Capitolo 5: Probabilità, processi, statistica Su  Capitolo 5: Probabilità, processi, statistica Sezione 5.2: Variabili aleatorie 

5.1  Teoria delle probabilità

Tratta delle caratteristiche regolari di fenomeni irregolari o casuali. Una prima definizione di probabilità è quella fornita dalla teoria frequentista, la quale asserisce che se, ripetendo N volte un esperimento, si verifica la circostanza A per nA volte, per essa si osserva una frequenza relativa nA  ⁄ N, da cui si deriva la probabilità di A come
PrA = limN  → ∞(nA)/(N)
In termini più astratti, l’insieme di tutte le circostanze possibili può essere pensato come un insieme algebrico, i cui elementi (o punti) sono appunto le diverse circostanze. I punti possono essere raggruppati in sottoinsiemi (eventualmente vuoti o di un solo punto) per i quali valgono le proprietà di unione, intersezione, complemento, inclusione...
I fenomeni fisici sono posti in relazione con i punti degli insiemi suddetti mediante il concetto di spazio campione Ω, che è l’unione di tutti i possibili risultati di un fenomeno aleatorio. Sottoinsiemi dello spazio campione sono detti eventi. L’intero spazio è l’evento certo, mentre l’insieme vuoto corrisponde all’evento impossibile φ (od evento nullo). Una unione di eventi, corrisponde all’evento che si verifica ogni qualvolta se ne verifichi un suo componente, mentre l’intersezione è verificata se tutti i componenti lo sono. Esempio: il lancio di un dado genera uno spazio con 6 punti (eventi) disgiunti. Uno spazio campione può avere un numero di punti finito, infinito numerabile, o infinito.

5.1.1  Assiomi delle probabilità

Costituiscono le basi su cui sono costruiti i teoremi seguenti, ed affermano che:
  • 0 ≤ Pr(A)  ≤ 1: la probabilità di un evento è compresa tra 0 ed 1;
  • Pr(Ω)  = 1: la probabilità dell’evento certo è 1;
  • Se Pr(AiAj) = φ allora Pr(Ai) = Pr(Ai): la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è la somma delle singole probabilità.
Assiomi delle probabilità

