frequenza (filtraggio)

La proprietà (8.11↑) consente una diversa modalità di calcolo dell’uscita da un sistema fisico, che può essere infatti ricavata operando nel dominio della frequenza, calcolando prima
Y(f)  = ℱ{x(t)*h(t)} = X(f)H(f)
e quindi valutando y(t) = ℱ − 1{Y(f)}. La trasformata della risposta impulsiva H(f) = ℱ{h(t)} prende il nome di risposta in frequenza, per il motivo esposto di seguito, assieme ad un paio di esempi di applicazione di questa proprietà a casi già noti al lettore. Approfondimenti sulle operazioni di filtraggio possono essere trovati al cap. 6↓, da affrontare dopo lo studio di processi ergodici al § 5.3↓.
Risposta in frequenza  Ponendo in ingresso al sistema un segnale esponenziale complesso x(t)  = ej2πf0t, in cui è presente l’unica frequenza f0 (infatti X(f) = δ(f  − f0)), la proprietà del prodotto per un impulso permette di valutare una uscita Y(f)  = H(f)δ(f − f0)  = H(f0)δ(f − f0), ossia un impulso centrato in f0 e di area complessa H(f0), da cui
y(t)  = H(f0) ej2πf0t
Quindi, il segnale in ingresso si ripropone in uscita, alterato in modulo e fase in base al valore che H(f) assume alla frequenza f0: per questo motivo H(f) è detta risposta in frequenza del sistema.
Autovettori di H(f)  Ricordando come in algebra lineare, applicando una trasformazione lineare ad un proprio autovettore, si ottiene l’autovettore stesso, moltiplicato per il rispettivo autovalore, osserviamo che la stessa definizione è ora perfettamente applicabile alle funzioni esponenziali complesse ej2πf0t, che risultano essere gli autovettori (o autofunzioni) di un sistema con risposta in frequenza H(f), ed alle quali risulta associato l’autovalore H(f0).
Misura della risposta in frequenza Se un filtro è idealmente realizzabile (pag. 1↑) risulta H(f) = H*(  − f), e considerando per H(f) la sua espressione in termini di modulo e fase H(f) = M(f)ejφ(f), risulta M(f)|f  < 0 = M(f)|f  > 0 e φ(f)|f  < 0 =   − φ(f)|f  > 0 . Ciò consente di misurare modulo M(f) e fase φ(f) della risposta in frequenza per tutti i valori di f, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale con ampiezza A e fase θ note: x(t) = Acos(2πf0t + θ). Il segnale in uscita è ancora una cosinusoide[59] [59] Svolgiamo i calcoli nel dominio della frequenza:
X(f)  = (A)/(2)(ejθδ(f − f0)  + e − jθδ(f  + f0));
Y(f)  = X(f)H(f) =  (A)/(2)M(f0)(ejθejφ(f0)δ(f − f0)  + e − jθe − jφ(f0)δ(f + f0))
e antitrasformando si ottiene
y(t)  = AM(f0)cos(2πf0t  + θ + φ(f0))
con ampiezza AM(f0) e fase θ + φ(f0); pertanto ricaviamo
M(f0)  = (max{y(t)})/(max{x(t)}),   e φ(f0) = arg{y(t)} − arg{x(t)}
Ripetendo il procedimento per diverse f0, possiamo “campionare” H(f).
Sistema passa tutto  Poniamo di avere H(f) = 1, e che quindi risulti h(t) = δ(t). In questo caso le componenti di X(f) alle diverse frequenze non subiscono nessuna alterazione, ottenendo
y(t)  = ℱ − 1{Y(f)} = ℱ − 1{X(f)} = x(t)
ed il sistema viene detto di tipo passa tutto. Per verifica, scriviamo l’integrale di convoluzione, che risulta y(t) =  − ∞x(τ) δ(t − τ) dτ = x(t): ritroviamo quindi la proprietà di setacciamento.
Ritardo  Se invece H(f) = e − j2πfθ, pari cioè ad un esponenziale complesso, il sistema equivale ad un elemento di ritardo, riproducendo in uscita l’ingresso presentatosi θ istanti prima. Infatti risulta:
y(t)  = ℱ − 1{Y(f)} = ℱ − 1{X(f)e − j2πfθ} = x(t  − θ)
D’altra parte, scrivendo l’integrale di convoluzione, e ricordando che h(t)  = ℱ − 1{  e − j2πfθ}  = δ(t − θ), avremmo ottenuto y(t) =  −  ∞x(τ) δ(t  − θ − τ) dτ  = x(t − θ), ritrovando la proprietà della convoluzione per un impulso traslato. Un sistema siffatto è indicato come canale perfetto a pag. 1↓, in quanto privo di distorsioni lineari (vedi § 7.2↓).
Sistemi in cascata  Ponendo l’uscita di un primo sistema fisico y(t) = x(t)*h(t) in ingresso ad un secondo filtro con risposta impulsiva g(t), si ottiene un risultato z(t) = y(t)*g(t) la cui trasformata di Fourier si può calcolare come Z(f) = X(f)H(f)G(f), dato che (vedi pag. 1↑) la cascata dei due sistemi fisici è equivalente ad un terzo sistema con risposta impulsiva h(t) = h(t)*g(t), e questa convoluzione temporale è equivalente al prodotto tra le rispettive risposte in frequenza.

