Sezione 6.8: Filtri analogici Su  Capitolo 6: Densità spettrale e filtraggio Capitolo 7: Distorsione e rumore 

6.9  Appendici

6.9.1  Coefficiente di correlazione

I diagrammi di esempio presentati alla nota (6.1.1↑) a pag. 1↑ basano la valutazione di quanto una coppia di v.a. x ed y siano correlate, anche sul calcolo del coefficiente di correlazione ρxy, che ha valori compresi tra  + 1 e   − 1, ed è definito come
ρxy = (σxy)/(σxσy)
In tal modo, si opera una normalizzazione del valore della covarianza σxy, rispetto alle deviazioni standard σx e σy delle due v.a., rendendo così il valore di ρ indipendente dalla dinamica dei valori assunti da x ed y.
Il coefficiente ρ si presta ad una interessante interpretazione geometrica, una volta identificate (vedi § 36↑) la deviazione standard σx come la norma x di x, e la covarianza σxy come il prodotto scalare (x,  y) tra x ed y[227]  [227] L’analogia non è poi troppo peregrina, considerando che se x è estratta da un processo ergodico a media nulla, la sua varianza σ2x coincide con la potenza del segnale da cui è estratta, mentre se x ed y sono estratte da segnali congiuntamente ergodici, la covarianza σxy coincide con la funzione di intercorrelazione (eq. (10.24↑)), ovvero con la loro potenza mutua.. In tale contesto, possiamo indicare due v.a. come ortogonali se risulta σxy  = ρxy = 0, mentre un valore ρxy  = ±1 indica che una delle due v.a. è costantemente uguale all’altra, a meno di un coefficiente costante. Notiamo che l’ortogonalità ρxy = 0 esprime unicamente l’assenza di legami di tipo lineare tra x ed y, come esemplificato dal caso F) della nota (6.1.1↑) a pag. 1↑.
Per ultima citiamo l’estensione formale del risultato noto come diseguaglianza di Schwartz (pag. 1↑), una volta che al coefficiente di correlazione ρxy sia stato associato il concetto di coseno tra x ed y: tale posizione deriva dall’essere  − 1 < ρxy  < 1, e permette di asserire che |σxy|  ≤ σxσy.

