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3.8  Trasformata di segnali periodici

Presentiamo ora un diverso modo di ottenere lo spettro di un segnale periodico, che in sostanza fornisce gli stessi risultati previsti dalla serie di Fourier, seguendo però un metodo diverso, che si basa sulla definizione di una particolare forma d’onda (ideale), nota come

3.8.1  Treno di impulsi

E’ costituito da una serie infinita di impulsi matematici distanziati di un periodo T, si esprime analiticamente come
πT(t) = m  =  − ∞δ(t  − mT)
e si rivelerà di utilizzo frequente nei contesti del campionamento e delle trasmissioni numeriche.

3.8.2  Segnale periodico

Consideriamo un segnale periodico di periodo T espresso come
(8.17) x(t)  = m =  − ∞g(t − mT)
di cui g(t) costituisce un periodo: la concatenazione di infinite repliche di g(t), spaziate di un periodo T l’una dall’altra, riproduce il segnale periodico originario. Sfruttando la proprietà di convoluzione con l’impulso traslato, la stessa somma può essere scritta come
x(t)  = m  =  − ∞g(t)*δ(t  − mT)  = g(t)*m  =  − ∞δ(t  − mT)  = g(t)*πT(t)
dove nel secondo passaggio si è sfruttata la linearità della convoluzione. Ricordando ora la proprietà della moltiplicazione in frequenza, troviamo X(f) = G(f)⋅ℱ{πT(t)}; ci accingiamo allora a determinare {πT(t)}, ossia la ...

3.8.3  Trasformata del treno di impulsi

L’approccio che conviene seguire è quello di pensare a πT(t) come ad un segnale periodico, e svilupparlo in serie di Fourier. I coefficienti si calcolano allora come:
Πn  =  (1)/(T) (T)/(2)  − (T)/(2)[m  =  − ∞δ(t  − mT)] e − j2πnFtdt  =  (1)/(T) (T)/(2)  − (T)/(2)δ(t) e − j2πnFtdt  = (1)/(T) (T)/(2)  − (T)/(2)1⋅δ(t) dt = (1)/(T)
in quanto, tra tutti gli impulsi della sommatoria, ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che gli altri sono tutti esterni ai limiti di integrazione, mentre la seconda eguaglianza tiene conto della (8.6↑); pertanto, tutti i coefficienti risultano avere lo stesso valore, pari ad (1)/(T), e possiamo dunque scrivere
(8.18) {πT(t)} = ℱ{n =  − ∞Πnej2πnFt} = (1)/(T)n =  − ∞δf  − (n)/(T) = (1)/(T)π(1)/(T)(f)
trasformata di un treno di impulsi
ottenendo il risultato cercato: {πT(t)} = (1)/(T)π(1)/(T)(f). Quindi, la trasformata di un treno di impulsi è a sua volta un treno di impulsi, di periodo inverso a quello originario.

3.8.4  Trasformata di segnale periodico

Siamo finalmente in grado di esprimere la trasformata di un segnale periodico come il prodotto tra quella di un suo periodo, ed un treno di impulsi in frequenza:
(8.19) X(f)  = G(f)(1)/(T)π(1)/(T)(f)
EsempioRiprendendo in considerazione il caso dell’onda quadra affrontato al § 2.2.1.4↑, non è difficile riconoscere come, ponendo g(t) = Arectτ(t), e corrispondentemente G(f) = Aτsinc(fτ), il prodotto di G(f) per il treno di impulsi (1)/(T)n  =  − ∞δ(f  − nF) (con F  = (1)/(T)) fornisce il risultato già incontrato:
X(f)  = A(τ)/(T)n  =  − ∞sinc(nFτ)δ(f  − nF)
Somma di Poisson
Il risultato ottenuto ci può aiutare a mettere in luce una uguaglianza indicata con il nome di somma di Poisson[64]  [64] Per un approfondimento si veda ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_sommazione_di_Poisson., definita come la possibilità di esprimere un somma infinita realizzata sulla base di una funzione nel tempo, nei termini di una somma infinita realizzata sulla base di una funzione della frequenza, che è la trasformata di quella nel tempo. Nel caso in esame, riscriviamo la (8.19↑) come X(f) = n(1)/(T)G(n)/(T)δf  − (n)/(T); antitrasformando entrambi i membri si ottiene
x(t)  = m  =  − ∞g(t  − mT)  = n =  − ∞(1)/(T)G(n)/(T)ej2π(n)/(T)t
che riconosciamo corrispondere all’espansione in serie di Fourier del segnale periodico x(t), non appena constatato come i termini (1)/(T)G(n)/(T) altro non siano che i suoi coefficienti Fourier, come d’altra parte risulta anche dalla (8.2↑).
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