Sezione 3.8: Trasformata di segnali periodici Su  Capitolo 3: Trasformata di Fourier Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica 

3.9  Appendici

3.9.1  Quanti sono i possibili modi di calcolare una trasformata?

Sia dato il segnale
x(t)  =  1 − (t)/(T) con 0 ≤ t ≤ T 0   altrimenti
mostrato in figura.
figure f3.21.png
Descrivere quanti più modi possibili di calcolarne lo spettro di densità di energia x(f).
  1. Si calcola X(f) = ℱ{x(t)} =   − ∞x(t)e − j2πftdt e quindi x(f) = |X(f)|2;
  2. Notando che x(t) = y(t)z(t) con y(t) = tri2T(t) e z(t) = rectTt  − (T)/(2), possiamo scrivere X(f) = Y(f)*Z(f), e quindi si procede come in 1);
  3. Notiamo che la derivata[65] [65] La derivata di una discontinuità di prima specie è pari ad un impulso matematico, di area uguale all’altezza della discontinuità. Infatti l’integrale dell’impulso t − ∞δ(θ)dθ è proprio un gradino. Questa considerazione consente di risolvere in modo semplice le trasformate di segnali in cui è presente una discontinuità. di x(t) vale g(t) = (d)/(dt)x(t) = δ(t) − (1)/(T)rectTt  − (T)/(2); questo ci permette di calcolare G(f) come G(f) = ℱ{g(t)} = 1 −  sinc(fT)e  − jπfT. Otteniamo quindi X(f) = (G(f))/(j2πf), e quindi come in 1);
  4. Anticipando un risultato del § 6.2.1↓, è possibile calcolare x(τ) =  − ∞x(t)x(t + τ)dt, e quindi x(f) = ℱ{x(τ)}.

3.9.2  Sulla trasformata di una costante

Svolgiamo alcune considerazioni relative al risultato mostrato a pag. 1↑, illustrando come l’impulso δ(.) permetta di rappresentare particolari situazioni.
Consideriamo pertanto il segnale costante x(t) = A, che trattiamo come un segnale periodico con periodo T tendente ad [66]  [66] In effetti, un segnale costante è un segnale periodico, con periodo T qualsiasi. , ed esprimiamo x(t) nei termini dei coefficienti di Fourier. L’integrale Xn  = (1)/(T) T2  − T2A e − j2πnFtdt per T → ∞ è uguale a zero per tutti gli n tranne che per n = 0([67] [67] Infatti, anche se con T finito l’integrale non si estende ad un numero intero di periodi della fondamentale (e quindi delle armoniche), per T  → ∞ il contributo alla somma integrale dei periodi non interi tende a zero.), ovvero X0  = A e Xn  = 0 con n ≠ 0. In alternativa, pensiamo la costante come il limite a cui tende un’onda quadra con duty-cycle (τ)/(T) al tendere di τ a T: lo spettro di ampiezza è stato calcolato al capitolo 2, pag. 1↑, presenta righe alle armoniche f = (n)/(T), mentre gli Xn con andamento sinc(nFτ) si azzerano alle frequenze f = (n)/(τ). Se τ  → T, gli zeri annullano tutte le armoniche tranne X0, il cui valore A(τ)/(T) tende ora ad A.
Qualora invece si desideri calcolare la trasformata di Fourier anziché la serie della costante, applicando la definizione X(f)  =  −  ∞Ae − j2πftdt si ottiene X(f) = 0 ovunque, tranne che per f  = 0 dove X(0) = ∞. Affrontiamo allora il problema nel contesto delle funzioni generalizzate o distribuzioni, ricorrendo all’operazione al limite che rappresenta il segnale x(t) = A come l’allargamento progressivo di un rectτ(t), cioè pari a x(t) = limτ  → ∞Arectτ(t).
trasformata di una costante
La figura a lato mostra come, considerando valori τi via via più grandi, si ottenga una trasformata Xτi(f) = Aτisinc(fτi) sempre più alta e stretta.
Notiamo ora che l’energia di xτ(t) = Arectτ(t) vale xτ =  − ∞|xτ(t)|2dt  = A2τ; per il teorema di Parseval, l’energia coincide nei dominii di tempo e frequenza, e quindi risulta
xτ =   − ∞|Xτ(f)|2df = A2τ
Al tendere di τ ad , l’energia diviene infinita, mentre la potenza vale
Px  = limτ  → ∞(xτ)/(τ) = limτ → ∞ − ∞(|Xτ(f)|2)/(τ)df = A2
L’espressione limτ  → ∞(|Xτ(f)|2)/(τ) rappresenta dunque[68] [68] vedi anche § 6.3.1↓ a pag. 1↓ lo spettro di densità di potenza Px(f) della costante A, che finalmente scriviamo come Px(f) = A2δ(f), in cui δ(f) è la funzione impulso matematico[69] [69] In realtà δ(.) è un ente matematico più generale delle comuni funzioni, vedi ad es. http://www.sergiobenenti.it/ln/inf-7.pdf introdotta in 3.4↑. In tal modo infatti, è facile verificare che risulta Px =  − ∞A2δ(f)df  = A2, e Px(f) =  conf  = 0 0  altrove . In altre parole, il formalismo dell’impulso matematico rende possibile trattare questo caso, dove la potenza (finita) è tutta concentrata ad una unica frequenza (f = 0) dando luogo ad una densità infinita.

