Sezione 9.1: Contesti applicativi e prime definizioni Su  Capitolo 9: Segnali modulati Sezione 9.3: Transito dei segnali modulati nei sistemi fisici 

9.2  Rappresentazione dei segnali modulati

In questa sezione sviluppiamo la teoria che permette di scrivere un segnale modulato x(t) nella forma
(11.1) x(t)  = xc(t)cos2πf0t  − xs(t)sin2πf0t
in cui, se f0 è scelta entro la banda occupata dal segnale, xc(t) e xs(t) sono segnali limitati in banda con banda contigua all’origine, e le alterazioni prodotte sul segnale modulato da parte del messaggio modulante m(t), possono essere descritte mediante operazioni condotte su xc(t) ed xs(t). Ciò significa che x(t) potrà essere sintetizzato, ed il messaggio recuperato, agendo su segnali con banda molto ridotta rispetto alla massima frequenza di x(t). Iniziamo a mostrare come xc(t) ed xs(t) siano in realtà la parte reale ed immaginaria di terzo segnale di banda base, chiamato...

9.2.1  Inviluppo complesso

E’ definito come un segnale complesso x(t) = xc(t) + jxs(t) ed è una estensione del concetto
inviluppo complesso
di fasore (vedi §  2.1.3↑), che a sua volta consente di rappresentare un segnale del tipo x(t) = acos(ω0t + φ) per mezzo del fasore x  = aejφ,mediante la relazionex(t)  = ℜ{xejω0t}. In modo simile, l’inviluppo complesso x(t) può essere pensato come un fasore per il quale il modulo a e la fase φ siano funzioni del tempo, ovvero
(11.2) x(t)  = a(t)ejφ(t)
rappresentato nella figura a fianco assieme ad una sua potenziale traiettoria temporale. Ad x(t) possiamo quindi associare un segnale reale
(11.3) x(t)  = ℜ{x(t)ejω0t} = ℜ{a(t)ej(ω0t + φ(t))} = a(t)cos(ω0t + φ(t))
in cui il termine ejω0t corrisponde ad imprimere ad x(t) una rotazione in senso antiorario a velocità angolare ω0. D’altra parte, indicando con xc(t) = a(t)cosφ(t) ed xs(t) = a(t)sinφ(t) la parte reale ed immaginaria dell’inviluppo complesso x(t)[368] [368] xc(t) e xs(t) si ottengono a partire dalla rappresentazione polare x(t) =  a(t)ejφ(t) di x(t), semplicemente sviluppando la stessa come x(t) = a(t)ejφ(t) = a(t)cosφ(t) + ja(t)sinφ(t) = xc(t) + jxs(t), la (11.3↑) è equivalente alla (11.1↑), dato che[369]  [369] Si faccia uso della relazione cos(α  + β)  = cosαcosβ  − sinαsinβ.
(11.4) x(t)  =  {x(t)ejω0t} = a(t)cos(ω0t  + φ(t)) =   =  a(t)[cosω0tcosφ(t)  − sinω0tsinφ(t)]  =  xc(t)cos2πf0t  − xs(t)sin2πf0t

