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7.2  Distorsione lineare

Identifica la distorsione legata al passaggio di un segnale x(t) attraverso un canale che non è perfetto (vedi pag. 1↑), ossia un sistema lineare e permanente la cui risposta in frequenza H(f) = |H(f)|ejφh(f) non ha modulo costante e/o fase lineare. Questo determina una modifica della forma d’onda, causata della dipendenza delle componenti frequenziali del segnale di uscita Y(f) = |Y(f)|ejφy(f) oltre che da quelle in ingresso, anche dai valori di H(f), come descritto a pag. 1↑. Questa distorsione è detta lineare in quanto risultato di una operazione lineare come è la convoluzione, alla quale si applica quindi il principio di sovrapposizione degli effetti, rendendo la distorsione invertibile mediante un dispositivo di equalizzazione (§ 15.4↓). D’altra parte, risultando |Y(f)| = |X(f)||H(f)| e φy(f) = φx(f) + φh(f), è possibile descrivere l’effetto della distorsione lineare considerando separatamente la risposta in frequenza |H(f)| e quella in fase φh(f), ed adottare per queste ultime delle rappresentazioni particolarmente utili a descrivere in modo complessivo l’entità delle distorsioni stesse.

7.2.1  Guadagno di potenza in dB

E’ definito dall’espressione
GdB(f) = 10log10|H(f)|2 = 20log10|H(f)|
Qualora l’occupazione di banda del segnale in transito si estenda su di una regione entro la quale GdB(f) non è costante,
distorsione lineare
l’escursione di GdB(f) in tale banda è indicata come distorsione lineare di ampiezza, e quantificata appunto in dB.
Al contrario, qualora si specifichi quale debba essere la massima distorsione lineare in dB, mediante il grafico si individua la banda entro la quale GdB(f) si mantiene all’interno della fascia consentita, ottenendo così il valore della banda per distorsione assegnata (ad esempio, la banda a 3 dB, corrispondente alla frequenza di taglio (§ 6.8.2↑), è definita per questa via).

7.2.2  Tempo di ritardo di gruppo

Le conseguenze dello scostamento della risposta in fase φh(f) rispetto alle condizioni di canale perfetto possono essere sinteticamente espresse mediante la quantità
(10.54) tg(f) =  − (1)/(2π)(d)/(df)φh(f)
che rappresenta il ritardo subito da un gruppo di frequenze vicine a f. Per chiarire il senso di questa definizione, consideriamo un segnale am-bld-ps x(t) = a(t)cos(2πf0t) la cui densità di potenza è come noto concentrata attorno a f0: in appendice 7.5.1↓ viene mostrato che, in prima approssimazione, questo si presenta in uscita da H(f) con espressione
(10.55) y(t)  = a(t − tg(f0))cos(2πf0(t − tp(f0)))
tempo di ritardo di gruppo
 
distorsione di tempo di transito
dove tp(f) =  − (φh(f))/(2πf) rappresenta il ritardo della portante, mentre tg(f) è fornito dalla (10.54↑). Nel caso di canale perfetto si avrebbe φh(f) =  −  2πfτ, e quindi tg  = tp = τ per qualunque frequenza; in caso contrario i due valori possono differire, come mostrato nella figura a lato, in cui notiamo che tg(f)τ alle frequenze per cui φh(f) viaggia parallela alla risposta in fase del canale perfetto, mentre risulta tp(f) = τ quando φh(f) la interseca.
La rappresentazione di φh(f) nei termini della sua derivata normalizzata tg(f) =  − (1)/(2π)(d)/(df)φ(f), misurabile strumentalmente, è utilizzata per valutare in modo grossolano l’entità della distorsione di fase, per questo detta anche distorsione di tempo di transito, espressa nei termini del massimo scarto tra i valori di tg(f) nell’ambito della banda di segnale, come mostrato in figura. Ovviamente, minore è questa differenza, e minore risulta l’entità della distorsione subita.
Esempio
Il filtro trasversale in figura rappresenta un collegamento radio in cui si verifica una eco dovuta a riflessione. Risulta[248]  [248] L’espressione di |H(f)|2 è stata ricavata al § 6.7.2↑. Per la fase (mostrata in figura), osservando che H(f) =  1 + ae  − j2πfT e che φ(f) =  arctan()/(), si ottiene φ(f) =  arctan( − asin2πfT)/(1 + acos2πfT).:
filtro traversale di primo ordine
figure f11.123.png
|H(f)|2  = 1 + a2 + 2acos2πfT
e dunque è presente sia distorsione lineare di ampiezza che di fase (mostrate in figura per α  = .8 e T  = 1). In particolare, |H(f)|2 è periodica di periodo f = (1)/(T) e dunque può produrre una forte attenuazione (per a≃1) anche a frequenze elevate. Se poi T cambia (perché si sposta il corpo riflettente, oppure si spostano trasmettitore o ricevitore) allora si ha a che fare con un canale tempo-variante, il cui studio è rimandato al § 16.3.4↓.