3.9.3  Finestratura e stima spettrale

Applichiamo ora la teoria svolta al § 3.6.2↑ per ragionare su come interpretare l’analisi spettrale (§ 6.3↓) di x(t) svolta a partire da un suo segmento temporale y(t) = x(t)w(t) ottenuto delimitandolo nel tempo mediante moltiplicazione per una funzione finestra di durata limitata w(t): la trasformata di y(t) = x(t)w(t) fornisce infatti il valore Y(f) = X(f)*W(f), e quindi il vero spettro X(f) di x(t) non può essere conosciuto, se non tramite l’effetto della convoluzione con quello W(f) della funzione finestra w(t). Già a pagina 1↑ si è fatto notare come, se x(t) = Acos2πf0t e w(t) = rectT(t), si ottiene che W(f) = Tsinc(fT), e pertanto
{x(t)w(t)} = (AT)/(2)( sinc[(f  − f0)T]  + sinc[(f + f0)T])
che è tanto più diverso dai due impulsi del coseno (vedi Fig. 3.12↑), quanto più è piccolo T.
Finestratura e stima spettrale
Valutiamo ora gli effetti derivanti dall’uso di una funzione finestra diversa da quella rettangolare. Se ad esempio si sceglie di adottare una finestra triangolare di eguale durata T, il risultato mostrato a pag. 1↑ dalle (8.15↑) e (8.16↑) permette di ottenere
W(f)  = ℱ{w(t) = triT(t)} = (T)/(2)  sinc(fT)/(2)2
Come può essere verificato dalla figura a fianco, la finestra triangolare esibisce un andamento nel tempo più dolce rispetto al rect(t), e ciò si riflette in una maggiore concentrazione della sua trasformata alle frequenze più basse. Infatti, W(f) ha ora un lobo principale di estensione doppia (il primo zero si trova ad f = (2)/(T) anziché ad (1)/(T) come per il rect), e le code laterali decrescono più rapidamente, andando a zero come (1)/(f2), mentre l’ampiezza risulta dimezzata.
Finestratura e stima spettrale Finestratura e stima spettrale
Finestratura e stima spettrale Finestratura e stima spettrale
Finestratura e stima spettrale Finestratura e stima spettrale
Figura 3.21 Trasformata di due toni a 10 e 15 Hz, con finestra temporale rectT e triT di durata 2, .5 e .25 secondi
L’andamento del lobo principale e delle code di W(f) si riflette nell’andamento della trasformata qualora il segnale originario contenga, ad esempio, più di una frequenza: per la linearità della trasformata, il risultato sarà la replica di W(f) centrata alle frequenze presenti. La Fig. 3.21↑ confronta il risultato ottenibile per un segnale contenente due cosinusoidi di frequenza f0  = 10 e f1 = 15 Hz, quando delimitato (a sinistra) mediante una finestra rettangolare di durata (dall’alto in basso) T = 2, 0.5, e 0.25 secondi[70] [70] Queste durate corrispondono quindi ad utilizzare 20 cicli di cosinusoide, oppure 5, oppure due e mezzo., oppure (a destra) mediante una finestra triangolare della stessa durata. E’ possibile distinguere due effetti.
Risoluzione spettrale
Osserviamo che al diminuire del prodotto (f1  − f0)T, le due trasformate W(f) interagiscono, fino ad esibire un andamento complessivo in cui non è più possibile distinguere la presenza di due diversi toni. Il fenomeno illustrato avviene tanto prima, quanto più il lobo principale di W(f) è esteso; pertanto, l’uso di una finestra triangolare peggiora la situazione: in effetti, la finestra rettangolare è quella che permette la migliore capacità di distinguere due toni.
Infiltrazione spettrale
Detto leakage in in inglese, indica l’influenza che una determinata componente spettrale ha nei confronti delle altre porzioni dello spettro: ad esempio, la prima riga di fig. 3.21↑ mostra come adottando w(t) = triT(t) si ottiene un Y(f) più simile a quello di due toni, piuttosto che con un rectT(t). Ciò è dovuto alle lunghe code di W(f)  = sinc(fT) (trasformata del rectT(t)) che appunto infiltrano il contenuto energetico di ciascun tono a frequenze anche distanti, mentre nel caso di w(t) = triT(t) ciò avviene in forma assai ridotta, evitando di mostrare artefatti.
Considerazioni di questo tipo far preferire una tra le diverse possibili proposte[71] [71] Nel tempo sono state definite un elevato numero di finestre temporali, ognuna migliore sotto certi aspetti, e peggiore sotto altri. Consultando Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function, possiamo elencare le finestre di Hamming, Hann, Cosine, Lanczos, Bartlett, Gauss, Blackman, Kaiser, Nuttall, Bessel, Dolph-Chebyshev, Exponential, Tukey.... di funzione finestra, in dipendenza dal particolare obiettivo della stima spettrale (§ 6.3↓).