6.9.2  Matrice di covarianza e forma quadratica associata

La matrice di covarianza Σx ha dimensione n × n ed i suoi elementi σij sono definiti come
σij = E{(xi − mxi)(xj  − mxj)}
in cui xi con i = 1, 2, ⋯, n sono v.a. e mxi è la rispettiva media. Se le xi sono congiuntamente gaussiane, la stessa Σx compare nell’espressione (10.16↑) della relativa d.d.p. Peraltro, Σx mantiene il suo significato indipendentemente dalla natura delle v.a. a cui si riferisce, e presenta interessanti proprietà di cui ora discutiamo, la cui conoscenza può tornare utile in alcune circostanze.
Simmetria e autovettori
Notiamo innanzitutto che Σx è una matrice simmetrica, in quanto σij = σji. In questo caso è possibile dimostrare che i suoi autovalori λ sono reali[228] [228] Facciamo uso del prodotto Hermitiamo definito come x,  y = xy  = ni  = 1xiyi, in cui la sopralineatura rappresenta l’operazione di coniugazione. In generale per matrici e vettori reali risulta Ax,  y = (Ax)y = xAy  = x, Ay, ma se oltre a ciò A è simmetrica si ha A = A e dunque Ax,  y = x,  Ay. Indicando ora con λ il coniugato di un autovalore di A (per assurdo) complesso, possiamo scrivere λx,  x = λx,  x = Ax,  x = x,  Ax = x,  λx = λx,  x, ma dato che x, x è positivo, dovrebbe essere λ = λ, il che è impossibile: dunque tutti gli autovalori sono reali., ed in numero pari al suo rango. Ricordiamo che gli autovalori λ sono definiti come le possibili radici del polinomio caratteristico q(λ) = |Σx  − λI| di Σx, di grado n; ad ogni autovalore λ corrisponde un autovettore γ ([229] [229] Gli autovettori si considerano normalizzati γγ  = 1, altrimenti ad uno stesso autovalore ne corrisponderebbero infiniti. Inoltre, sono definiti a meno di un termine di fase, dato che se γ è un autovettore, lo è anche γejθ con 0 < θ < 2π.) tale che
(10.38) Σxγ  = λγ
Per le matrici simmetriche si dimostra[230] [230] Vedi ad es. http://dssm.unipa.it/chiodi/teaching/files/Statistica3_First/MLAmatrix2012.pdf che gli autovettori γi e γj associati ad autovalori distini sono ortogonali, ovvero γiγj  = 0. Pertanto è possibile assemblare una matrice Γ = [γ1  γ2 γp] di n righe e p colonne pari agli autovettori γi, per la quale risulta[231] [231] La prima relazione è conseguenza dell’ortogonalità, la seconda discende dalla prima, e la terza deriva dalla premoltiplicazione di ambo i membri della (10.38↑) per γj, che produce γiΣxγi  = λi se  i = j       γjΣxγi  = 0  se  i  ≠ j
(10.39) ΓΓ  = ΓΓ = I,   Γ − 1 =   Γ,  e ΓΣxΓ  = Λ
in cui Λ è una matrice quadrata p × p diagonale, con i valori degli autovettori λi sulla diagonale. Sia Σx che Λ hanno lo stesso determinante[232] [232] In quanto det(Σx)  = det(Γ)det(Λ)det(Γ), e det(Γ) = det(Γ) = det(Γ  − 1) = 1., e quindi det(Σx) = ni  = 1λi, che dunque si annulla se qualche λi =  0; pertanto, il numero p ≤ n di autovalori non nulli determina il rango di Σx.
Forma quadratica e segno
Una forma quadratica individua l’espressione
(10.40) Q(c)  = ni = 1nj = 1cicjσij  = cΣxc
che rappresenta il valore di un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili ci. Qualora per qualsiasi scelta di c ≠ 0 risulti Q(c) ≥ 0, sia Σx che Q(c) vengono dette di segno semidefinito positivo[233] [233] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_definita_positiva.
