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6.3  Stima spettrale

Il teorema di Wiener (§ 6.2.1↑) ci aiuta qualora si desideri conoscere la densità di potenza per un processo, di cui siamo in grado di stimare o postulare un m(1, 1)X(τ) = ℛX(τ). Spesso però si ha a che fare con segnali di cui, pur ricorrendo le ipotesi di appartenenza ad un processo ergodico, si ignorano le statistiche di insieme. Un altro caso tipico è quello di un segnale che, pur se rappresentativo di molti altri, non presenta caratteristiche spettrali costanti nel tempo, e sono proprio le variazioni di queste ultime ad interessare[189]  [189] Un esempio può essere un segnale sonoro, ad esempio una voce recitante, per il quale vogliamo studiare le caratteristiche spettrali dei diversi suoni della lingua (i fonemi), per confrontarle con quelle di un altro individuo, o per ridurre la quantità di dati necessaria a trasmettere il segnale in forma numerica (vedi § 12.1.2↓), o per realizzare un dispostivo di riconoscimento vocale.. In questi casi, tutto ciò che si può fare è tentare una stima dello spettro di potenza del segnale, a partire da un suo segmento temporale. Esistono al riguardo tecniche differenti, come ad es. quella riportata al § 12.1.2↓; per ora ci limitiamo ad un caso semplice ma di rilievo teorico.

6.3.1  Periodogramma

Data una realizzazione x(t,  θi) di un processo, individuiamo un intervallo temporale T su cui definire un segnale a durata limitata xT(t) = x(t, θi)rectT(t). Questo segnale è di energia, con xT(f) = |XT(f)|2, e sotto le ipotesi di stazionarietà, da questo si può ottenere una stima ^Px(f) della densità di potenza Px(f) dell’intero segnale, semplicemente dividendo xT(f) per la durata del segmento, ovvero
(10.28) ^Px(f) = PxT(f) = (|XT(f)|2)/(T)
ottenendo una funzione della frequenza indicata come periodogramma, nome legato all’uso che ne fu inizialmente fatto, per scoprire tracce di periodicità in un segnale rumoroso. Al tendere di T ad , la (10.28↑) tende alla vera densità di potenza limT  → ∞(|XT(f)|2)/(T)  = Px(f) della realizzazione xT(t, θi) e, se questa appartiene ad un processo ergodico[190]  [190] Nel caso contrario in cui x(t, θ) non sia ergodico, la sua densità spettrale può essere definita come Px(f) =  limT  → ∞E(|XT(f)|2)/(T)., a quella di un qualunque altro membro.
Polarizzazione e risoluzione spettrale
Nel caso reale in cui T non tende ad infinito, si può mostrare[191] [191]  Per una determinata frequenza f0, il valore PxT(f0)  = (|XT(f0)|2)/(T) è una variabile aleatoria (dipende infatti da θ), il cui valore atteso mT  = Eθ{PxT(f0)} vorremmo fosse pari alla vera densità Px(f0)), e la cui varianza σ2T  = Eθ{(PxT(f0)  −  Px(f0))2} vorremmo che diminuisse al crescere di T. Per verificare se tali proprietà sono soddisfatte, valutiamo innanzitutto il valore atteso del periodogramma, a partire dalle relazioni fornite dal teorema di Wiener applicato ad XT(f), e cioè |XT(f)|2 = ℰxT(f) =  ℱ{xT(τ)}:
Eθ{PxT(f)}  =  Eθ(1)/(T) − ∞x(t, θ)rectT(t)x(t + τ, θ)rectT(t + τ)dt  =   =  (1)/(T) − ∞Eθ{x(t,  θ)x(t  + τ, θ)}rectT(t)rectT(t + τ)dt  =   =  x(τ)(1)/(T) − ∞rectT(t)rectT(t + τ)dt  = ℱ{x(τ)tri2T(τ)} =   =  Px(f)*T(sinc(fT))2
Osserviamo quindi come, all’aumentare di T, il nostro stimatore tende al valore vero, dato che T(sinc(fT))2 tende ad un impulso.
che usando PxT(f) come una stima ^Px(f) della vera densità Px(f) del processo, si incorre in un errore descritto come
(10.29) ^Px(f) = Px(f)*T(sinc(fT))2
ossia della stessa natura di quello osservato al § 3.9.3↑ a riguardo del procedimento di finestratura temporale, e che mostra come lo stimatore è polarizzato[192]  [192] Quando il valore atteso di uno stimatore tende al valore vero, si dice (vedi § 5.6.4↑) che lo stimatore è non polarizzato (o unbiased); se poi aumentando la dimensione del campione, la varianza della stima tende a zero, lo stimatore è detto consistente. Ci consola verificare che, come commentato alla nota precedente, per T  → ∞ la polarizzazione tende a scomparire, rendendo la stima asintoticamente non polarizzata., e caratterizzato da una risoluzione spettrale[193]  [193] La risoluzione spettrale in questo caso dipende dalla larghezza del lobo principale della densità di energia della funzione finestra applicata a x(τ), che nel caso del tri2T(τ) risulta (sinc(fT))2, il cui lobo principale è appunto ampio 1T. Anche la risoluzione, quindi, migliora all’aumentare di T. (§ 63↑) dell’ordine di 1T Hz.
Varianza della stima
Come discusso, la stima ^Px(f) tende al vero Px(f) per T che aumenta, migliorando allo stesso tempo il potere di risoluzione in frequenza; d’altra parte però i valori di ^Px(f) per una determinata f sono pur sempre delle v.a., e la loro varianza... non migliora all’aumentare di T, rendendo lo stimatore inconsistente! Riprendendo la notazione della nota (82↑), si può dimostrare[194] [194] Vedi ad es. http://risorse.dei.polimi.it/dsp/courses/ens_l1/books/libro07secondaparte.pdf infatti che la varianza σ2T della stima (10.28↑) è pari al valore di Px(f) stesso, ossia per ogni valore di frequenza, la deviazione standard del valore di ^Px(f) è pari a (Px(f)), indipendentemente da quanto sia grande T. Anche se la teoria prevede che la varianza di uno stimatore diminuisca con l’aumentare dei dati a disposizione (vedi (10.17↑) a pag. 1↑), questo non avviene. Il motivo può essere spiegato considerando che, in una implementazione numerica mediante dft (§ 4.4↑), all’aumentare di T aumenta anche il numero di valori in frequenza che sono calcolati, e dunque non si determina un reale accumulo di dati per uno stesso valore stimato.[195] [195] Esistono diverse soluzioni a questo problema, tutte legate ad una riduzione della risoluzione spettrale. La prima è quella di smussare il ^Px(f) ottenuto, mediando i valori su frequenze vicine: tale operazione corrisponde ad un filtraggio in frequenza. Un secondo metodo prevede di suddividere l’intervallo di osservazione in diversi sottointervalli, calcolare il periodogramma su ciascuno di essi, e mediare i risultati. .

