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6.4  Filtraggio di segnali e processi

Ora che siamo in grado di descrivere da un punto di vista spettrale tutti i tipi di segnale, analizziamo le caratteristiche di ciò che esce da un filtro con risposta impulsiva h(t), ovvero y(t) = x(t)*h(t). Innanzitutto, individuiamo quanto valga la sua potenza Py e la rispettiva densità Py(f), oppure y ed y(f) se x(t) è di energia.

6.4.1  Densità spettrale in uscita da un filtro

Segnali di energia
Sappiamo che per il teorema di Parseval risulta y(f) = Y(f)Y*(f); dato che Y(f) = X(f)H(f), allora
y(f)  = X(f)H(f)X*(f)H*(f) = |X(f)|2|H(f)|2 =  ℰx(f)|H(f)|2
A questo punto, eseguendo l’antitrasformata di Fourier di ambo i membri, si ottiene:
y(τ)  = ℱ − 1{y(f)} = ℱ − 1{x(f)|H(f)|2} = ℛx(τ)*ℛh(τ)
Il risultato ottenuto è posto in evidenza perché è valido anche per i due casi successivi di segnale periodico e di processo, e mostra come l’autocorrelazione dell’uscita di un filtro è pari alla convoluzione tra l’autocorrelazione dell’ingresso e quella della risposta impulsiva.
A corollario di quanto esposto, sussistono le seguenti uguaglianze[196] [196] La quarta uguaglianza sussiste in virtù del teorema di Parseval, mentre l’ultima è valida se H(τ) è reale, ossia h(t) è idealmente realizzabile ovvero reale, vedi il § 1.7.2↑., equivalenti ai fini del calcolo dell’energia totale:
y  =  y(0)  =  − ∞y(f)df  =  − ∞x(f)|H(f)|2df  =   =   − ∞x(τ)h(τ)dτ  =  − ∞x(τ)*h(τ)dτ
Pertanto è possibile utilizzare tutte queste come relazioni di equivalenza, quando si ha necessità di determinare una grandezza a partire da altre note.
Segnali periodici
Se in ingresso ad un filtro è presente un segnale periodico, il segnale in uscita è anch’esso periodico[197]  [197] Tenendo conto della natura lineare e permanente del filtro, l’uscita è la combinazione degli effetti degli ingressi, che per un segnale periodico corrispondono alle armoniche., e per esso è valido lo sviluppo in serie di Fourier
y(t)  = nYnej2πnFt
i cui coefficienti Yn possono esprimersi in termini di quelli dell’ingresso Xn e dei valori della risposta in frequenza (vedi § 3.6.1↑) come Yn  = XnH(nF), ovvero in modulo e fase come
|Yn|  = |Xn||H(nF)|; arg(Yn) = arg(Xn) + arg(H(nF))
Per la densità di potenza di un segnale periodico possiamo scrivere (vedi § 32↑) Py(f) = n|Yn|2δ(f − nF), ovvero
Py(f) = n|Xn|2|H(nF)|2δ(f − nF)  = |H(f)|2 Px(f)
Di nuovo, antitrasformando si ottiene y(τ) = ℛx(τ)*ℛh(τ).
Processi ergodici e segnali di potenza
Anche in questo caso, si verifica (in appendice 6.9.4↓) che m(1,  1)Y(τ) = m(1,  1)X(τ)*ℛh(τ), e dunque
(10.30) Py(f) = Px(f)|H(f)|2
Il risultato ovviamente si applica a qualunque membro del processo, per il quale come noto risulta m(1, 1)X(τ) = ℛxx(τ), e dunque la (10.30↑) è valida anche per un qualunque segnale di potenza
Risposta in frequenza di potenza (o energia)
E’ il nome che può essere dato alla grandezza |H(f)|2 =    Py(f)Px(f), o y(f)x(f), visto che ripropone in termini energetici il legame ingresso-uscita rappresentato da H(f) (vedi § 3.6.1↑); ma per |H(f)|2 è anche usato il termine di guadagno di potenza (§ 7.2.1↓).