Condizione necessaria e sufficiente per avere Q(c)  ≥ 0 è che Σx sia una matrice di covarianza: infatti, la varianza σ2y (non negativa per definizione) di una combinazione lineare y  = ni = 1cixi di v.a. xi può essere espressa[234] [234]         σ2y  =  E{(y  − my)2}  = E{(ni  = 1cixi  − ni  = 1cimi)2}  =   =  ni  = 1nj  = 1cicjE{xixj} − ni  = 1nj  = 1cicjmimj  = ni  = 1nj  = 1cicjσij in notazione matriciale appunto come σ2y  = cΣxc. Inoltre, se det(Σx) ≠ 0 ovvero Σx ha rango pieno[235] [235] Ossia nessuna tra le v.a. xi presenta dipendenza lineare da una o più altre., sia Σx che Q(c) sono definite positive, ovvero Q(c) >  0, in quanto in tal caso tutti gli n autovalori λi sono positivi[236] [236] Tenendo infatti conto che dalla (10.39↑) si ottiene Σx = ΓΛΓ, possiamo scrivere Q(c) = cΣxc  = cΓΛΓc, che ponendo d = Γc riscriviamo ancora come Q(c) = dΛd  = pi  = 1λid2i. Se qualche λi fosse negativo o nullo, si potrebbe trovare un vettore d nullo tranne per l’unica componente corrispondente al λi  ≤ 0, e produrre una Q(c) ≤ 0, in contrasto con l’ipotesi. Pertanto è vero anche il viceversa, cioè Σx è definita positiva se λi  > 0 ∀i.. Se viceversa det(Σx)  = 0 il rango di Σx risulta p < n, con n − p autovalori nulli, e sia Σx che Q(c) sono semidefinite positive.
Analisi della convessità
La ricerca di un punto di minimo cm per Q(c) tale che Q(cm)  < Q(c) è molto semplice. Occorre innanzitutto verificare che in tale punto si annulli il vettore gradiente g(c)|c = cm con elementi gi(c) = (Q(c))/(ci)  = 2 Σxc, che corrisponde ad impostare un sistema omogeneo Σxc  = 0, che come noto ammette soluzioni   ≠ 0 solo se det(Σx) = 0. Quindi, se Σx non ha autovalori nulli ed è definita positiva, cm  = 0 è l’unico punto singolare. Per stabilire se si tratti di un minimo od un massimo, occorre valutare il segno della matrice Hessiana H(c) con elementi hij(c) = (2Q(c))/(cicj): si dimostra che se H(cm) è definita positiva allora Q(c)|c  = cm è convessa[237]  [237] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_convessa. La condizione sulla matrice Hessiana definita positiva è analoga alla proprietà nota per la derivata seconda di una funzione monovariata, ma per una dimostrazione si può visitare ad es. http://www.statistica.unimib.it/utenti/matematica/AM2/appunti/conv.pdf., e cm corrisponde ad un minimo,
convessità covarianza
oppure ad un massimo se H(cm) è definita negativa. Ma dato che per Q(c) risulta H(c) = 2  Σx indipendentemente da c, il segno di H è lo stesso di Σx, e dunquese quest’ultima è definita positiva, Q(c) è convessa per ogni c, e cm = 0 corrisponde ad un minimo globale. Nel caso di n  = 2 è possibile classificare Q(c) come un paraboloide ellittico[238] [238] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica. In particolare, la proprietà di una matrice definita positiva di avere n autovalori positivi è quella che in due dimensioni determina questo risultato, vedi http://www.mat.uniroma2.it/~gealbis/quadriche.pdf. , raffigurato nella figura a lato per il caso Σx  =  2  − 1  − 1 3 ovvero Q(c)  = z = 2x2 − 2xy  + 3y2. La superfice si dice ellittica dato che una sua intersezione con il piano Q(c) = cost individua un iper-ellissoide.
Interpretazione geometrica
Notiamo ora che Q(c) = cΣxc può essere riscritta in forma di prodotto scalare Σxc, c tra c e d = Σxc, il cui valore risulta |c||d|cosα, ovvero positivo o negativo a seconda se c e d condividono o meno lo stesso semipiano, oppure nullo se sono ortogonali. In definitiva, una matrice Σx definita positiva individua una trasformazione che mappa un qualunque vettore c in uno d  = Σxc che giace nello stesso semipiano, o in quello opposto per una matrice definita negativa.

