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6.2  Spettro di densità di potenza

Come anticipato ad inizio capitolo, mostriamo il metodo con cui determinare lo spettro di densità di potenza nel caso di processi, indicato come teorema di Wiener[184]  [184] In realtà le attribuzioni di questo risultato sono molteplici, comprendendo anche Khinchin, Einstein e Kolmogorov - fonte http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener-Khinchin_theorem. La cosa decisamente gradevole è che questo stesso strumento è valido anche per gli altri tipi di segnale.

6.2.1  Teorema di Wiener

Lo spettro di densità di potenza Px(f) (o di energia x(f)) di un segnale x(t) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione: Px(f) = ℱ{x(τ)}.
La dimostrazione del teorema per segnali di energia è straordinariamente semplice:
x(τ)  =   − ∞x*(t)x(t  + τ)dt  =  − ∞X*(f)X(f)ej2πfτdf  =   =   − 1{X*(f)X(f)} = ℱ  − 1{x(f)}
in cui abbiamo prima applicato il teorema di Parseval, poi la proprietà di traslazione nel tempo, e quindi (vedi § 3.2↑) espresso X*(f)X(f) come x(f).
Come anticipato, il teorema è valido anche per segnali di potenza, per i quali la funzione di autocorrelazione x(τ) da cui partire è quella espressa dalla (10.22↑) ([185] [185]  In tal caso la stima della densità di potenza può essere ottenuta mediante periodogramma (§ 6.3.1↓) calcolato su di un segmento di segnale xT(t) di durata T estratto da x(t), e facendo tendere T  → ∞, ovvero Px(f) =  limT  → ∞(1)/(T)|XT(f)|2. Dato che |XT(f)|2 è proprio la densità di energia xT(f) di xT(t), per il teorema di Wiener la sua anti-trasformata corrisponde alla funzione di autocorrelazione xT(τ) = ℱ − 1{xT(f)} di xT(t), come definita dalla (10.23↑). Operando il passaggio al limite, si ottiene che   − 1{  Px(f)} = ℱ  − 1{limT   → ∞(1)/(T)xT(f)}  = limT  → ∞(1)/(T)xT(τ), che corrisponde alla autocorrelazione dell’intero segnale x(τ), come espressa dalla (10.22↑).). Nel caso di processi ergodici, ogni membro del processo possiede la stessa Px(f), che dunque può essere calcolata a partire dalla x(τ) di uno qualunque di essi. Nel caso di processi stazionari almeno in senso lato, infine, l’autocorrelazione da cui partire[186]  [186] La dimostrazione di questo caso viene omessa; ci limitiamo a citare che la sua validità è vincolata a processi per i quali τm(1,  1)XX(τ) rimane finito per qualunque τ, ed è basata sulla considerazione che se la Pθx(f) di un particolare membro θ è valutabile come Pθx(f) =  limT   → ∞(1)/(T)|XθT(f)|2, allora la sua media di insieme può scriversi come Px(f) =  limT  → ∞(1)/(T)EΘ{|XθT(f)|2}. è il momento misto m(1, 1)XX(τ) = E{x(t)x(t + τ)} calcolato come media di insieme, e rappresenta il modo più generale di procedere, come applicato al § 6.9.3↓ per il caso di un segnale dati.
In virtù del teorema di Wiener, è dunque possibile ottenere Px(f)
teorema di Wiener
anche per processi e segnali di potenza, oppure fare la prova del nove per segnali di energia o periodici, come esemplificato dalla figura a lato.
Applichiamo ora questo metodo di valutazione della densità spettrale di un processo, ad alcuni casi particolari.

6.2.2  Processo armonico

Si tratta di un segnale sinusoidale la cui fase iniziale è aleatoria, e può esprimersi come
x(t, θ)  = Acos(2πf0t  + θ)
in cui il parametro θ è una v.a. con d.d.p. uniforme tra  − π e π, ovvero
pΘ(θ)  = (1)/(2π)rect2π(θ)
In tal caso x(t,  θ) costituisce un processo ergodico (§ 5.3.7↑), la cui d.d.p.
pX(x) = (1)/(π(A2  − x2))
è graficata a pagina 1↑. Sappiamo inoltre che una realizzazione del processo armonico (ad esempio quella con θ = 0) ha una densità di potenza[187] [187] A pag. 1↑ viene calcolata la trasformata del coseno, applicando alla quale le considerazioni di pag. 1↑ se ne ottiene la densità di potenza. Px(f) = (A2)/(4)[δ(f  − f0)  + δ(f + f0)]. Possiamo quindi ottenerne l’autocorrelazione senza dover svolgere l’integrale:
x(t)  = ℱ − 1{  Px(f)} = (A2)/(4)[ej2πf0t  + e − j2πf0t] = (A2)/(2)cos(2πf0t)
autocorrelazione di sinusoide
Questo risultato conferma che l’autocorrelazione di un segnale periodico è periodica; riflettiamo dunque sulla circostanza che anche un seno, od un coseno con qualunque altra fase, avrebbe avuto la stessa x(t). Ciò è d’altra parte evidente, avendo tutti questi segnali uguale densità di potenza Px(f).

