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6.8  Filtri analogici

Sono ottenuti mediante componenti elettrici a costanti concentrate come condensatori, induttori e resistori. Applicando la trasformata di Laplace alle equazioni differenziali che descrivono la relazione ingresso-uscita, si ottiene una funzione di trasferimento razionale del tipo
H(s)  = (Ni  = 0aisi)/(Mj = 0bjsj)
(in cui N ≤ M), definita su di un piano complesso s = σ + j2πf. Ponendo s = j2πf si ottiene la funzione di trasferimento in f: H(f) = H(s  = j2πf). Questo procedimento è valido solo se il filtro è stabile, che nel dominio di Laplace equivale a richiedere che tutti i poli di H(s) siano a sinistra dell’asse immaginario.

6.8.1  Filtro analogico ad un polo

figure f7.23.png
La tensione vu(t) in uscita dal filtro RC di tipo passa basso mostrato in figura può essere espressa come convoluzione tra quella di ingresso vi(t) ed una risposta impulsiva
h(t)  = (1)/(RC)e  − (t)/(RC)
L’analisi del circuito mostra che la funzione di trasferimento risulta
H(f)  = ℱ{h(t)} = (1 ⁄ jωC)/(R + 1  ⁄ jωC)  = (1)/(1 + j2πfRC)
ovvero, nel dominio di Laplace
H(s)  = (1)/(1 + sRC)
Pertanto, H(s) presenta un polo in s  =  − (1)/(RC) che fa sì che H(s)|s  =  − (1)/(RC) = ∞.
filtro RC ad un polo
A lato è raffigurato l’andamento di |H(s)|2, espresso in decibel, e con RC = 8. Come evidente, |H(s)|2 può essere pensata come una sorta di cono vulcanico attorno al polo, le cui falde, quando intersecate dal piano verticale infisso sull’asse j2πf, individuano la funzione di trasferimento in frequenza H(f) = H(s = j2πf). Come si vede dalla figura, H(f) risulta di tipo passa basso, con fianchi tanto più ripidi quanto più il polo è vicino all’origine.

6.8.2  Frequenza di taglio

figure f7.25.png
Definiamo frequenza di taglio di un filtro la frequenza fT per la quale
|H(fT)| = (|HMax|)/((2))
Nel caso del filtro RC, si ha |HMax| = H(0) = 1 e dunque scriviamo
|H(f)| = (1)/((1 + (2πfRC)2)) = (1)/((1 + (f)/(fT)2))
in cui fT = (1)/(2πRC), pari quindi alla frequenza di taglio (infatti |H(fT)| = (1)/((1 + 1))  = (1)/((2))). Notiamo infine che |H(fT)|2 =  (1)/(2) e dunque |H(fT)|2|dB  =  -3 dB; per questo la frequenza di taglio è indicata anche come frequenza a 3 dB.

6.8.3  Assenza di distorsione lineare

Quali proprietà devono essere verificate da un filtro affinché l’uscita non differisca dall’ingresso per più di un fattore di scala ed un ritardo, ovvero si verifichi la proprietà di canale perfetto espressa a pag. 1↓? La condizione cercata si esprime come
figure f7.26.png
y(t) = αx(t  − t0), che corrisponde a Y(f) = αX(f)e − j2πft0, e quindi la risposta in frequenza di tale filtro deve essere del tipo
H(f)  = (Y(f))/(X(f))  = αe − j2πft0
ovvero la sua risposta impulsiva è pari a h(t) = αδ(t − t0). Pertanto le condizioni poste nel tempo, si riflettono su di una risposta in frequenza con modulo costante e fase lineare, quantomeno, nella banda del segnale.
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