6.9.3  Densità spettrale per onda PAM

L’acronimo pam sta per Pulse Amplitude Modulation (pag. 132↓), e individua una classe di segnali realizzati ripetendo indefinitivamente uno stesso impulso elementare g(t) con periodo T, ognuno moltiplicato (o modulato in ampiezza) per un diverso coefficiente an. Sebbene in questa definizione possa rientrare anche il caso in cui gli an siano campioni di un segnale analogico (§ 4.1↑), focalizziamo la trattazione al caso in cui rappresentino invece i simboli di una trasmissione numerica con periodo di simbolo T, a valori reali nel caso di banda base (§ 8.1.2↓), o complessi nel caso di una modulazione numerica[239] [239] Nel cui caso i valori degli an corrispondono ai punti di una costellazione nel piano dell’inviluppo complesso, vedi cap. 14↓., mentre g(t) rappresenta un impulso dati, del tipo a banda infinita (§ 8.2.1↓) oppure di Nyquist (§ 8.2.2.2↓).
Scriviamo pertanto l’onda pam nella forma
(10.41) x(t)  = n =  − ∞ang(t − nT − θ)
in cui θ è una v.a. aleatoria uniformemente distribuita tra ±(T)/(2) in modo che la (10.41↑) rappresenti un membro di un processo stazionario ergodico (vedi pag. 1↑), e verifichiamo il risultato anticipato al § 6.2.4↑, ossia che nel caso in cui i valori discreti an siano realizzazioni di v.a. statisticamente indipendenti, a media nulla, identicamente distribuite e con varianza[240] [240] Considerando gli an come elementi di una sequenza aleatoria stazionaria ergodica A, con valori ak appartenenti ad un alfabeto finito di cardinalità L, si definisce per essi un valor medio mA  = EA{ak} = Lk  = 1pkak ed una varianza σ2A  = EA{(ak  − mA)2} = Lk  = 1pk(ak  − mA)2, in cui pk rappresenta la probabilità del k-esimo valore. σ2A  = E{a2n}, al segnale dati corrisponde uno spettro di densità di potenza pari a
(10.42) Px(f) = σ2A(|G(f)|2)/(T)
Allo scopo di arrivare ad un risultato più generale, sviluppiamo i calcoli rimuovendo le ipotesi restrittive di indipendenza statistica e media nulla per gli an, per poi riapplicarle una alla volta.
Valor medio
Essendo x(t) membro di un processo ergodico, il valor medio di una sua realizzazione può essere calcolato come valore atteso rispetto alle fonti di aleatorietà, ossia i simboli an ed il ritardo θ
mX = EA,  Θ{n  =  − ∞ang(t  − nT − θ)}  = n  =  − ∞EA{an}EΘ{g(t  − nT − θ)}
avendo assunto l’indipendenza statistica tra A e Θ. Ponendo EA{an}  = mA e sviluppando il valore atteso di g(.), e ricordando che pΘ(θ) = (1)/(T)rectT(θ), otteniamo
mX  =  mAn  =  − ∞  − ∞g(t  − nT − θ)pΘ(θ)dθ  =   =  (mA)/(T)n  =  − ∞T2 − T2g(t − nT − θ)dθ  = (mA)/(T)n  =  − ∞t  − nT + T2t − nT  − T2g(u)du  =   =  (mA)/(T)  − ∞g(u)du = (mA)/(T)G(0)
avendo posto al terzo passaggio[241] [241] Risulatando dθ =  − du, gli estremi di integrazione si invertono. u  = t − nT − θ, ad avendo notato al penultimo che gli estremi di integrazione entro la sommatoria sono contigui ed abbracciano tutto il dominio di integrazione. Una prima osservazione che traiamo è che anche se la sequenza degli an non fosse a media nulla, è possibile ottenere mX  = 0 adottando una g(t) ad area nulla, come ad esempio per un codice Manchester o differenziale (pag. 1↓) o nell’fsk ortogonale incoerente (§ 14.12.1↓).
Spettro di densità di potenza
In accordo al teorema di Wiener (§ 6.2.1↑), procediamo con il calcolo del momento misto X(τ) = E{x(t)x(t  + τ)} e quindi effettuiamone la trasformata di Fourier. Anche qui l’indipendenza statistica tra Θ ed A permette di scrivere
X(τ)  =  n =  − ∞m =  − ∞E{anam}E{g(t − nT − θ)g(t + τ − mT − θ)} =   =  n =  − ∞m =  − ∞A(m − n)(1)/(T)T2 − T2g(t − nT − θ)g(t + τ − mT − θ)dθ =   =  (1)/(T)n  =  − ∞k  =  − ∞A(k)T2 − T2g(t − nT − θ)g(t + τ − (k  + n)T − θ)dθ =   =  (1)/(T)k  =  − ∞A(k)n  =  − ∞t  − nT + T2t − nT  − T2g(u)g(u + τ − kT)du  =   =  (1)/(T)k  =  − ∞A(k)  − ∞g(u)g(u  + τ − kT)du = (1)/(T)k  =  − ∞A(k)G(τ  − kT)
