Sezione 5.2: Variabili aleatorie Su  Capitolo 5: Probabilità, processi, statistica Sezione 5.4: Trasformazione di variabile aleatoria e cambio di variabili 

5.3  Processi stazionari ed ergodici

Dopo aver descritto come caratterizzare statisticamente singoli valori (denominati variabili aleatorie), occupiamoci del caso in cui si voglia descrivere da un punto di vista probabilistico un intero segnale, la cui reale identità non sia nota a priori[146]  [146] Chiaramente, la maggioranza dei segnali trasmessi da apparati di tlc sono di questo tipo..
Processi stazionari ed ergodici
Figura 5.11 Un processo non ergodico
Un segnale siffatto viene detto membro (o realizzazione) di un processo aleatorio, e può essere indicato come x(t,  θ), mediante una descrizione formale che prevede una coppia di insiemi: il primo di questi è l’insieme T degli istanti temporali (tipicamente un intervallo) su cui sono definiti i membri del processo, mentre il secondo è relativo ad una variabile aleatoria Θ, i cui valori θidentificano ognuno una particolare realizzazione del processo. Pertanto, una specifica realizzazione θi della v.a. Θ indicizza il processo, i cui membri x(t,  θi), con t ∈ T, sono noti solo dopo la conoscenza di θi  ∈ Θ ([147] [147] Per fissare le idee, conduciamo parallelamente al testo un esempio “reale” in cui il processo aleatorio è costituito da.... la selezione musicale svolta da un dj. L’insieme T sarà allora costituito dall’orario di apertura delle discoteche (dalle 22 all’alba ?), mentre in θ faremo ricadere tutte le caratteristiche di variabilità (umore del dj, i dischi che ha in valigia, la discoteca in cui ci troviamo, il giorno della settimana...).). Il processo aleatorio è quindi definito come l’insieme dei segnali {x(t, θ)}, con t  ∈ T e θ  ∈ Θ.
Se viceversa fissiamo un particolare istante temporale tj, il valore x(tj,  θ) è una variabile aleatoria, la cui realizzazione dipende da quella di θ  ∈ Θ; pertanto, è definita la densità pX(x(tj)) (indipendente da θ), che possiamo disegnare in corrispondenza dell’istante tj in cui è prelevato il campione[148] [148] Nell’esempio, x(t0,  θ) è il valore di pressione sonora rilevabile ad un determinato istante (es. le 23.30) al variare di θ (qualunque dj, discoteca, giorno...).; a tale riguardo, si faccia riferimento alla figura 5.11↑, che mostra le densità di probabilità definite a partire dai membri di un processo.

5.3.1  Media di insieme

E’ definita come il valore atteso di una potenza n-esima dei valori del segnale, ossia un suo momento, eseguito rispetto alla variabilità dovuta a Θ, ed è pertanto calcolata come
m(n)X(tj)  = EΘ{xn(tj, θ)} =   − ∞xn(tj,  θ)pΘ(θ)dθ =  − ∞xnpX(x(tj))dx
in cui l’ultima eguaglianza indica come la variabilità statistica di xn sia completamente descritta dalla d.d.p. pX(x(tj)) di x(tj,  θ) al variare di θ  ∈ Θ, mostrata in basso in fig. 5.11↑. Notiamo che secondo questo approccio, la media di insieme dipende dall’istante tj in cui è prelevato un valore[149] [149] Ad esempio, se in tutte le serate il volume aumenta progressivamente nel tempo, la pX(x(tj)) si allargherà per tj crescenti..

5.3.2  Media temporale

In alternativa, possiamo fissare una particolare realizzazione θi di Θ, e quindi identificare un singolo membro x(t,  θi), che è ora un segnale certo[150] [150] x(t, θi) rappresenta, nel nostro esempio, l’intera selezione musicale (detta serata) proposta da un ben preciso dj, in un preciso locale, un giorno ben preciso.: per esso possono quindi essere calcolate le medie temporali, indicate con una linea sopra alla quantità di cui si calcola la media (.):
xn(t,  θi) = limT → ∞(1)/(T)T  ⁄ 2 − T ⁄ 2xn(t, θi)dt
In particolare, troviamo il valore medio
x(t,  θi) = limT → ∞(1)/(T)T ⁄ 2 − T ⁄ 2x(t, θi)dt
e la potenza [151] [151] m(2)X(θi) in questo caso rappresenta la potenza media con cui è suonata la musica nella particolare serata θi. (o media quadratica)
x2(t,  θi) = limT → ∞(1)/(T)T  ⁄ 2 − T ⁄ 2x2(t, θi)dt
Notiamo che una generica media temporale:

5.3.3  Media temporale calcolata come media di insieme

L’estrazione da x(t,  θi) di un valore ad un istante casuale t ∈ T definisce una ulteriore variabile aleatoria, descritta dalla densità di probabilità (condizionata) pX(x ⁄ θi), che disegniamo a fianco dei singoli membri mostrati in fig. 5.11↑. Qualora la pX(x  ⁄ θi) sia nota, le medie temporali di ordine n possono essere calcolate (per quel membro) come i rispettivi momenti:
xn(t,  θi) = limT → ∞(1)/(T)T  ⁄ 2 − T ⁄ 2xn(t, θi)dt  =  − ∞xnpX(x ⁄ θi)dx = EX ⁄ Θ = θi{xn}  = m(n)X(θi)
Ciò equivale infatti ad effettuare una media ponderata, in cui ogni possibile valore di x è pesato per la sua probabilità pX(x ⁄ θi)dx (vedi l’osservazione alla nota 68↑).

