Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Su  Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Sezione 4.2: Quantizzazione e codifica binaria 

4.1  Teorema del campionamento

Esprime la possibilità di ricostruire un segnale limitato in banda a partire dai suoi campioni:
Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W è completamente descritto dai suoi valori osservati ad intervalli temporali regolari tn  = nTc, con n intero e periodo di campionamento Tc  ≤ (1)/(2W); da questi è quindi possibile risalire ai suoi valori per qualunque altro istante.
La frequenza fcmin  = (1)/(TcMax) = 2W, chiamata frequenza di Nyquist[77] [77] In realtà questo teorema è stato derivato indipendentemente, in tempi diversi, anche da altri scienziati, come Whittaker, Kotelnikov e Shannon., corrisponde alla minima frequenza con cui occorre campionare un segnale x(t) limitato in banda, ed è pari al doppio della massima frequenza presente. Se questa condizione è rispettata, il segnale originario può essere ricostruito ricorrendo ad una formula di interpolazione[78] [78] Con interpolazione si intende la stima dei valori del segnale, per gli istanti compresi tra due campioni noti. (detta cardinale[79] [79] In realtà la formula (8.21↓) non è l’unica possibile, come vedremo al § 4.1.2↓) che esprimiamo come:
(8.21) x(t) = n  =  − ∞x(nTc)sinc(fc(t − nTc))
in cui la funzione sinc(fct) = (sinπfct)/(πfct), detta per questo motivo seno cardinale ed introdotta a pag. 1↑, svolge appunto il ruolo di funzione interpolatrice, ed è mostrata in Fig. 4.1↑, assieme ad una sua replica traslata.
figure f4.1.png
Figura 4.1 La funzione sinc(fct) centrata in t  = 0 e traslata in t =  3Tc
Per dimostrare la validità di (8.21↑) ed approfondirne il significato, adottiamo lo schema simbolico mostrato nella parte sinistra di fig. 4.2↓, che (come mostreremo) realizza le operazioni della formula di ricostruzione[80]  [80] Con riferimento alla fig. 4.2↓, notiamo come il risultato mostrato replichi in frequenza quello già noto per la serie di Fourier: un segnale periodico (in frequenza) esibisce una (anti)trasformata di Fourier costituita da impulsi (nel tempo) distanziati dall’inverso del periodo Tc  = 12W.. Innanzitutto, viene generato un segnale x(t) costituito da impulsi (vedi § 3.8.1↑) con area pari ai campioni di segnale, ossia x(t) = n =  − ∞x(nTc)δ(t − nTc), mediante moltiplicazione di x(t) (limitato in banda tra  − W e W) per un treno di impulsi con periodo Tc ≤ (1)/(2W), in modo da operare esattamente sulle quantità descritte nell’enunciato del teorema del campionamento.
Ricordando ora il risultato ottenuto al § 3.8.3↑ per la trasformata di un treno di impulsi, possiamo ottenere lo spettro di ampiezza di X(f) = ℱ{x(t)}, mostrato in basso a destra di fig. 4.2↓, come
(8.22) X(f)  =  {x(t)πTc(t)} = X(f)*(1)/(Tc)Π(1)/(Tc)(f) = X(f)*(1)/(Tc)n =  − ∞δf  − (n)/(Tc)  =   =  fcn  =  − ∞X(f)*δ(f  − nfc) =  fcn  =  − ∞X(f  − nfc)
dove il penultimo passaggio scambia l’integrale (di convoluzione) di una somma con una somma di integrali, e l’ultimo passaggio tiene conto della proprietà di convoluzione con un impulso: X(f) è quindi costituito da infinite repliche di X(f), centrate a multipli della frequenza di campionamento fc  = (1)/(Tc). Ma il filtro passa-basso ideale H(f) (chiamato anche con il nome di filtro di restituzione) limita la banda di X(f) al solo intervallo di frequenze ( − (fc)/(2),  (fc)/(2)), e dunque lascia passare solo una delle repliche spettrali, ovvero produce un segnale y(t) con spettro di ampiezza Y(f) = H(f)X(f) = TcfcX(f) = X(f), che quindi è perfettamente equivalente ad x(t) originario, ma ricostruito sulla base dei suoi soli campioni x(nTc).