5.1.2  Teoremi di base

5.1.3  Probabilità congiunta, condizionata e marginale

Può avvenire che il verificarsi di un evento influenzi il verificarsi o meno di un altro: Si dice allora che lo condiziona, ovvero che l’evento influenzato è condizionato. La probabilità che avvenga A, noto che B si sia verificato, si scrive Pr(A  ⁄ B), e si legge probabilità (condizionata) di A dato B, che è definita[122] [122] 
figure f5.1b.png
La relazione può essere verificata ricorrendo al diagramma in figura, ed interpretando Pr(A  ⁄ B) come il rapporto tra la misura di probabilità dell’evento congiunto, rispetto a quella dell’evento condizionante.   
come
Pr(A  ⁄ B)  = (Pr(A,  B))/(Pr(B))
in cui Pr(A,  B) = Pr(AB) è la probabilità congiunta che A e B si verifichino entrambi, ed a patto che Pr(B) ≠ 0 (altrimenti anche Pr(A  ⁄ B) è zero!). Viceversa, le probabilità dei singoli eventi Pr(A) e Pr(B) sono indicate come probabilità marginali.
Esercizio:Valutare la probabilità condizionata Pr(A  ⁄ B) che lanciando un dado si ottenga un numero pari (evento A  = (pari)), condizionatamente all’evento B che il numero sia >2. Soluzione alla nota[123] [123] 
Il risultato è pari alla probabilità Pr(A,  B)  = Pr(pari,    > 2) che i due eventi si verifichino contemporaneamente, divisa per la probabilità PR(B)  = PR(  > 2) che il numero sia >2.
Si rifletta sulla circostanza che la probabilità del pari PR(A) = (1)/(2), quella PR(B)  = (4)/(6), o quella congiunta di entrambi PR(A, B)  = (2)/(6), sono tutte riferite ad un qualunque lancio di dado, mentre Pr(pari  ⁄  > 2) è relativa ad un numero ridotto di lanci, ossia solo quelli che determinano un risultato  > 2. Pertanto, essendo Pr(B) ≤ 1, si ottiene Pr(A ⁄ B)  ≥ Pr(A, B); infatti per l’esempio del dado si ottiene Pr(pari  ⁄  > 2) = Pr(pari,   > 2) ⁄ Pr(  > 2) = (2)/(6) ⁄ (4)/(6) = (1)/(2), che è maggiore di Pr(pari,   > 2) = (1)/(3) (i valori di probabilità sono ottenuti come rapporto tra il numero di casi favorevoli e quello dei casi possibili).
Si ottiene invece Pr(A  ⁄ B) = Pr(A,  B) solo se Pr(B) = 1, ossia se B corrisponde all’unione di tutti gli eventi possibili.
.
Invertendo la precedente definizione, la probabilità congiunta può essere ottenuta anche come Pr(A,  B)  = Pr(A  ⁄ B)Pr(B); inoltre, gli eventi condizionante e condizionato si possono invertire di ruolo, permettendo di scrivere anche: Pr(A,  B)  = Pr(B  ⁄ A)Pr(A). Eguagliando le due ultime espressioni per la probabilità congiunta si ottiene la via per calcolare una probabilità condizionata a partire dall’altra, qualora si conoscano entrambe le marginali:
Pr(A  ⁄ B)  = (Pr(B  ⁄ A)Pr(A))/(Pr(B)) edanche Pr(B  ⁄ A)  = (Pr(A  ⁄ B)Pr(B))/(Pr(A))

5.1.4  Probabilità a priori e a posteriori, teorema di Bayes

A volte, non tutti i possibili eventi sono direttamente osservabili, ma se l’evento A è in qualche modo legato ad un secondo evento B, che invece possiamo osservare, la probabilità condizionata Pr(A ⁄ B) prende il nome di probabilità a posteriori, poiché indica un valore di probabilità valutata dopo la conoscenza di B. Viceversa, la probabilità marginale Pr(A) viene detta ora come a priori, ovvero senza conoscere nulla a suo riguardo.
teorema di Bayes
In generale, però, si conosce solamente Pr(A) e Pr(B  ⁄ A) (queste ultime sono dette probabilità condizionate in avanti), e per calcolare Pr(A ⁄ B) occorre conosce anche Pr(B). Quest’ultima quantità si determina saturando la probabilità congiunta Pr(A,  B) rispetto a tutti gli eventi marginali Ai possibili:
Pr(B)  = iPr(B, Ai)  = iPr(B ⁄ Ai)Pr(Ai)
a patto che risulti Pr(Ai,  Aj) = 0 e Ai = Ω, ovvero che gli eventi Ai siano disgiunti e che il loro insieme {Ai} costituisca una partizione dello spazio degli eventi Ω, come rappresentato in figura.
L’ultima relazione ci permette di enunciare il teorema di Bayes, che mostra come ottenere le probabilità a posteriori a partire da quelle a priori e da quelle condizionate in avanti:
Pr(Ai  ⁄ Bj) = (Pr(Bj  ⁄ Ai)Pr(Ai))/(kPr(Bj  ⁄ Ak)Pr(Ak))
Al § 11.2.1↓ è mostrata l’applicazione di queste considerazioni ad un problema di decisione statistica tipico delle telecomunicazioni, relativo alla ricezione binaria. Di seguito, invece, è illustrato un esempio più diretto.

5.1.5 Indipendenza statistica

Si verifica quando
Pr(A  ⁄ B)  = Pr(A)
in quanto il verificarsi di B non influenza A. Come conseguenza, per due eventi statisticamente indipendenti avviene che
(10.1) Pr(A, B)  = Pr(A)Pr(B)
Esempi
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