9.2.2  Modulazione di ampiezza e/o angolare

L’inviluppo complesso è un potente strumento che permette di descrivere il processo di modulazione in modo semplice ed omogeneo. Ad esempio, la sua rappresentazione polare x(t) = a(t)ejφ(t) che compare nella (11.3↑) evidenzia come la traslazione in frequenza del segnale a(t) mediante moltiplicazione per un coseno a frequenza (portante) (vedi § 3.6.2↑) ovvero x(t) = a(t)cos(2πf0t), corrisponda ad un inviluppo complesso x(t) = a(t) a fase nulla: ciò prende il nome di modulazione di ampiezza[370] [370] Indicata anche come am (amplitude modulation). dato che appunto l’ampiezza del coseno varia in funzione del segnale a(t). Se al contrario consideriamo un inviluppo complesso con modulo costante x(t) = ejφ(t), l’andamento della fase φ(t) imprime alla portante un diverso tipo di modulazione, detto modulazione di fase[371] [371] Indicata anche come pm (phase modulation). o angolare in quanto il segnale modulante (φ(t) in questo caso) altera l’argomento del coseno, ottenendo x(t) = cos(2πf0t  + φ(t)).
Prima di proseguire, riflettiamo sul risultato mostrato alla figura seguente, in cui si considera un segnale modulante m(t) prima costante, poi a rampa lineare, e quindi decrescente. Ponendo x(t) = m(t) si ottiene una portante modulata in ampiezza, mentre con x(t) = ejm(t) la portante modulata angolarmente x(t) = cos(2πf0t  + m(t)) presenta una ampiezza
modulazione di ampiezza e angolare
costante, ed una frequenza che (nell’intervallo in cui m(t) aumenta linearmente) cambia in un valore più elevato, per poi diminuire. In pratica, se m(t) = αt, allora l’argomento del coseno diviene 2πf0t  + αt = 2πf0  + (α)/(2π)t.
Per meglio descrivere il caso di modulazione angolare, definiamo una fase istantanea
ψ(t)  = 2πf0t + φ(t)
ed una frequenza istantanea
fi(t) = (1)/(2π)(d)/(dt)ψ(t) = f0 + (1)/(2π)(d)/(dt)φ(t)
In questi termini, la modulazione angolare viene distinta in modulazione di fase propriamente detta quando m(t) altera la fase in modo diretto, ovvero
φ(t)  = kφm(t)
mentre viene detta modulazione di frequenza quando
(11.5) φ(t)  = 2πkft  − ∞m(τ)dτ
dato che in questo caso è la frequenza istantanea a dipendere direttamente dal segnale modulante: fi(t) = f0  + kfm(t).

9.2.3  Componenti analogiche di bassa frequenza

E’ il nome dato alle parti reale ed immaginaria dell’inviluppo complesso espresso in coordiante cartesiane, ovvero x(t) = xc(t) + jxs(t), legate alla rappresentazione polare x(t) = a(t)ejφ(t) dalle relazioni xc(t) = a(t)cosφ(t) e xs(t) = a(t)sinφ(t), e che come abbiamo visto (eq. 11.4↑) permettono di descrivere
figure f8.13.png
completamente un segnale modulato (11.3↑) nella forma x(t) = xc(t)cos2πf0t  − xs(t)sin2πf0t.
Vedremo tra breve che, scegliendo per f0 una frequenza al centro della banda 2W del segnale modulato, le componenti analogiche di bassa frequenza xc(t) e xs(t) (d’ora in poi c.a. di b.f.) sono limitate in banda con banda 2W centrata attorno all’origine. Che l’inverso sia vero è indubbio, dato che il segnale modulato espresso dalla (11.1↑) può essere ottenuto partendo da xc(t) e xs(t) limitate in banda, realizzando il semplice schema di elaborazione mostrato in figura.
componenti analogiche di bassa frequenza
Questa possibilità offre dunque una via per sintetizzare un segnale modulato (in ampiezza, od angolarmente, od entrambe le cose), a partire dalle sue c.a. di b.f., che a loro volta sono ottenibili a partire da a(t) e φ(t). Restano comunque (per ora) aperti i seguenti aspetti:
Mentre la seconda domanda può essere affrontata dal punto di vista formale solo dopo aver introdotto il segnale analitico x  + (t) al § 9.2.5↓, la prima può trovare una risposta di tipo circuitale nella demodulazione omodina (vedi § 9.5↓), oppure di tipo speculativo, dopo aver introdotto un particolare filtro, di Hilbert, che applicato ad x(t) ne produce la sua trasformata di Hilbert ^x(t) = ℋ{x(t)}, da cui poi ottenere xc(t) ed xs(t).