teorema del campionamento       teorema del campionamento

Figure 4.2 Circuito di campionamento e restituzione; segnali coinvolti e relativi spettri
L’ultimo passo di questa dimostrazione evidenzia come lo schema di fig. 4.2↑ in effetti esegua proprio l’operazione definita dalla formula di ricostruzione (8.21↑). Infatti, y(t) è il risultato della convoluzione tra x(t) e h(t) = ℱ  − 1{H(f)} = ℱ − 1{Tcrectfc(f)} = sinc(fct), e dunque ogni impulso di cui è composto x(t), quando posto in ingresso al filtro di restituzione, ne trasla la risposta impulsiva h(t) = sinc(fct) all’istante nTc in cui è centrato l’impulso. In formule, appunto:
y(t)  =  [x(t)nδ(t − nTc)]*h(t) = nx(nTc)δ(t − nTc)*sinc(fct) =   =  nx(nTc)sinc(fc(t − nTc))
teorema del compionamento
L’effetto del risultato ottenuto è rappresentato nella figura a fianco, che esemplifica come il teorema del campionamento definisca essenzialmente una formula di interpolazione: i valori del segnale ricostruito hanno l’esatto valore dei campioni di segnale negli istanti di campionamento, mentre negli istanti intermedi il valore si forma come somma di tutte le “code” dei sinc adiacenti.

4.1.1  Aliasing

Questo termine ha origine dalla parola inglese[81]  [81] In realtà alias è di origine latina !!! alias (copia, clone) e sta ad indicare il fenomeno che si produce nell’applicare il teorema del campionamento quando i requisiti non sono soddisfatti, e cioè quando la frequenza di campionamento è inferiore alla frequenza di Nyquist, ossia fc  = (1)/(Tc) < 2W (ovvero Tc > (1)/(2W)).
aliasing
In questo caso la (8.22↑) indica come le repliche spettrali che compongono X(f) siano più ravvicinate, e si sovrappongano, come rappresentato dalla figura a lato: l’aliasing è infatti indicato anche come fold-over, o ripiegamento. Quando questo avviene, il filtro passa-basso di restituzione non è più in grado di estrarre la replica centrata in f = 0, e dunque alla sua uscita è presente un segnale y(t) che si differenzia da x(t) in particolar modo per i contenuti energetici nella regione delle frequenze più elevate[82] [82] In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c’è aliasing quando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze..
Il fenomeno dell’aliasing può insorgere, oltre che nel caso in cui si commetta il banale errore di adottare fc < 2W, anche a causa di una imperfetta limitazione in banda del segnale dacampionare,
Aliasing
che infatti viene sempre preventivamente filtrato, in modo di assicurarsi che non contenga componenti a frequenze maggiori della metà di quella di campionamento.

4.1.2  Generalizzazione del filtro di restituzione

Altri problemi possono essere causati dal filtro di restituzione H(f), che difficilmente si riesce a realizzare ideale, e che invece presenta una regione di transizione tra banda passante e banda soppressa, di estensione non nulla.
campionamento e restituzione
In questo caso occorre sovracampionare ad una frequenza fc = 2W’  > 2W, in modo che le repliche spettrali siano più distanziate tra loro, e quindi il filtro di ricostruzione possa ancora isolare l’unica replica di X(f) in banda base, come si osserva in figura. Notiamo però che ciò avviene anche se ora la risposta impulsiva del filtro di restituzione non presenta più l’andamento di un sinc(fct)! In questo caso dunque la formula di interpolazione non ha più l’espressione cardinale fornita nella 8.21↑: ciò significa che l’operazione di campionamento e restituzione può essere realizzata in forme anche molto diverse tra loro.

