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6.6  Unità di elaborazione dei segnali

figure f7.16.png
In base alla tassonomia del § 1.7.2↑ un filtro può essere definito come “un operatore lineare, stazionario e con memoria”, ma questo non ci suggerisce molto a riguardo di come realizzarlo. Unostrumento per scomporre il problema è quello di considerare un ristretto insieme di tre operatori elementari, che rivestono la funzione di “mattoni” per realizzare sistemi di elaborazione più complessi. Consistono nelle operazioni di somma, prodotto, e ritardo, come indicato in figura. Analizziamo ora nel dettaglio il risultato della combinazione di processi e segnali certi mediante gli operatori introdotti, mentre alla prossima sezione descriviamo l’utilizzo di questi operatori per la realizzazione di elementi filtranti.

6.6.1  Prodotto

Nel caso in cui un fattore sia un processo, e l’altro un segnale certo, il risultato (in generale) è un processo non stazionario. Infatti ora le medie d’insieme dipendono, istante per istante, dal valore che il segnale certo assume in quell’istante (tranne il caso in cui sia una costante)[216] [216] Se il segnale certo è periodico, il risultato della moltiplicazione per un processo stazionario dà luogo ad un processo detto ciclostazionario, in quanto le statistiche variano nel tempo, ma assumono valori identici con periodicità uguale a quella del segnale certo..
Se uno dei due fattori è una costante (ad es y(t)  = ), z(t) è un processo della stessa natura di x(t), con media mz  = mx, potenza Pz = Px2, e autocorrelazione z(τ) = ℛx(τ)2.
Se i fattori x(t) ed y(t) sono processi statisticamente indipendenti[217]  [217] Compreso il caso di processi armonici!, stazionari e congiuntamente[218]  [218] La proprietà di ergodicità congiunta corrisponde a verificare le condizioni ergodiche anche per i momenti misti m(1,  1)XY(x,  y) relativi a coppie di valori estratti da realizzazioni di due differenti processi. ergodici, per il loro prodotto si ottiene:
Valor medio
mz = E{z(t)} = E{x(t)y(t)} = E{x(t)}E{y(t)} = mxmy
Potenza totale
Pz  = E{z2(t)} = E{x2(t)y2(t)} = E{x2(t)}E{y2(t)} = PxPy
Varianza
σ2z  = E{(z(t) − mz)2} =   Pz  − (mz)2  =  PxPy  − (mxmy)2
Funzione di autocorrelazione
z(τ)  =  E{z(t)z(t  + τ)}  = E{x(t)y(t)x(t  + τ)y(t  + τ)}  =   =  E{x(t)x(t  + τ)}E{y(t)y(t  + τ)}  = ℛx(τ)⋅ℛy(τ)
In particolare, notiamo che l’incorrelazione di uno dei due processi, per un certo valore di τ, provoca l’incorrelazione del prodotto.
Spettro di densità di potenza
Pz(f) = ℱ{z(τ)} = ℱ{x(τ)⋅ℛy(τ)} = Px(f)*Py(f)
ossia è pari alla convoluzione tra le densità spettrali dei fattori. Notiamo quindi che la densità di potenza del prodotto presenta una occupazione di banda maggiore di quella dei singoli fattori.
Densità di probabilità
Si calcola con le regole per il cambiamento di variabile, illustrate al § 5.4↑. Nel caso in cui i due processi siano statisticamente indipendenti, il risultato è
pZ(z) =   − ∞pX(θ)pY(z)/(θ)(dθ)/(θ)
In Appendice (pag. 1↓), troviamo l’applicazione di questi risultati al calcolo della densità di potenza di un segnale dati.

6.6.2  Somma

Anche in questo caso, se un termine è un processo e l’altro un segnale certo, la somma è (in generale) un segnale non stazionario. Se il segnale certo è costante, si torna al caso stazionario[219]  [219] Come per il prodotto, se il segnale certo è periodico, la somma si dice ciclostazionaria perché la dipendenza temporale non è assoluta, ma periodica. . Procediamo ora nel calcolo delle solite grandezze, con l’ipotesi che x(t) ed y(t) siano processi statisticamente indipendenti.
Valore medio
mz = E{x(t) + y(t)} = E{x(t)} + E{y(t)} = mx + my
Potenza totale
Pz  =  E{(x(t)  + y(t))2}  = E{x2(t)} + E{y2(t)} + 2E{x(t)y(t)}  =  Px + Py  + 2mxmy
Pertanto, se almeno uno dei due processi è a media nulla, le potenze dei due processi si sommano.
Varianza
σ2z  =  E{(z(t)  − mz)2} =  Pz  − (mz)2 =   Px + Py  + 2mxmy − (mx + my)2 =   =   Px − (mx)2 +   Py − (my)2 = σ2x  + σ2y
Autocorrelazione
z(τ)  =  E{z(t)z(t  + τ)}  = E{x(t)x(t  + τ)}  +  E{y(t)y(t  + τ)}  + E{x(t)y(t  + τ)}  + E{x(t  + τ)y(t)} =   =  x(τ)  + ℛy(τ) + 2mxmy
Osserviamo come per τ = 0 si ritrovi il valore della potenza totale.
Spettro di densità di potenza
Pz(f)  = ℱ{z(τ)} = Px(f)  + Py(f)  + 2mxmyδ(f)
Densità di probabilità
Applicando le regole del cambiamento di variabile (§ 5.4↑), o passando per il calcolo della funzione caratteristica (§ 5.2.6↑), nel caso di x(t) ed y(t) indipendenti, si ottiene
pZ(z) =   − ∞pX(θ)pY(z  − θ)dθ = pX(x)*pY(y)
La relazione esprime l’importante risultato che la densità di probabilità della somma di variabili aleatorie è la convoluzione tra le densità dei termini della somma.
EsempioSe x ed y sono ad es. due v.a. a distribuzione uniforme tra ±Δ, la loro somma ha densità di probabilità triangolare con base . Pertanto, nel lancio di 2 dadi il risultato più probabile è 7. Infatti può essere ottenuto come 6+1, 5+2, 4+3, 3+4, 2+5, 1+6, ovvero in 6 modi diversi, ognuno con probabilità (1)/(6)(1)/(6)  = (1)/(36) e dunque Pr{7} = 6(1)/(36) = (1)/(6).

6.6.3  Stima della autocorrelazione

figure f7.20.png
Come primo esempio dell’uso degli operatori elementari, la figura mostra l’architettura di uno schema di elaborazione idoneo a misurare una stima[220] [220] Si tratta di una stima (vedi § 5.6.4↑) in quanto l’intervallo di integrazione T è limitato. ^x(τ) della funzione di autocorrelazione (§ 6.1.4↑) di un segnale x(t) per un ritardo τ assegnato. Variando quest’ultimo si ottiene ^x(τ) per i diversi valori di τ, e nel caso di segnali stazionari sarà poi possibile calcolare ^Px(f) = ℱ{^x(τ)}; se infine x(t) è un membro di un processo ergodico, ^Px(f) rappresenta una stima della densità di potenza per una qualunque realizzazione.
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