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3.7  Derivazione ed integrazione nel tempo

Queste due proprietà sono di applicazione meno frequente, ma talvolta utile. Si ottiene infatti che le operazioni di derivata ed integrale di un segnale possono essere realizzate mediante il passaggio dello stesso attraverso un filtro, dato che derivata ed integrale nel tempo sono equivalenti a prodotti in frequenza, e quindi realizzabili come convoluzione del segnale con una appropriata risposta impulsiva.
Derivazione nel tempo
La trasformata di y(t) = (d)/(dt)x(t) risulta essere pari [60]  [60] La dimostrazione viene svolta per segnali di energia, applicando in modo piuttosto diretto la regola di integrazione per parti: (dx(t))/(dt) =  − ∞(dx(t))/(dt)e − j2πftdt  = x(t)e − j2πft| − ∞ + j2πf  − ∞x(t)e  − j2πftdt = j2πf X(f), dato che il termine x(t)e  − j2πft|  − ∞ si annulla, visto che se x(t) è un segnale di energia, tende a zero per t  → ∞. a Y(f) = j2πfX(f), ovvero
(8.13) Y(f)  = ℱ(d)/(dt)x(t) = j2πfX(f)
e più in generale si ha {(dn)/(dtn)x(t)} = (j2πf)nX(f). L’andamento del modulo dello spettro originario |X(f)| risulta pertanto esaltato alle frequenze più elevate, con legge
trasformata della derivata
proporzionale ad f, come risulta dal prodotto per 2π|f|. Osservando poi che il numero immaginario puro ±j2πf = 2πf ej(π)/(2)sgn(f) ha fase ±(π)/(2) con segno uguale a quello di f, troviamo che la fase di X(f) subisce un incremento di (π)/(2) per frequenze positive, ed un eguale decremento per quelle negative. Pertanto, la derivata di un segnale corrisponde all’uscita di un filtro descritto dalla risposta in frequenza riportata a lato.
Il doppietto
Viene da chiedersi quale sia la risposta impulsiva h(t) di un filtro derivatore. Dato che per definizione h(t) rappresenta l’uscita corrispondente ad un ingresso impulsivo δ(t), evidentemente deve risultare h(t)  = δ(t), ovvero pari alla derivata dell’impulso. ok, ma come è fatto δ(t), e perché viene detto doppietto ? Per rispondere occorre fare un passo indietro, e tornare a pensare l’impulso come una distribuzione, ad es. δ(t) = lim(τ → 0)(1)/(τ)rectτ(t), e considerare che (d)/(dt)rectτ(t) = δt  + (τ)/(2) − δt  − (τ)/(2) , ossia due impulsi di segno opposto, centrati in corrispondenza delle discontinuità[61] [61] 
figure f3.16c.png
Se infatti valutiamo t − ∞δθ  + (τ)/(2) − δθ  − (τ)/(2)dθ con t > (τ)/(2), otteniamo due gradini ut +  (τ)/(2) − ut  − (τ)/(2), che combinati assieme, riproducono il rectτ di partenza.
. Pertanto risulta δ(t) = lim(τ → 0)(1)/(τ)δt  + (τ)/(2) − δt  − (τ)/(2), ovvero due impulsi di area infinita e segno opposto, entrambi centrati in t = 0.
EsercizioCalcolare Y(f) = ℱ{y(t)}, considerando y(t) = (d)/(dt)x(t) e x(t) =  cos2πf1t + cos2πf2t. Valutare poi y(t) = ℱ − 1{Y(f)} nel caso in cui f1  = 10 e f2 = 100 Hz.
Svolgimento Anziché applicare le regole di derivazione e quindi effettuare la trasformata, scegliamo di calcolare prima X(f), e quindi applicare la (8.13↑):
X(f)  = (1)/(2)(δ(f  − f1)  + δ(f + f1)  + δ(f  − f2) + δ(f  + f2))
Dato ora che fδ(fa) = ±aδ(f  − a), il prodotto Y(f) = j2πfX(f) fornisce
Y(f)  = (j2π)/(2){f1[δ(f  − f1) − δ(f  + f1)]  + f2[δ(f − f2)  − δ(f + f2)]}
Considerando infine che (j2π)/(2) =  − (2π)/(2j), si ottiene y(t)  =  − 2πf1sinω1t  − 2πf2sinω2t e quindi, per f1 = 10 e f2 = 100, si ha
y(t)  =  − 2π[10sinω1t  + 100sinω2t]
Integrazione nel tempo
Indicando il segnale integrale (o primitiva) come y(t) = t  − ∞x(θ)dθ, il legame tra integrale e derivata permette di scrivere[62]  [62] Essendo x(t) = (d)/(dt)y(t), ed applicando la (8.13↑) otteniamo X(f) = j2πfY(f), da cui la (8.14↓).