5.3.4  Processo stazionario

Qualora pX(x(tj)) non dipenda da tj, ma risulti pX(x(tj)) = pTX(x) per qualsiasi tj ∈ T, il processo {x(t,  θ)} è detto stazionario[152] [152] La “serata in discoteca” stazionaria si verifica pertanto se non mutano nel tempo il genere di musica, il volume dell’amplificazione... o meglio se eventuali variazioni in alcune particolari discoteche-realizzazioni sono compensate da variazioni opposte in altrettanti membri del processo. in senso stretto. In tal caso tutte le medie di insieme non dipendono più dal tempo, ossia m(n)X(t) = m(n)X per t  ∈ T, e le pX(x(tj)) in basso in fig. 5.11↑ sono tutte uguali.
Se invece solamente le prime due medie di insieme mX(t) e m(2)X(t) non dipendono da t, il processo {x(t,  θ)} è detto stazionario in media ed in media quadratica, od anche stazionario in senso lato[153] [153] In questo caso la pX(x(t)) non è nota, oppure non è stazionaria, ma le maggiori applicazioni della proprietà di stazionarietà dipendono solo da mX(t) e m(2)X(t), che possono essere misurati (o per meglio dire stimati), e risultare stazionari anche se pX(x(t)) non lo è.. Nel caso di un processo gaussiano, la stazionarietà in senso lato implica quella in senso stretto.
Supponiamo ora di suddividere il membro x(t, θi) in più intervalli temporali, e di calcolare per ciascuno di essi le medie temporali, limitatamente al relativo intervallo. Nel caso in cui queste risultino uguali tra loro, e di conseguenza uguali alla media temporale m(n)X(θi), il membro è (individualmente) stazionario[154] [154] Questo accade se la selezione musicale di una particolare serata si mantiene costante (es. solo raggamuffin) oppure variata ma in modo omogeneo (es. senza tre “lenti” di fila).. Ovviamente, se tutti i membri sono individualmente stazionari, lo è anche il processo a cui appartengono.

5.3.5  Processo stazionario ed ergodico

Questa importante sottoclasse di processi stazionari identifica la circostanza che ogni membro del processo è statisticamente rappresentativo di tutti gli altri. Ciò si verifica quando la densità di probabilità (a destra in fig. 5.11↑) dei valori estratti da un singolo membro pX(x  ⁄ θi) è sempre la stessa, indipendentemente dal particolare θi, ottenendo in definitiva pX(x ⁄ θi) = pΘX(x) indipendentemente dalla realizzazione e, per la stazionarietà, anche pX(x ⁄ tj) = pTX(x), e dunque pΘX(x) = pTX(x) = pX(x). In questo caso le medie temporali m(n)X(θi), calcolabili come momenti sulla singola realizzazione come illustrato al § 5.3.3↑, sono identiche per tutti i membri[155] [155] Volendo pertanto giungere alla definizione di una serata ergodica in discoteca, dovremmo eliminare quei casi che, anche se individualmente stazionari, sono decisamente “fuori standard” (tutto metal, solo liscio...). θi, ed identiche anche alle medie di insieme m(n)X(tj) calcolate per un qualunque istante. Enunciamo pertanto la definizione:
Un processo stazionario è ergodico se la media temporale calcolata su di una qualunque realizzazione del processo, coincide con la media di insieme relativa ad una variabile aleatoria estratta ad un istante qualsiasi (per la stazionarietà) dall’insieme dei suoi membri.
Esempio: la potenza di segnaleMostriamo come il calcolo della potenza di un membro di un processo ergodico sia equivalente a quello del momento di 2o ordine del processo:
PX(θ)  =  x2(θ)  = limT → ∞(1)/(T)T ⁄ 2 − T ⁄  2x2(τ,  θ)dτ =  − ∞x2pX(x ⁄ θ)dx  =   =   − ∞x2pX(x)dx  = m(2)X = E{x2} =  PX
Questo risultato mostra come sia possibile calcolare la potenza di una realizzazione di un processo, senza conoscerne la forma d’onda.
Potenza, varianza, media quadratica e valore efficace
In particolare osserviamo che in base alla (10.5↑) possiamo scrivere
PX  = m(2)X  = σ2x  + (mx)2
e per i segnali a media nulla (mx  = 0) si ottiene PX  = σ2x; in tal caso il valore efficace (pag. 1↑) (PX) coincide con la deviazione standard σx. La radice della potenza è inoltre spesso indicata come valore RMS (root mean square), definito come xRMS = (x2(t)), ovvero la radice della media quadratica (nel tempo). Se il segnale è a media nulla, xRMS coincide quindi con il valore efficace; se x(t) è membro di un processo ergodico a media nulla, xRMS coincide con la deviazione standard.