3.9.4  Gli esponenziali complessi come base ortogonale

Al § 3.1↑ sono esposte similitudini tra la serie e la trasformata di Fourier; chiediamoci ora se le funzioni ej2πft possano anche in questo caso essere considerate come una base ortonormale, e se la (8.1↑) sia una proiezione di x(t) lungo tali vettori.
Un primo ostacolo è rappresentato dal fatto che ora la cardinalità dello spazio di rappresentazione risulta veramente infinita, e non più infinita numerabile come per la serie. Ma l’ostacolo maggiore sembra essere che le funzioni ej2πft non sono segnali impulsivi, e neanche di energia: infatti ej2πfte  − j2πft = 1, e dunque la definizione di prodotto scalare (8.3↑) e di norma fornisce  − ∞ej2πfte  − j2πftdt = ∞. Ma se valutiamo il prodotto scalare tra una coppia di esponenziali, uno a frequenza f e l’altro a frequenza λ, possiamo scrivere
  − ∞ej2πfte  − j2πλtdt =  − ∞cos(2π(f − λ)t)dt + j − ∞sin(2π(f − λ)t)dt =  0  sef ≠ λ       ∞  sef = λ
e quindi affermare che godono comunque, in qualche modo, della proprietà di ortogonalità.

3.9.5  Trasformata di un gradino

Definiamo la funzione gradino[72] [72] Nota anche come funzione di Heaviside, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gradino_di_Heaviside come u(t) =  1  per t > 0 (1)/(2)  per t = 0 0  per t < 0 che, fornendo  −  ∞|u(t)|dt = ∞, non dovrebbe avere una trasformata U(f). Proviamo allora a gestire il gradino nelle vesti di una distribuzione, ed in modo simile a quanto fatto al § 3.9.2↑ per la costante, lo rappresentiamo come il limite a cui tende una successione u(t) = limα  → 0uα(t), dei cui membri valutare la trasformata Uα(f) = ℱ{uα(t)}, e adottare U(f) = limα  → 0Uα(f) come trasformata di u(t). Scegliamo quindi uα(t) = e  − αt per t  > 0 che effettivamente converge a u(t) per α → 0, e troviamo
(8.20) Uα(f) = 0e  − αte − j2πft  = (e − (α  + j2πf)t)/( − (α  + j2πf))||0 = (1)/(α + j2πf) = (α − j2πf)/(α2  + (2πf)2)
Mentre per la parte immaginaria risulta che
UIm(f) = limα → 0{Uα(f)} = limα  → 0( − 2πf)/(α2 + (2πf)2)  =  − (1)/(2πf)
e va bene così, il limite della parte reale della (8.20↑) URe(f) = limα  → 0(α)/(α2 + (2πf)2) assume la forma indeterminata (0)/(0) se anche f → 0. Per tentare di capire cosa manca, proviamo ad antitrasformare jUIm(f), ottenendo