in cui al secondo passaggio si è sfruttata la stazionarietà della sequenza an per cui E{anam} = ℛA(m  − n), al terzo si è posto k = m − n, al quarto si è posto u = t − nT − θ, al penultimo si sono riuniti gli infiniti integrali su domini contigui in uno solo, ed all’ultimo si è riconosciuto l’integrale come quello che definisce l’autocorrelazione (traslata) di g(t), indicata come G(τ  − kT). La trasformata di Fourier del risultato finale produce
(10.43) PX(f) = (1)/(T)k  =  − ∞A(k)|G(f)|2e  − j2πfkT  = (1)/(T)|G(f)|2k  =  − ∞A(k)e  − j2πfkT
in cui |G(f)|2 = ℱ{RG(τ)} è lo spettro di densità di energia dell’impulso g(t), ed il termine e  − j2πfkT consegue dalla traslazione temporale di G(τ). L’espressione
(10.44) PA(f) = k  =  − ∞A(k)e  − j2πfkT
rappresenta la dtft (§ 4.3↑) di A(k) e prende il nome di spettro del codice, mostrando come le caratteristiche statistiche degli an contribuiscano a determinare la densità spettrale per il segnale dati associato.
Simboli incorrelati
Iniziamo a semplificare il risultato (10.43↑) considerando il caso in cui i simboli an siano statisticamente indipendenti, ma a media non nulla. In questo caso si ottiene[242] [242] Se la sequenza an è stazionaria ed a simboli indipendenti, per k  ≠ 0 si ottiene A(k) =  E{anan  + k} = E{an}E{an  + k} = m2A, mentre per k = 0 si ha A(0) = E{(an)2} = m(2)A = m2A  + σ2A come mostrato dalla (10.5↑) a pag. 1↑.
A(k)  =  m2A  + σ2A k = 0        m2A k ≠ 0 
e quindi la (10.44↑) diviene
(10.45) PA(f) = σ2A + m2Ak =  − ∞e  − j2πfkT = σ2A  + (m2A)/(T)k  =  − ∞δf − (k)/(T)
avendo sfruttato il risultato (8.18↑) a pag. 1↑ relativo alla trasformata di un treno di impulsi[243] [243] Infatti applicando la propietà di traslazione nel tempo, scriviamo {δ(t − kT)} = e  − j2πfkT, ma applicando la (8.18↑) di pag. 1↑ si ottiene e  − j2πfkT = (1)/(T)δf  − (k)/(T). . Applicando ora la (10.45↑) alla (10.43↑) si ottiene quindi
(10.46) PX(f) = (σ2A)/(T)|G(f)|2 +  (m2A)/(T2)k  =  − ∞||G(k)/(T)||2δf  − (k)/(T)
permettendo di apprezzare la presenza di linee spettrali a frequenze armoniche della frequenza di simbolo (1)/(T), con potenza determinata da |G(f)|2; scegliendo dunque un impulso tale che G(f) si annulli per f = (k)/(T), tali righe possono essere eliminate. E’ per questo motivo che ad es. la segnalazione di tipo rz (vedi § 8.2.1↓) presenta la componente ad f  = fs, vedi l’esercizio seguente.
Valor medio nullo
Nel caso in cui la sequenza an oltre ad essere incorrelata presenti anche un valor medio nullo, ovvero mA = 0, la (10.46↑) si semplifica ulteriormente e fornisce il risultato semplice già noto:
PX(f) = (σ2A)/(T)|G(f)|2
EsempioApplichiamo i risultati a cui siamo pervenuti, ai codici di linea che sono discussi al § 8.2.1↓, come ad esempio il codice rz, che adotta un impulso g(t) = Aτrectτ(t) con τ < T, per il quale risulta |G(f)|2 = A2|τsinc(fτ)|2. Se i simboli trasmessi an sono equiprobabili, incorrelati ed a valori binari 0 od 1, si ottiene che mA  = E{a}  = 12⋅1  + 12⋅0  = 12 e σ2A = E{(a  − mA)2}  = 1214  + 1214  = 14; pertanto la (10.46↑) fornisce                                 PX(f) = ((Aτ)2)/(4T)|sinc(fτ)|2  + ((Aτ)2)/(2T2)k  =  − ∞||sinck(τ)/(T)||2δ(f  − (k)/(T)). Nel caso in cui risulti τ = T2, la sommatoria presenta termini non nulli per i soli indici dispari, con area degli impulsi pari a |sinc(k2)|2 = (2kπ)2, dunque si ottiene
PRZ(f) =  ((Aτ)2)/(2T)((1)/(2)| sinc(fτ)|2  + (1)/(T) k  =  − ∞
 k dispari
(2kπ)2δ(f  − kT))
che presenta impulsi per f = 1T,  3T,  5T.... Notiamo che se i simboli sono equiprobabili si può ottenere mA = 0 e la conseguente scomparsa delle righe spettrali, semplicemente scegliendo i valori degli an come  + 1 (ad esempio per l’uno) e  − 1 (per lo zero).
Facendo tendere τ  → T, l’impulso si trasforma in nrz, per il quale |G(f)|2 = A2|Tsinc(fT)|2, che si azzera esattamente alle frequenze in cui sono centrati gli impulsi, annullando quindi tutti i termini della sommatoria, indipendentemente dalla scelta degli an, e dando luogo al risultato PNRZ(f)  = (A2)/(4)| sinc(fτ)|2, come previsto dalla (10.42↑).