5.3.6  Riassumendo

5.3.7  Processo ad aleatorietà parametrica

Rientrano in questa classe i processi {x(t,  θ)} in cui il parametro θ compare in modo esplicito nella espressione analitica dei segnali membri. Ad esempio, il segnale periodico
(10.8) x(t, θ)  = n =  − ∞AgT(t  − θ − nT)
Processo ad aleatorietà parametrica
rappresentato in figura, ha come parametro aleatorio un ritardo θ, che ne rende imprecisata la fase iniziale. Se θ è (come in figura) una v.a. a distribuzione uniforme tra 0 e T (ovvero pΘ(θ)  = (1)/(T)rectT(θ  − (T)/(2))), allora il processo (10.8↑) risulta stazionario ed ergodico. Ad esempio, scegliendo una g(t) = triT(t − T2) la d.d.p. per una v.a. estratta dal processo diviene pari a[156]  [156] La (10.9↓) non è frutto di un calcolo, bensì di un ragionamento: l’impulso gT(t) triangolare non “passa più tempo” su di un valore o su di un altro, ma passa lo stesso tempo su un qualunque valore tra 0 ed A. Pertanto i diversi membri del processo, ognuno relativo ad un diverso θ, qualora valutati ad un medesimo istante t, assumono uno qualsiasi dei valori tra 0 ed A con d.d.p. uniforme.
(10.9) pX(x)  = (1)/(A)rectA(x  − (A)/(2))
Possiamo quindi verificare la coincidenza tra medie temporali e di insieme, con il valor medio mX  = E{x} pari alla media temporale (A)/(2), varianza pari a quella della d.d.p. uniforme σ2X  = (A2)/(12) (§ 5.2.3↑), e potenza che vale
PX  = σ2X  + m2X  = (A2)/(12) + (A2)/(4)  = (4A2)/(12) = (A2)/(3)
Se la pΘ(θ) fosse stata diversa, il processo avrebbe perso stazionarietà e quindi ergodicità. Infatti, ponendo ad esempio pΘ(θ)  = (4)/(T)rect(T)/(4)(θ) e considerando una media di insieme valutata considerano i possibili membri del processo nell’intervallo temporale  −  (T)/(8) < t < (T)/(8), tutte le realizzazioni avrebbero valori minori del valor medio (A)/(2).
Processo armonico
processo armonico
Figura 5.13 Densità di probabilità per un processo armonico
Si tratta di un processo ad aleatorietà parametrica, i cui membri hanno espressione
x(t, θ)  = Acos(2πf0t  + θ)
dove θ è una v.a. uniforme con d.d.p. pΘ(θ) = (1)/(2π)rect2π(θ). In tal caso il processo è stazionario ed ergodico, ed a pag. 1↓ si dimostra che un valore estratto a caso da un membro qualsiasi è una v.a. con d.d.p.
(10.10) pX(x) = (1)/(π(A2  − x2))
mostrata in figura per A = 1.
Segnale dati
Anticipiamo l’espressione (10.58↓) a cui aggiungiamo un elemento di indeterminazione per quanto riguarda la relazione temporale tra l’origine dei tempi e gli istanti caratteristici, scrivendo
(10.11) x(t, θ)  = n =  − ∞ang(t − nT + θ)
con θ v.a. a distribuzione uniforme tra ±(T)/(2), in modo da rendere il processo ergodico[157] [157] In assenza del parametro θ, e considerando la sequenza aleatoria degli an stazionaria ed ergodica, x(t,  θ = 0) costituisce un processo ciclostazionario in senso stretto (vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclostationary_process), ossia per il quale le medie di insieme di qualsiasi ordine sono periodiche di periodo T. La presenza della v.a. uniforme θ rende x(t,  θ) un processo stazionario, ed anche ergodico.. Mentre il calcolo della sua densità di potenza sarà affrontato al § 6.2.4↓, qui ci limitiamo ad osservare che, considerando i valori an come determinazioni di v.a. indipendenti ed identicamente distribuite, la densità di probabilità di x(t) può euristicamente essere desunta dalla analisi del corrispettivo diagramma ad occhio. Ad esempio, nel caso di segnale a banda infinita e an a due livelli equiprobabili (vedi fig. 8.5↓ a pag. 1↓) la pX(x) sarà costituita da due impulsi di area 12, mentre nei casi di limitazione in banda e/o adozione di un impulso con caratteristica a coseno rialzato, la stessa assumerà un andamento continuo[158] [158] In una prossima edizione, potrei calcolare le ddp corrispondenti ai diagrammi ad occhio di fig. 8.13↓.
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