9.2.4  Filtro di Hilbert

filtro di Hilbert
Filtro di Hilbert
Il filtro di Hilbert è caratterizzato da una risposta in frequenza descritta come
(11.6) H(f) =  − jsgn(f)
ed il cui andamento è rappresentato nella figura a lato, che permette di evidenziare l’andamento costante del modulo |H(f)| = 1, e quello discontinuo della fase H(f), che passa da (π)/(2) per f < 0 a   − (π)/(2) per f  > 0.
Il risultato del passaggio di un segnale x(t) attraverso[372] [372] Al § 9.7.1↓ di mostra che al filtro di Hilbert corrisponde una risposta impulsiva h(t) =  ℱ − 1{H(f)} = (1)/(πt), che consente di scrivere la trasformata stessa nella forma di un integrale di convoluzione: ^x(t) =  ℋ{x(t)} = (1)/(π)  − ∞(x(τ))/(t − τ)dτ  = x(t)*(1)/(πt). La realizzazione di un filtro di Hilbert con una risposta in frequenza esattamente descritta dalla (11.6↑) può risultare molto ardua, a causa della brusca transizione della fase in corrispondenza di f = 0. In realtà, il filtro di Hilbert si usa principalmente per segnali modulati, che non presentano componenti spettrali a frequenze prossime allo zero.
Pertanto, lo stesso scopo può essere svolto da un diverso filtro H(f), con andamento più dolce della fase, e che presenti gli stessi valori nominali del filtro di Hilbert solamente per le frequenze comprese nella banda di segnale.
figure f8.16.png
il filtro di Hilbert è un secondo segnale ^x(t) detto trasformata di Hilbert del primo, indicata come ^x(t) = ℋ{x(t)}, ed il cui andamento in frequenza ha espressione
^X(f) = ℱ{^x(t)} = H(f)X(f) =  − jsgn(f)⋅X(f)
ossia differisce da X(f) per uno sfasamento di (π)/(2) per frequenze rispettivamente positive o negative. Per la trasformata di Hilbert sussistono le proprietà riportate in nota[373]  [373] Per un approfondimento, vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform, di cui accenniamo brevemente sole alcune::
  • {x(t)  = x0} = 0: una costante ha trasformata di Hilbert nulla, e la trasformata di Hilbert è definita a meno di una costante. Il valore medio di x(t) non si ripercuote su ^x(t);
  • {{x(t)}} = ^^x(t)  =  − x(t): infatti una rotazione di fase pari a π radianti corrisponde ad una inversione di segno;
  •   − ∞x(t)^x(t)dt = 0: ortogonalità tra un segnale e la sua trasformata di Hilbert;
  • {x(t)*h(t)} = ^x(t)*h(t)  = x(t)*^h(t): la trasformata di Hilbert di una convoluzione (cioè dell’uscita di un filtro) è la convoluzione tra un operando trasformato e l’altro no.
.