 − 1  − (j)/(2πf)  =   − ∞(ej2πft)/(j2πf)df =  − ∞(cos2πft)/(j2πf)df + j − ∞(sin2πft)/(j2πf)df =   =   − ∞(sin2πft)/(2πf)df = t − ∞sinc(2ft)df  = (t)/(2|t|) = (1)/(2) sgn(t)
dato che (cos2πft)/(j2πf) è una funzione dispari e dunque dà integrale nullo[73]  [73] Ciò è vero purché si consideri il metodo di calcolo dell’integrale noto come valore principale di Cauchy , in quanto (cos2πft)/(j2πf) tende a (1)/(0) per f  → 0, con valori opposti per 0  +  e 0  − , vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_principale_di_Cauchy. , mentre la penultima uguaglianza sfutta il risultato (8.4↑). Ci siamo quasi! Infatti, il gradino può essere riscritto come
traformata di un gradino
u(t) = (1)/(2)  + (1)/(2) sgn(t) (vedi la figura a lato), e in questo modo ci accorgiamo che mentre jUIm(f) =  − (j)/(2πf) è la trasformata di (1)/(2) sgn(t), URe(f) deve necessariamente convergere alla trasformata di (1)/(2), ovvero ad un impulso di area (1)/(2), permettendo finalmente di scrivere
U(f)  = ℱ{u(t)} = (1)/(2)δ(f) − (j)/(πf)
Sembrano conti troppo contorti? In realtà l’abbiamo fatta semplice...[74] [74] Vedi ad es. http://bueler.github.io/M611F05/M611heaviside.pdf.

3.9.6  Proprietà della trasformata di Fourier

Uno schema riassuntivo delle relazioni illustrate nel capitolo
Proprietà z(t) Z(f)  = ℱ{z(t)}
Linearità ax(t)  + by(t) aX(f)  + bY(f)
Coniugato x*(t) X*(  − f)
Cambiamento di scala x(at) (1)/(a)X(f)/(a)
Ritardo x(t  − T) X(f)e  − j2πfT
Traslazione in frequenza x(t)ej2πf0t X(f  − f0)
Modulazione di ampiezza x(t)cos2πft (1)/(2)X(f  − f0) + (1)/(2)X(f  + f0)
Prodotto in frequenza   − ∞x(τ) y(t  − τ) dτ X(f)Y(f)
Prodotto nel tempo x(t)y(t)   − ∞X(σ) Y(f  − σ) dσ
Dualità X(t) x(  − f)
Simmetria coniugata x(t) reale X(f)  = X*(  − f)
Derivazione (d)/(dt)x(t) j2πfX(f)
Integrazione t  − ∞x(θ)dθ (X(f))/(j2πf) + (1)/(2)δ(f)X(0)

3.9.7 Trasformate di segnali

Un sommario dei risultati del capitolo
x(t) X(f) P ⁄ E P(f)  ⁄ ℰ(f) Pot/En
cos(2πf0t  + φ) (1)/(2) ejφδ(f − f0) +  (1)/(2) (1)/(4)δ(f  − f0) +  P

(1)/(2) e  − jφδ(f  + f0)
(1)/(4)δ(f  − f0)
A Aδ(f) A2 A2δ(f) P
Arectτ(t) Aτsinc(fτ) A2τ A2τ2 sinc2(fτ) E
Atri2τ(t) Aτsinc2(fτ) A2(2)/(3)τ A2τ2 sinc4(fτ) E
e − βt,   t  ≥ 0 (1)/(β  + j2πf)
(1)/(β2  + 4(πf)2) E
e − β|t| (2β)/(β2  + 4(πf)2)
(4β2)/(β4  + 8(πβf)2 + 16(πf)4) E
e − α(βt)2 (1)/(β)e  − α(f)/(β)2
(1)/(β2) e  − 2α(f)/(β)2 E
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