6.9.4  Autocorrelazione dell’uscita di un filtro

Al § 86↑ si è affermato che, quando un processo stazionario almeno in senso lato attraversa un filtro, il processo di uscita è caratterizzato da una autocorrelazione y(τ) = ℛx(τ)*ℛh(τ). Mostriamo che è vero.
y(τ)  =  E{y(t)y(t  + τ)}  =   =  E{h(α)x(t − α)dαh(β)x(t + τ − β)dβ} =   =  h(α)h(β)E{x(t  − α)x(t  + τ − β)}dαdβ  =  (10.47)  =  h(α)h(β)x(τ + α − β)dβdα  =  (10.48)  =  h(α)xy(τ + α)dα  = ℛxy(τ)*h(  − τ)
dato che h(β)x(τ + α − β)dβ che compare nella (10.47↑) è pari alla convoluzione tra h(t) e x(t) calcolata per t = τ + α, ovvero h(β)x(τ + α − β)dβ  = x(t)*h(t)|t  = τ + α, che (vedi l’eq. (10.25↑) a pag. 1↑) a sua volta può essere espressa come
(10.49) x(t)*h(t) = x*(  − t)*x(t)*h(t) = x*(  − t)*y(t) = ℛxy(t)
dove all’ultimo passaggio si è applicata la definizione della intercorrelazione (10.24↑), oltre che la (10.25↑), ottenendo così la (10.47↑).
Per arrivare al risultato desiderato, osserviamo ora che applicando la (10.49↑) alla (10.47↑), quest’ultima può essere riscritta come
y(τ)  = ℛx(τ)*h(τ)*h( − τ)
che, una volta -trasformata, equivale a
Py(f) = Px(f)H(f)H*(f) = Px(f)|H(f)|2 =  ℱ{x(τ)*ℛh(τ)}

6.9.5  Grafici di esempio

Alla pagina seguente sono riportati i grafici della forma d’onda, dell’autocorrelazione, della densità spettrale e della densità di probabilità, per alcuni segnali tipici.

  figure f7.31.png
 
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