9.2.4.1  Estrazione delle componenti analogiche di bassa frequenza

Se xc(t) ed xs(t) sono limitate in banda ±W con W < f0, al § 9.7.2↓ si mostra la possibilità di scrivere
{xc(t)cosω0t} = xc(t)sinω0t {xs(t)sinω0t} =  − xs(t)cosω0t
che, assieme all’espressione (11.1↑) di x(t) in funzione di xc(t) ed xs(t), permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale modulato, e quindi di impostare un sistema di due equazioni nelle due incognite xc(t) e xs(t):
x(t)  = xc(t)cosω0t − xs(t)sinω0t ^x(t) = xc(t)sinω0t + xs(t)cosω0t
componenti analogiche di bassa frequenza
Il sistema può essere risolto, istante per istante[374]  [374] Possiamo notare che la matrice dei coefficienti rappresenta una rotazione di assi (vedi as es. a pag. 1↓), rotazione che “ruota” letteralmente a velocità angolare ω0. Tale rotazione stabilisce che le coppie di segnali (xc(t), xs(t)) e (x(t), ^x(t)) rappresentano entrambe l’evoluzione dell’inviluppo complesso x(t) =  a(t)ejφ(t): mentre xc(t) e xs(t) lo rappresentano su due assi ad esso solidali, x(t) e ^x(t) sono definiti su assi ruotanti che tengono conto della frequenza portante. Effettivamente, si può mostrare che risulta ^x(t) =  Im{x(t)ejω0t} = a(t)sin(ω0t  + φ(t)), cosicché come xc(t) e xs(t) sono Re e Im di x(t), così x(t) e ^x(t) sono Re e Im di x(t)ejω0t, ovvero x(t) rotante., permettendo in definitiva di esprimere le componenti analogiche di bassa frequenza in termini di x(t) e di ^x(t):
xc(t) = x(t)cosω0t + ^x(t)sinω0t xs(t) = ^x(t)cosω0t  − x(t)sinω0t
Pertanto, le componenti analogiche di bassa frequenza possono essere estratte direttamente da x(t), utilizzando un filtro di Hilbert per ottenere ^x(t), e combinando i due segnali per mezzo di oscillatori in quadratura, in accordo allo schema circuitale mostrato nella figura a fianco.
Infine, xc(t) e xs(t) permettono di risalire alle modulazioni di ampiezza ed angolare:
a(t)  = |x(t)| = (x2c(t) + x2s(t)) φ(t)  = arg{x(t)} =  arctan(xs(t))/(xc(t))
Prima di procedere a calcolare Px(f), non resta che definire x + (t), ovvero il...

9.2.5  Segnale analitico

Come x(t) ed ^x(t), anche il segnale analitico associato ad x(t) è di tipo passa banda, e corrisponde al suo contenuto a frequenze positive x  + (t), introdotto al § 9.1.5↑. Si può mostrare[375]  [375]  L’eguaglianza (11.7↓) si dimostra valutandola nel domino nella frequenza, ricordando la definizione di filtro di Hilbert, in quanto risulta:
X + (f) = (1)/(2)(X(f) + j^X(f)) =  (1)/(2){X(f)  + j[  − jX(f)]} =  X(f) conf  > 0 (1)/(2){X(f) + j[jX(f)]} =  0 conf  < 0
infatti, a frequenze negative il prodotto jj  =  − 1 costituisce uno sfasamento di π radianti per tutte le frequenze, provocando l’elisione tra X(f) e -X(f) per tutti i valori f < 0.
che x + (t) è esprimibile nei termini di x(t) e ^x(t), secondo l’espressione:
(11.7) x  + (t)  = (1)/(2)(x(t) + j^x(t))
Molto utile è anche la relazione che lega il segnale analitico all’inviluppo complesso
(11.8) x  + (t)  = (1)/(2)x(t)ejω0t
che si ottiene tenendo conto dalla (11.7↑), come illustrato alla nota[376]  [376] Sviluppando il secondo membro di (11.8↑) si ottiene:
(1)/(2)x(t)ejω0t  =  (1)/(2)(xc(t) + jxs(t))(cosω0t  + jsinω0t)  = (1)/(2)[(xc(t)cosω0t  − xs(t)sinω0t)] +   +  j(xc(t)sinω0t  + xs(t)cosω0t)] = (1)/(2)(x(t)  + j^x(t))
che corrisponde al secondo membro di (11.7↑), e quindi a x  + (t).
. Effettivamente, l’ultima relazione rappresenta il contenuto a frequenze positive di x(t), a patto che x(t) sia di banda base con frequenza massima W  < f0; in tal caso infatti, trasformando la (11.8↑), risulta
X + (f)  = ℱ{x  + (t)} = (1)/(2)X(f − f0)
che giace completamente nel semipiano f  > 0.
Alternativamente alla (11.7↑), si può ottenere x  + (t) senza utilizzare ^x(t), pensandolo come il risultato del passaggio di x(t) attraverso un filtro Hfp(f)[377] [377] Il pedice fp sta per frequenze positive. (vedi fig. 9.16↓)con risposta in frequenza a gradino unitario:
x + (t)  = x(t)*hfp(t)


segnale analitico e inviluppo complesso segnale analitico e inviluppo complesso

Figura 9.16 Derivazione di x + (t) mediante filtraggio, e densità spettrale di x(t)

