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6.7  Filtri digitali

Sono una particolare classe di filtri, per i quali l’integrale di convoluzione si riduce in una sommatoria. Sebbene nel seguito sia analizzato il solo caso di segnali tempo-continui, i filtri digitali sono di particolare rilievo perché permettono di svolgere le operazioni di filtraggio operando direttamente sui campioni dei segnali (vedi § 4.5.1↑), e dunque possono essere realizzati via software o hardware logico[221]  [221] Il tema delle realizzazioni numeriche dei filtri digitali non è al momento qui svolto, ma citiamo come fonte di approfondimento http://www.dspguide.com/ch14/6.htm)..

6.7.1  Filtro trasversale

E’ una particolare architettura di filtro digitale, mostrata nella parte sinistra di fig. 6.18↓, e per la quale è facile verificare come la risposta impulsiva abbia espressione
(10.36) h(t)  = Nn = 0cnδ(t − nT)
in cui N è l’ordine del filtro[222] [222] I coefficienti cn vengono indicati nei testi inglesi come taps (rubinetti) in quanto possono essere pensati “spillare” frazioni del segnale. Per effetto di un processo di trasposizione linguistica, gli stessi coefficienti in italiano vengono a volte indicati discorsivamente come tappi (!)., che essendo finito, fa rientrare il filtro trasversale nella categoria dei filtri fir (finite impulse response). E’ altrettanto facile verificare che la risposta in frequenza associata alla (10.36↑) risulta
H(f)  = ℱ{h(t)} = Nn  = 0cne  − j2πfnT
Una tale architettura può essere rappresentativa di un effettivo fenomeno naturale, come ad esempio la presenza di “echi” nel segnale ricevuto. Come mostrato a destra in fig. 6.18↓, H(f) risulta periodica (in frequenza) con periodo F = (1)/(T), dato che tutti gli esponenziali e − j2πfnT lo sono. Pertanto questa architettura può essere adottata per sintetizzare una risposta in frequenza desiderata in una certa gamma di frequenze, e “qualsiasi” altrove. Infatti, se il segnale di ingresso x(t) è limitato in una banda (base o traslata) di estensione minore di (1)/(T), l’azione filtrante ha luogo appunto nella sola banda del segnale.
filtro trasversale
Figura 6.18 Schema simbolico di un filtro trasversale e sua risposta in frequenza
Per sintetizzare il filtro a partire dall’andamento desiderato di H(f) nella banda di interesse, si calcolano i coefficienti ck mediante la formula
(10.37) ck  = T1 ⁄ 2T  − 1 ⁄ 2TH(f)ej2πfkTdf
che è del tutto analoga alla eq. (8.27↑) di pag. 1↑ o (a parte il segno di f) alla eq. (4.3↑) di pag. 1↑. Ovviamente, se H(f) è qualsiasi, occorrerebbe un numero infinito di coefficienti ck; usandone un numero inferiore (finito) si produce una approssimazione della H(f) desiderata[223]  [223] Il troncamento (§ 2.2.2↑) della serie di coefficienti ck avviene in modo simmetrico rispetto a c0, prendendo cioè sia gli indici positivi che quelli negativi. Viceversa, nello schema di filtro trasversale si usano solo coefficienti con indici  ≥ 0. Nel caso in cui l’H(f) da cui partiamo sia reale pari, allora i ck sono una serie reale (pari), garantendo un filtro idealmente realizzabile, ma la cui h(t) = N ⁄ 2k  =  − N ⁄ 2ckδ(t − kT) necessita di una traslazione temporale per essere anche fisicamente realizzabile. Se invece H(f) ha un andamento qualunque, non si può dire nulla a riguardo di eventuali simmetrie per i coefficienti ck..

6.7.2  Filtro trasversale del 1o ordine

filtro trasversale del primo ordine
E’ descritto dalla architettura mostrata a lato, a cui corrisponde una risposta impulsiva
h(t)  = δ(t)  + αδ(t  − T)
la cui trasformata è H(f) = 1 + αe − j2πfT([224] [224] In questo caso pur risultando H(f) a simmetria coniugata (H(f) =  H*( − f)), è complessa. Pertanto, i coefficienti ck ottenibili dalla (10.37↑) sono reali, ma non necessariamente pari. Svolgendo i calcoli, si ha: ck = T1  ⁄ 2T − 1 ⁄ 2T(1 + αe − j2πfT)ej2πfkTdf  = T1 ⁄ 2T  − 1 ⁄ 2Tej2πfkTdf  + αT1 ⁄ 2T  − 1 ⁄ 2Tej2πf(k − 1)Tdf. Il primo integrale è nullo per k ≠ 0, mentre il secondo per k ≠ 1, in quanto le funzioni integrande hanno media nulla sull’intervallo 1 ⁄ T; pertanto c0  = 1 e c1 = α, esattamente come è definita la risposta impulsiva.), e quindi
|H(f)|2  =  (1  + αcos2πfT)2  + (αsin2πfT)2 =   =  1 + 2αcos2πfT + α2(cos22πfT  + sin22πfT)  =   =  1 + α2  + 2αcos2πfT
risposta in frequenza di un filtro trasversale del primo ordine
A lato è riportato l’andamento di |H(f)|2 per due valori di α = ±.5, ed osserviamo che nell’intervallo di frequenze |f| < (1)/(2T) può assumere un comportamento passa-alto oppure passa-basso[225]  [225] In altre parole, l’andamento ondulatorio di |H(f)|2 rende il filtro idoneo a diversi utilizzi, in funzione dell’andamento in frequenza del segnale di ingresso., in funzione del segno di α. Notiamo inoltre che ponendo α =  − 1 si ottiene un differenziatore, in grado di rimuovere dall’ingresso segnali periodici di periodo T.

6.7.3  Filtro a risposta impulsiva infinita del 1o ordine

filtro FIR del primo ordine
L’architettura rappresentata in figura identifica un filtro di tipo ricorsivo, ovvero il cui valore in uscita dipende dalle uscite precedenti. La risposta impulsiva corrispondente ha una durata infinita[226] [226] In questo caso si parla di filtro iir o infinite impulse response., ed è pari a
h(t)  = n  = 0αnδ(t  − nT)
La funzione di trasferimento risulta quindi pari a H(f) = n  = 0αne  − j2πfnT e, ricordando la formula dello sviluppo in serie geometrica n = 0βn  = (1)/(1 − β), si può scrivere
H(f)  = n  = 0(αe  − j2πfT)n  = (1)/(1 − αe  − j2πfT)
Notiamo subito che il filtro è stabile purché |α|  <  1, altrimenti si ha una uscita anche senza ingresso, ovvero uscita infinita con ingresso limitato. Per ciò che riguarda |H(f)|2, otteniamo
|H(f)|2 =  (1)/((1  − αcos2πfT)2  + (αsin2πfT)2)  = (1)/(1 + α2  − 2αcos2πfT)
Le curve mostrate appresso rappresentano 10log10|H(f)|2, con T = 1 e diversi valori di α, positivi a sinistra e negativi a destra. Osserviamo infine che il caso α =  1 corrisponde ad avere un integratore perfetto che, ad esempio, produce una rampa in uscita, se in ingresso c’è un gradino.
 
figure f7.22.png figure f7.22a.png
 
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