6.2.3  Processo gaussiano bianco limitato in banda

Un processo n(t) è chiamato bianco qualora la sua densità di potenza sia costante in frequenza, che quindi si esprime come
Pn(f) = (N0)/(2)rect2W(f)
in cui W è l’occupazione di banda a frequenze positive. In tali ipotesi otteniamo
(10.26) n(t) = ℱ  − 1{ Pn(f)} = N0Wsinc(2Wt)
e possiamo pertanto constatare che si ottiene
n(0)  =  Pn  =  − ∞Pn(f)df  = N0W = σ2n
Processo gaussiano bianco limitato in banda
in cui l’ultima eguaglianza sussiste (vedi eq. (10.5↑) a pag. 1↑) in quanto l’assenza di impulsi nell’origine per Pn(f) corrisponde ad un n(t) a media nulla. Inoltre, dato che n(1 ⁄  2W)  = 0, osserviamo che campionando n(t) con periodo Tc  = 1 ⁄ 2W si ottengono valori incorrelati, e se il processo è gaussiano, anche statisticamente indipendenti (vedi § 5.5.1↑). Questo risultato giustifica, almeno da un punto di vista teorico, una ipotesi che viene spesso fatta: quella di trovare, sovrapposti ai campioni di segnale, dei campioni di rumore statisticamente indipendenti.
All’aumentare di W, n(t) tende a zero più rapidamente, cosicché il rumore si mantiene correlato per un tempo sempre minore, ovvero due campioni separati da uno stesso intervallo temporale t hanno una correlazione sempre minore. Un risultato simile vale anche più in generale, in quanto l’autocorrelazione x(t) di un qualsiasi processo a media nulla (tranne nel caso periodico, riconducibile ad una combinazione di processi armonici) tende a 0 con t → ∞, ovvero da un certo t in poi la correlazione è trascurabile.
Infine, se immaginiamo il rumore bianco limitato in banda come il risultato del transito di un processo gaussiano a banda infinita (quindi, con n(t) = δ(t)) attraverso un filtro passa basso ideale con H(f) = rect2W(f) (vedi § 8.3.1↓), ci accorgiamo che la correlazione (10.26↑) per i campioni di rumore in uscita è una diretta conseguenza della memoria introdotta dalla risposta impulsiva h(t) = 2Wsinc(2Wt) sul segnale in transito, dato che l’operazione di convoluzione tra n(t) e h(t) rende i valori in uscita una combinazione lineare di quelli (passati) in ingresso (vedi § 3.5.3↑).

6.2.4  Processo di segnale dati

Al § 8.1.2↓ descriveremo un generico segnale numerico come una somma di repliche di una funzione g(t), ognuna moltiplicata per un diverso valore an rappresentativo delle informazioni da trasmettere:
(10.27) x(t)  = n =  − ∞ang(t − nT + θ)
La presenza della variabile aleatoria θ a distribuzione uniforme tra ±(T)/(2) (per cui pΘ(θ) = (1)/(T)rectT(θ)), rende x(t) un processo ergodico (vedi pag. 1↑).
Si mostrerà in appendice (§ 6.9.3↓) che, nelle ipotesi in cui le ampiezze an siano determinazioni di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e varianza σ2A([188] [188] Media mA e varianza σ2A sono qui riferite ai valori multilivello ak (con k = 1, 2, ⋯, L) che un generico simbolo an può assumere, pesati con le rispettive probabilità pk, ossia mA = Lk = 1pkak e σ2A = Lk = 1pk(ak − mA)2), la densità spettrale di potenza del processo (10.27↑) risulta
Px(f) = σ2A(g(f))/(T)
mentre nel caso in cui gli an siano statisticamente dipendenti, e/o a media non nulla, il risultato è più complesso (vedi eq. (10.43↓)). Limitandoci a voler interpretare il risultato semplice, notiamo che g(f) è la densità di energia di una singola replica di g(t), la cui ripetizione, con periodo T, fornisce una densità di potenza media (g(f))/(T). Se ogni replica di g(t) è moltiplicata per una v.a. indipendente a media nulla e varianza (potenza) σ2A, la densità di potenza Px(f) aumenta di egual misura (vedi § 6.6.1↓).
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