(8.14) Y(f)  = ℱ{t  − ∞x(θ)dθ}  = (X(f))/(j2πf)
Come per la derivata, la (8.14↑) rappresenta l’uscita di un filtro integratore con risposta in frequenza H(f) =  − j(1)/(2πf), che quindi esalta le frequenze più basse del segnale originario in accordo all’andamento iperbolico di |H(f)| = 12π|f|, mentre la fase arg{H(f)} =  − j(π)/(2)sgn(f) subisce una alterazione opposta al caso della derivata, dato che ora j ha cambiato segno.
trasformata dell'integrale
Notiamo però che il risultato (8.14↑) manifesta la comparsa di una singolarità in f  = 0 se X(0) ≠ 0: come mostrato a pag. 1↑, ciò corrisponde ad un segnale x(t) che sottende una area non nulla, e quindi y(t) = t  − ∞x(θ)dθ non si azzera per t → ∞. In questo caso y(t) non è di energia, ed il calcolo della sua trasformata richiede qualche espediente[63] [63] In realtà si può giungere ad un risultato anche nel caso in cui X(0) ≠ 0, ricorrendo all’impulso δ(t). Occorre scrivere l’integrale di x(t) nella forma di una convoluzione con un gradino unitario u(t), cioè y(t) = t  − ∞x(θ)dθ =  − ∞x(θ)u(t  − θ)dθ (si pensi alla costruzione grafica del § 3.5.3↑). Al § 3.9.5↓ si ricava che U(f) =  (1)/(j2πf)  + (1)/(2)δ(f), ed applicando la proprietà della trasformata della convoluzione si ottiene Y(f) =  X(f)U(f) =  (X(f))/(j2πf) + (δ(f))/(2)X(0), in cui l’ultimo termine scompare per segnali ad area nulla, riottenendo la 8.14↑., che aggiunge ad H(f)  =  − j(1)/(2πf) il termine (1)/(2)δ(f), anch’esso mostrato in figura.
EsercizioTrasformata di un triangolo.
Consideriamo un segnale ad area nulla x(t)  = rectTt  + (T)/(2)  − rectTt  − (T)/(2) ed il suo integrale y(t)  = t  − ∞x(θ)dθ = T tri2T(t)
entrambi rappresentati in figura:
Trasformata di un triangolo
y(t) è nullo fino a t  <  − T, cresce linearmente fino a t  = 0, e quindi il contributo
all’integrale dato dall’area del rect negativo torna ad annullarne il valore. Per calcolare la -trasformata di y(t), calcoliamo prima quella di x(t), e poi applichiamo la proprietà dell’integrazione. Applicando la proprietà di traslazione nel tempo, scriviamo
X(f)  =  Tsinc(fT)e  + j2πf(T)/(2) − Tsinc(fT)e  − j2πf(T)/(2) =   =  T(sin(πfT))/(πfT)⋅2jsinπfT  = j2T(sin2(πfT))/(πfT)
Essendo x(t) ad area nulla, la trasformata del suo integrale si ottiene dividendo X(f) per j2πf, ovvero
Y(f)  = (j2T)/(j2πf)(sin2(πfT))/(πfT)(T)/(T) = T(sin(πfT))/(πfT)2  = (Tsinc(fT))2
il cui andamento è mostrato in figura 3.16↓
. Da questo risultato ne consegue infine che {tri2T(t)} = Tsinc2(fT), come riportato al § 3.9.7↓.
figure f3.19.png figure f3.20.png

Figura 3.16 Andamento di (Tsinc(fT))2 in scala lineare e logaritmica; T  = 10.
Densità di energia di rectT(t)
Lo stesso risultato mostrato nell’esempio può essere ottenuto per altra via, notando che il triangolo è il risultato della convoluzione di due rettangoli:
(8.15) y(t) = Ttri2T(t) = rectT(t)*rectT(t)
Come verifica, si ripercorra la costruzione grafica riportata alla sezione 3.5.3↑. E’ quindi ora sufficiente applicare la proprietà del prodotto in frequenza, per ottenere:
(8.16) Y(f) = ℱ{Ttri2T(t)} = [{rectT(t)}]2 =  [Tsinc(fT)]2
Il risultato fornito da (8.16↑), è anche pari alla densità di energia z(f) di un segnale rettangolare z(t) = rectT(t): infatti per il teorema di Parseval si ha z(f) = Z(f)Z*(f), in cui Z(f) = ℱ{rectT(t)} = Tsinc(fT), e pertanto
z(f)  = [Tsinc(fT)]2
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