4.1.3  Ortogonalità delle funzioni sinc

Si può dimostrare[83]  [83] Applicando il teorema di Parseval (§ 3.2↑) e la proprietà di traslazione temporale, la (8.23↓) può essere riscritta come
  − ∞Tcrectfc(f)e  − j2πfkTcTcrectfc(f)e  + j2πfhTcdf  = (Tc)2fc2 − fc2e  − j2πf(k − h)/(2W)df
in cui l’esponenziale complesso sotto integrale compie un numero intero di oscillazioni a media nulla per f ϵ [ − 12Tc,  12Tc] se k  ≠ h, e dunque in tal caso l’integrale è nullo; al contrario, l’esponenziale vale 1 se k  = h, ed il suo integrale vale fc, determinando così il risultato mostrato.
che le funzioni sinc costituiscono una base di rappresentazione ortogonale, in quanto
(8.23)  − ∞sinc(fc(t  − kTc))sinc(fc(t  − hTc))dt  =  0   se h  ≠ k Tc se h = k
Pertanto, il valore dell’energia di un segnale limitato in banda è calcolabile a partire dai suoi campioni, e vale:
x  =   − ∞x(t)x*(t)dt  = khxkx*h − ∞sinc(fc(t − kTc))sinc(fc(t − hTc))dt  =  khxkx*hTcδ(h, k)  = Tck|xk|2

4.1.4  Approssimazione degli impulsi

Mentre lo schema di fig. 4.2↑ illustra gli aspetti teorico-matematici del teorema del campionamento, iniziamo ora ad esaminare come questo sia realmente implementato. Prima di discutere gli aspetti legati alla quantizzazione (vedi
Sample and Hold
§ successivo), osserviamo che il segnale x(t) non viene generato affatto, a causa dell’impossibilità di realizzare gli impulsi δ(t); al suo posto viene prodotto un segnale x(t) mediante l’uso di un circuito Sample and Hold (s&h, ovverocampiona e mantieni) il cui schema di principio è mostrato a lato[84] [84] Non entriamo nei dettagli del funzionamento del buffer (vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Amplificatore_separatore) qui esemplificato dall’amplificatore operazionale a controreazione unitaria: è sufficiente dire che agisce come un adattore di impedenza, consentendo al condensatore di caricarsi in modo prossoché istantaneo, e di non scaricarsi prima che s2 sia chiuso, in quanto il secondo amplificatore presenta una impedenza di ingresso pressoché infinita.: quando s1 si chiude, il valore di tensione di ingresso viene trasferito ai capi del condensatore, dopodiché s1 si apre e lo stesso valore viene mantenuto costante per un tempo τ  ≤ Tc e reso disponibile in uscita; trascorso il tempo τ si chiude s2, il condensatore si scarica, e l’uscita si annulla.
campionamento
Il funzionamento del s&h può essere modellato come rappresentato nella figura a fianco, ed il corrispondente segnale di uscita descritto nella forma
x(t)  = nx(nTc)rectτ(t  − nTc)
in cui cioè al posto degli impulsi matematici viene adottato un treno di impulsi rettangolari modulati in ampiezza (vedi fig. a lato). Il filtro passa basso di restituzione H(f) viene ora alimentato da x(t) anziché da x(t), e per determinare quale sia in questo caso la sua uscita, riscriviamo x(t) nella forma
x(t)  =  nx(nTc)rectτ(t)*δ(t  − nTc) =   =  rectτ(t)*nx(nTc)δ(t − nTc) = rectτ(t)*x(t)
e dunque il suo spettro risulta pari a
(8.24) X(f) = τ sinc(fτ)X(f)
restituzione dal campionamento
Osserviamo quindi che usare rettangoli di base τ  < Tc al posto degli impulsi, equivale a moltiplicare X(f) per un inviluppo di tipo (sinx)/(x) che, seppure con τTc non causa grossi inconvenienti (gli zeri posti ad (1)/(τ) si allontanano dall’origine, e (sinx)/(x) nei pressi di x = 0 è praticamente costante), per τ prossimo a Tc produce una alterazione dell’ampiezza della replica in banda base.
correzione del campionamento
In tal caso (τ è noto) il filtro di ricostruzione può essere realizzato in modo da avere un andamento inverso a quello del (sinx)/(x), e tale che H(f)τsinc(fτ)  =  costante. Infatti, questo accorgimento prende il nome di (sinx)/(x) correction. Al § 19.9.5↓ è illustrato un metodo di multiplazione di più segnali campionati in una unica trasmissione.
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