6.4.2  Caratteristiche statistiche in uscita da un filtro

Passiamo quindi a calcolare le altre grandezze rappresentative:
Media
è pari a quella dell’ingresso, moltiplicata per il guadagno in continua del filtro:
mY  =  E{y(t)} = E{x(t)*h(t)} = E{x(t)}*h(t)  =   =  mX  − ∞h(τ)dτ  = mXH(0)
Potenza
in linea generale, è sempre vero che Py  = σ2y  + (my)2; inoltre, valgono le relazioni
    Py  =  y(0)  =   − ∞ Py(f)df  =   − ∞Px(f)|H(f)|2df  =   =    − ∞x(τ)h(τ)dτ
Se ad esempio x(t) è un processo bianco a media nulla e banda finita, con Px(f) = (N0)/(2) rect2B(f) e quindi x(τ) = N0Bsinc(2Bt), si ottiene[198] [198] in realtà si fa l’ulteriore ipotesi che la banda passante di H(f) sia minore di B
σ2y  = Py  = (N0)/(2)B  − B|H(f)|2df = (N0)/(2)h(0)
e per la densità di potenza si ha Py(f) = (N0)/(2)|H(f)|2: pertanto, il processo in uscita dal filtro non è più bianco, ed in questo caso il processo si dice colorato. A questo fenomeno corrisponde anche una modifica della funzione di autocorrelazione: questa infatti non è più un sinc, ma vale y(τ) = N0B⋅ℛh(τ)*sinc(2Bt); mentre prima quindi (per il processo bianco) due suoi valori estratti in istanti multipli di 12B erano comunque incorrelati, la colorazione introdotta dal filtro ha causato l’insorgenza di una dipendenza statistica tra i valori estratti a tali intervalli[199] [199] Il motivo di questo risultato può essere meglio compreso ricordando che l’integrale di convoluzione calcola i singoli valori in uscita da un filtro, come dipendenti da tutti gli ingressi passati, ognuno pesato con il valore della risposta impulsiva relativo al ritardo tra ingresso passato ed uscita presente. Pertanto, anche se i singoli valori in ingresso sono incorrelati, quelli di uscita (distanti tra loro per meno della durata della risposta impulsiva) condividono una porzione di storia comune, e quindi i loro valori non sono più indipendenti..
Densità di probabilità
A riguardo della pY(y) non si può dire nulla di preciso, tranne che essa dipende dalla pX(x) di ingresso e dalle operazioni compiute dal filtro; la sua espressione esatta va però determinata di volta in volta. Ad esempio, nel caso di un filtro trasversale (§ 6.7.1↓) possono applicarsi le regole di cambio variabile (§ 5.4↑). Un caso a parte è quello dei processi gaussiani, che se posti in ingresso ad un filtro, producono in uscita un processo anch’esso gaussiano[200] [200] Questo risultato è una diretta conseguenza della proprietà di invarianza dei processi gaussiani ripetto alle trasformazioni lineari discussa al § 5.5.2↑. Infatti, riscrivendo l’operazione di convoluzione y(t) =  x(τ)h(t − τ)dτ in forma approssimata come una somma di infiniti termini y(t) =  ix(τi)h(t − τi)Δτi appare evidente come, nel caso in cui x(t) sia un processo gaussiano, l’uscita sia costituita da una somma di v.a. gaussiane, e dunque anch’essa gaussiana..
D’altra parte, se la risposta impulsiva del filtro ha una durata abbasta maggiore di quella della autocorrelazione del processo di ingresso, la memoria del filtro (§ 3.5.3↑) abbraccia valori di ingresso tra loro incorrelati e (verosimilmente) statisticamente indipendenti oltre che identicamente distribuiti, ricadendo quindi nelle condizioni di applicabilità del teorema centrale del limite (pag. 1↑), producendo quindi un processo di uscita gaussiano. Detto in altri termini, se la banda del filtro è di 5-10 volte inferiore a quella del segnale, la densità di probabilità dell’uscita si gaussianizza.
Esercizio
figure f7.14.png
Sia dato il filtro in figura, con
H(f)  = rect3(f)
ed al cui ingresso viene posto il segnale
x(t)  = 2n  =  − ∞rect(1)/(2)(t  − n)
Calcolare:
1) la potenza in ingresso Px,
2) la potenza in uscita Py,
3) l’espressione di y(t).
Risposte
1)Calcoliamo la media temporale: Px  = (1)/(T)T ⁄ 2  − T ⁄ 2x2(t)dt = (1)/(T)1 ⁄ 4  − 1 ⁄ 422(t)dt = (4)/(2) = 2;
2)Sappiamo che Py =  − ∞Py(f)df, in cui Py(f) =  Py(f)|H(f)|2, ed essendo x(t) periodico, si ha Px(f) = n|Xn|2δ(f − nF). Per determinare i coefficienti della serie Xn, calcoliamo
X(f)  = F{2rectτ(t)*n  =  −  ∞δ(t  − nT)} = 2τsinc(fτ)(1)/(T)n =  −  ∞δf  − (n)/(T)
ed essendo τ  = (1)/(2) e T  = 1, risulta
X(f)  = sinc(f)/(2)n  =  − ∞δf  − (n)/(T)  = n  =  − ∞Xnδf  − (n)/(T)
con Xn  = sinc(n)/(2). Dunque, dato che gli unici impulsi che cadono entro la risposta in frequenza H(f) sono quelli per f  =  − 1,  0 e 1, si ha:
Py(f)  = Px(f)|H(f)|2  = 1n  =  − 1|Xn|2|H(n)|2δ(f  − n)
e pertanto si ottiene
Py  =   − ∞Py(f)df  = (sin  − (π)/(2))/( −  (π)/(2))2  + 1 + (sin(π)/(2))/((π)/(2))2  = 1 + 2(2)/(π)2  = 1.811
3)Considerando nuovamente che T = 1F = 1, risulta
y(t)  = 1n  =  − 1XnH(n)ej2πnt  = 1 + (2)/(π)(ej2πt  + e − j2πt)  = 1 + (4)/(π)cos2πt
Notiamo come il filtro lasci passare solamente la componente continua e la prima armonica.
figure f7.15.png
Dopo aver illustrato le trasformazioni subite da un segnale generico che attraversa un filtro generico, affrontiamo lo studio del caso in cui il filtro è appositamente progettato per uno specifico segnale noto a priori.
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