3.6.2  Moltiplicazione nel tempo (modulazione e finestratura)

La relazione (8.12↑)
Z(f)  = ℱ{x(t)y(t)} = X(f)*Y(f)
ci permette di investigare le conseguenze frequenziali del prodotto temporale di due segnali.
Esempio Prendiamo il caso in cui z(t) = ArectT(t)cos2πf0t, ovvero pari alla forma d’onda graficata a sinistra nella fig. 3.12↓. Applicando i risultati noti e la proprietà di traslazione in frequenza, risulta:
Z(f)  =  (A)/(2){rectT(t)(ej2πf0t  + e − j2πf0t)}  =  (AT)/(2)( sinc[(f − f0)T]  + sinc[(f + f0)T])
in cui {rectT(t)} = Tsinc(fT) si è traslato in ±f0.
Il risultato dell’esempio, mostrato a destra in fig. 3.12↓, coincide con quello previsto: l’espressione di Z(f) infatti è anche pari alla convoluzione tra {rectT(t)} ed i due impulsi traslati {cos2πf0t} = (1)/(2)(δ(f  − f0) − δ(f  + f0)), determinando quindi la replica dello spettro del rect, traslata alla frequenza del coseno.
Trasformata di un coseno finestrato Trasformata di un coseno finestrato
Figura 3.12 Trasformata di un coseno finestrato con T  = 2, f0  = 10
Modulazione
L’esempio ci permette di motivare il termine modulazione associato a questa proprietà. L’ampiezza del coseno risulta infatti modulata dal rettangolo. La modulazione di ampiezza (AM) dei radio ricevitori si riferisce esattamente a questo processo, svolto allo scopo di condividere tra più emittenti la banda prevista per le trasmissioni, assegnando a ciascuna di esse una diversa frequenza portante f0 su cui trasmettere. Ma questo è l’argomento del cap. 9↓.
Finestratura
Dalla figura 3.12↑ si può anche arguire come, per T crescente, Z(f) tenda sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risultato noto per un un coseno di durata infinita. Qualora si consideri invece solo un breve intervallo di un segnale, il suo spettro si modifica, a seguito della convoluzione in frequenza con la trasformata della finestra di analisi. L’operazione di estrazione di una porzione di segnale di durata limitata, a partire da un segnale comunque esteso, è indicata come una operazione di finestratura (windowing). In appendice 3.9.3↓ sono svolte considerazioni relative alla scelta di una finestra rettangolare o con altro andamento.
  Sezione 3.5: Risposta impulsiva e convoluzione Su  Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.7: Derivazione ed integrazione nel tempo 
x Logo

Trasmissione dei Segnali e Sistemi di Telecomunicazione

http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/

Un esperimento divenuto nel tempo un riferimento culturale. Scopri come effettuare il download, ricevere gli aggiornamenti, e contribuire!