Sezione 4.2: Quantizzazione e codifica binaria Su  Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Sezione 4.4: Trasformata discreta di Fourier 

4.3  Trasformata di Fourier di sequenze

Avendo illustrato come sia sufficiente la conoscenza dei soli campioni temporali xn  = x(nTc) per descrivere completamente un segnale continuo e limitato in banda x(t), e come alla sequenza tempo-discreta dei suoi campioni xn corrisponda una periodicizzazione in frequenza X(f), notiamo come ciò sia in qualche modo speculare alla proprietà dei segnali periodici nel tempo, di godere di una rappresentazione equivalente nel dominio della frequenza, costituita dalla sequenza dei coefficienti Xn noti come serie di Fourier. L’analogia è più stringente di quanto non possa apparire, dato che è assolutamente lecito ed esatto[100]  [100] A prima vista può sembrare ardito accettare che i coefficienti di Fourier (8.27↓) siano pari ai campioni di segnale xn, ma se proviamo a calcolare X(f) =  ℱ{x(t)} =  − ∞(n =  − ∞xnδ(t − nTc))e  − j2πftdt = n =  − ∞xn − ∞e  − j2πftδ(t  − nTc)dt  = n  =  − ∞xne − j2πfnTc, otteniamo esattamente la (8.26↓). usare l’espressione della serie di Fourier (4.4↑) nella direzione opposta, ossia per ottenere lo spettro periodico di ampiezza X(f) a partire dalla sequenza dei campioni temporali xn:
(8.26) X(f) = n  =  − ∞xn e  − j2πfnTc
definendo così una trasformata di Fourier a tempo discreto[101] [101] Condizione sufficiente per la convergenza della serie (8.26↑) è che risulti n  =  − ∞|xn|  < ∞, in quanto |X(f)| = |n =  − ∞xn e − j2πfnTc| ≤ n  =  − ∞|xn|. o DTFT, che produce una X(f) periodica in frequenza di periodo fc = (1)/(Tc)[102] [102] Infatti se applichiamo la (8.26↑) per calcolare X(f  + fc) si ottiene n  =  − ∞xn e  − j2π(f + fc)nTc = n =  − ∞xn e − j2πfnTce − j2πfcnTc  = X(f) dato che, essendo fc  = (1)/(Tc), risulta e − j2πfcnTc  = e − j2πn  = 1 per qualsiasi n., in cui Tc è il periodo di campionamento con cui sono prelevati i valori xn[103] [103] Proprio come ai coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici, intervallati di F Hz, corrisponde un segnale periodico nel tempo, di periodo T = (1)/(F).. Alla (8.26↑) è associata una antitrasformazione, in grado di valutare i campioni temporali xn a partire dalla conoscenza di un periodo di X(f), definita come
(8.27) xn  = (1)/(fc) (fc)/(2) − (fc)/(2)X(f) ej2πfnTcdf
e che è del tutto analoga (a parte il segno) alla (4.3↑) che calcola i coefficienti della serie di Fourier.
Molte delle proprietà già note per la serie e la trasformata di Fourier sono valide anche in questo caso, come ad esempio
Tutto ciò permette di effettuare operazioni sui segnali come analisi spettrale e filtraggio, senza dover svolgere calcoli analitici come integrali e trasformate, bensì operando direttamente sui campioni di segnale mediante appositi programmi di calcolo numerico, eseguiti su dispositivi ottimizzati a tale scopo[104] [104] I chip progettati appositamente per svolgere calcoli di elaborazione numerica del segnale sono detti dsp (Digital Signal Processor)., e quindi effettuare il processo di conversione d/a per riottenere un risultato tempo-continuo.
figure elabnum.png
Resta comunque il fatto che nelle (8.26↑) e (8.27↑) tuttora compaiono una somma di infiniti termini ed un integrale di funzione continua, mentre per effettuare le operazioni di elaborazione numerica possono essere usate solo sequenze di durata finita e somme. Per questo motivo affrontiamo la sezione successiva, che illustra come ciò possa essere risolto eseguendo il campionamento anche in frequenza, e limitando i segnali a durate finite.
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