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7.5 Appendice

7.5.1 Derivazione del tempo di ritardo di gruppo

Dimostriamo qui il risultato (10.55↑). Consideriamo di operare nel piano dell’inviluppo complesso (§ 9.2.1↓), e di disporre di un canale affetto dalla sola distorsione di fase, ovvero con risposta in frequenza H(f) = 1⋅ ejφ(f); la -trasformata dell’uscita y(t) si scrive allora come Y(f) = (1)/(2)X(f)H(f), in cui in corrispondenza dell’ingresso x(t) = a(t)cos(2πf0t) si ha X(f) = Xc(f) = A(f), mentre H(f) = 2H + (f + f0) = 2 ejφ(f + f0) = 2 ejφpb(f) dove il pedice pb simboleggia la caratteristica passa-basso dell’inviluppo complesso, ovvero che φpb(f) è la fase di H(f), e non di H(f). Sviluppando φpb(f) in serie di Maclaurin e troncandola al primo termine si ottiene[263] [263] Infatti sussistono i seguenti passaggi
φpb(f) φpb(0) + f(dφpb(f))/(df)||f = 0 = φ(f0) + f(dφ(f))/(df)||f = f0  =  2πf0(φ(f0))/(2πf0) + f(1)/(2π)(dφ(f))/(df)||f = f0 =  − 2π(f0tp(f0) + ftg(f0))
per f prossimo a zero
φpb(f)≃ − 2π(f0tp(f0) + ftg(f0))
e quindi
Y(f) A(f)ejφpb(f) = A(f)e − j2π(f0tp(f0) + ftg(f0))  =   e − j2πf0tp(f0)A(f)e − j2πftg(f0)
da cui, ricordando la proprietà di traslazione temporale, si ottiene l’antitrasformata
y(t) = e − j2πf0tp(f0)a(t − tg(f0))
a cui corrisponde[264] [264] Infatti al termine z(t) = e − j2πf0tp corrispondono le componenti a frequenza positiva e negativa (§ 9.2.5↓)
z±(t) = (1)/(2)z(t)e±j2πf0t = (1)/(2) e − j2πf0tpe±j2πf0t = (1)/(2) e±j2πf0(t − tp)
da cui otteniamo in modo semplice il corrispondente segnale
z(t) = z + (t) + z − (t) = (1)/(2)( ej2πf0(t − tp) + e − j2πf0(t − tp)) = cos(2πf0(t − tp))
il segnale modulato espresso dalla (10.55↑).
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