Sezione 4.5: Filtraggio numerico via DFT Su Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Capitolo 5: Probabilità, processi, statistica 

4.6 Riassumendo

La dft (8.28↑) e la idft (8.31↑) costituiscono una coppia di relazioni invertibili che permettono di passare da una sequenza complessa di lunghezza N ad un’altra di pari lunghezza. Ma:
Se la sommatoria (8.28↑) venisse applicata, anziché ad un numero finito N di campioni xn, ad un loro numero infinito, allora
L’interpretazione dei valori che risultano dalla applicazione della dft su dei campioni di segnale, come stima della trasformata di Fourier del segnale, deve tenere conto oltre che delle fonti di approssimazioni evidenziate nella nota 4.4↑, anche dei corretti valori da assegnare alla scala delle frequenze e delle ampiezze, ossia:

4.6.1 Le frequenze della DFT

Occorre tener presente il valore della frequenza di campionamento, e se il segnale di partenza x(t) è reale, della periodicità degli Xm. Infatti i valori Xm per m = 0, 1, …N − 1 corrispondono ai campioni di X(f) per f = (m)/(N)fc, ma se x(t) è reale, X(f) oltre ad essere periodico presenta simmetria coniugata, e dunque per valori f > (fc)/(2), ossia per m = (N)/(2), X(f) assume valori speculari a quelli risultanti per f < (fc)/(2). Per fissare le idee, procediamo con un esempio: se N = 512 i primi 256 valori (da 0 a 255, ossia per m = 0, 1, 2, …, N2 − 1) sono da mettere in corrispondenza con quelli di X(f) con f = 0, (1)/(N)fc, (2)/(N)fc, …(N2 − 1)/(N)fc; mentre i restanti 256 valori (da 256 a 511, ossia per m = N2, N2 + 1, …, N − 1, e corrispondenti a f = (1)/(2)fc, (N2 + 1)/(N)fc, …, (N − 1)/(N)fc) esibiscono un comportamento speculare a quello dei precedenti.

4.6.2 Le ampiezze della DFT

Come espresso dalla (8.32↑), i valori Xm rappresentano una approssimazione dei coefficienti della serie di Fourier calcolati sulla finestra temporale da cui provengono i campioni di segnale, e moltiplicati per il numero di campioni utilizzati nel calcolo: XmNXSFm. Pertanto, i valori ottenuti dalla dft devono essere normalizzati, dividendoli per N.
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