9.2.6  Densità spettrale di segnali passa-banda

Invertendo la (11.8↑) otteniamo che x(t) = 2x  + (t)e  − jω0t, la cui trasformata ci consente di valutare l’espressione di X(f):
X(f)  = 2X + (f  + f0)
Quest’ultimo risultato consente di osservare, con riferimento alla fig. 9.16↑, che in linea di principio X(f) non gode di simmetria rispetto allo zero, come peraltro prevedibile per x(t) complesso. Ricordando ora che x(f) = |X(f)|2, otteniamo
x(f) = 4|X  + (f + f0)|2 =  4ℰx + (f  + f0)
Un risultato del tutto simile può essere ottenuto[378]  [378] La (11.9↓) può essere motivata seguendo le stesse linee guida indicate alla nota 6.2.1↑ a pag. 1↑. per segnali di potenza, ovvero
(11.9) Px(f) = 4 Px + (f + f0)
Pertanto, la densità di potenza di x(t) si ottiene da quella a frequenze positive di x(t), traslata nell’origine e moltiplicata per 4. Infine, la discussione riportata al § 9.6↓ mostra come un risultato del tutto simile sia valido anche nel caso in cui x(t) è membro di un processo ergodico.
Esempi
a) - Sia dato il segnale x(t) la cui trasformata X(f) è riportata nel lato sinistro in alto di Fig. 9.17↓. Quali sono le sue componenti analogiche di bassa frequenza, espresse nel dominio della frequenza e del tempo?
Notiamo che |X  + (f)| = (k)/(2)  rect2B(f  − f0), e dunque
|X(f)| = 2|X  + (f  + f0)|  = krect2B(f)
Per la fase si opera una traslazione analoga, ma senza moltiplicare per il fattore 2 che, in quanto fattore, incide solo sul modulo.
Osserviamo ora che X(f) ha modulo pari e fase dispari, e dunque la sua antitrasformata è un segnale reale: x(t) =  xc(t)  + jxs(t) = xc(t), ovvero la componente in quadratura xs(t) è nulla. Pertanto, risulta[379] [379] Approfittiamo dell’occasione per notare che, pur potendo scrivere X(f)  = Xc(f) + jXs(f), non è assolutamente lecito dire che {X(f)} = Xc(f) e {X(f)} = Xs(f); infatti sia Xc(f) che Xs(f) possono a loro volta essere complessi (mentre xc(t) e xs(t) sono necessariamente reali). Xc(f)  = krect2B(f)e  − j2π(A)/(2πB)f Xs(f) = 0 , ed effettuando l’antitrasformata di Xc(f) si ottiene
xc(t) = 2kBsinc2Bt  − (A)/(2πB)
in cui la traslazione nel tempo è dovuta alla fase lineare presente in X(f).
b) - Lo stesso problema precedente, ma applicato al segnale b), la cui trasformata X(f) è mostrata al lato destro in alto di Fig. 9.17↓.
Eseguendo di nuovo le operazioni di traslazione si ottiene l’inviluppo complesso riportato in basso. Questa volta la fase di X(f) non è dispari, e dunque non si verificano le condizioni di simmetria coniugata, quindi x(t) è complesso. Si ha: x(t)  = kB(sinπBt)/(πBt)2ejφ e dunque
xc(t)  = kB(sinπBt)/(πBt)2cosφ xs(t) = kB(sinπBt)/(πBt)2sinφ    ⇒   Xc(f) = k1  − (|f|)/(B)cosφ Xs(f) = k1  − (|f|)/(B)sinφ
con |f| < B.

a)    figure f8.19.png b)    figure f8.20.png

Figura 9.17 Densità spettrali utilizzate negli esempi

9.2.7  Schema delle trasformazioni

La figura che segue riassume le relazioni esistenti tra le grandezze x(t), (t), e x  + (t), di tipo passa banda, ed x(t), xc(t) e xs(t), di banda base.
segnale analitico, inviluppo complesso, trasformata di Hilbeert. modulazione
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