periodogramma
periodogramma
Figura 6.7 Periodogramma calcolato via fft per rumore colorato (a sinistra) e per sinusoide immersa nel rumore (a destra), su intervalli di segnale di durata (o numero di punti) crescente (dall’alto in basso)
EsempioApprofondiamo il senso di quanto illustrato con l’aiuto di fig. 6.7↑, un cui mostriamo l’esito del calcolo del periodogramma mediante una fft (§ 4.4.2↑) ad un numero variabile di punti, indicati in ascissa. Sul lato sinistro della figura, il processo x(t, θi) è costituito da un rumore colorato con Px(f) =  (1 − cos(4πfTc))2, che pure è mostrato in figura: come anticipato, il valore stimato ^Px(f) si discosta da quello atteso Px(f) in modo tanto maggiore quanto più questo è grande, per qualunque durata di osservazione.
Viceversa, la colonna di destra di fig. 6.7↑ mostra l’effettiva utilità del periodogramma per individuare segnali a banda stretta immersi nel rumore. In questo caso una sinusoide con frequenza f0  = (fc)/(10) e potenza (1)/(2) è stata sommata ad un rumore gaussiano bianco con σ2n  = 4, ottenendo così un SNR pari a (1)/(8), ovvero -9 dB. Utilizzando (in alto a destra) una fft a 128 punti (e dunque se ne mostrano la metà, vedi pag. 1↑), il tono presente appare difficilmente distinguibile dai valori su cui può oscillare la stima per il rumore bianco. Ma è sufficiente raddoppiare il numero di campioni per migliorare la situazione: mentre la potenza della sinusoide raddoppia (assieme alla varianza della sua stima), il livello di rumore si mantiene costante (notare la diversa scala orizzontale). Ecco dunque spiegato il motivo del suo nome :-)
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