7.2.3  Effetto della distorsione lineare sui segnali

Per quanto riguarda i segnali udibili, l’orecchio umano non è sensibile alle spettro di fase[249]  [249] Al contrario, è sensibile alle sue variazioni: queste ultime sono infatti elaborate dal cervello per estrarne informazioni spazio-temporali. Confrontando i ritardi differenti e variabili dei segnali pervenuti alle orecchie, si può individuare la direzione di provenienza degli stessi, e comprendere se la loro sorgente è in movimento. e dunque le distorsioni di fase non modificano la qualità del segnale audio. Viceversa, le alterazioni del modulo di H(f) modificano il timbro dei suoni rendendolo ad es. più cupo o squillante.
Segnali modulati
Indicando con x(t), y(t) e h(t) l’inviluppo complesso (§ 9.2.1↓) di ingresso, uscita, e della risposta impulsiva di un canale, al § 9.3.2↓ si mostra che risulta y(t) = (1)/(2)x(t)*h(t), e dunque per le c.a. di b.f. di y(t) si manifesta un fenomeno indicato come intermodulazione delle c.a., descritto come
(10.56) yc(t) = (1)/(2)[xc(t)*hc(t) − xs(t)*hs(t)] ys(t) = (1)/(2)[xs(t)*hc(t) + xc(t)*hs(t)]
Qualora H(f) presenti simmetria coniugata rispetto ad f0 si ottiene hs(t) = 0, riducendo l’effetto del filtraggio a radio frequenza, a quanto si otterrebbe filtrando ciascuna delle c.a. di b.f. mediante hc(t). Pertanto in tal caso l’effetto della distorsione lineare può essere contrastato equalizzando i segnali di banda base yc(t) e ys(t) con un filtro He(f) = (aej2πfτ)/(Hc(f)) (vedi § 9.3.3↓ e 15.4↓). Ulteriori approfondimenti ai §§  9.3.4↓ e 10.4.1↓.
Segnali numerici
Se il segnale è numerico, che sia di banda base o modulato (capp. 8↓ e 14↓), una risposta di fase lineare è importante[250]  [250] Nel caso di modulazione numerica, per linearità di fase si intende quella rispetto ad f0, in modo che h(t) rappresenti un canale perfetto. Ciò corrisponde ad imporre che il tempo di ritardo di gruppo tg(f) sia costante nella banda di segnale., perché altrimenti i diversi ritardi di transito alterano l’arrivo delle componenti spettrali dell’impulso elementare, che si deforma e perde la caratteristica di Nyquist. In conseguenza, insorge il fenomeno di interferenza intersimbolica (ISI) e aumenta la probabilità di errore.
Effetto sull’SNR
Quando il segnale attraversa un canale con |H(f)| ≠ cost, lo spettro di densità di potenza si modifica, e la valutazione dell’SNR in ricezione deve tenere conto dell’effetto filtrante introdotto dal canale, ossia:
SNR = (Py)/(PN) = (BPy(f)df)/(BPN(f)df)  = (BPx(f)|H(f)|2df)/(N0B)
in cui si è indicata con B la banda a frequenze positive occupata dal segnale. Allo stesso tempo, l’SNR modifica la propria dipendenza dalla frequenza, ossia SNR(f) = (Px(f)|H(f)|2)/(N02).
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