Sezione 9.2: Rappresentazione dei segnali modulati Su  Capitolo 9: Segnali modulati Sezione 9.4: Condizioni per inviluppo complesso reale 

9.3  Transito dei segnali modulati nei sistemi fisici

Trattiamo ora delle trasformazioni subite da un segnale modulato nel passaggio attraverso un sistema fisico, in funzione dell’inviluppo complesso del segnale x(t) e di quello della risposta impulsiva h(t), in modo da poter svolgere i calcoli nei termini di segnali di banda base.

9.3.1  Filtraggio

Poniamoci nelle condizioni generali di un segnale x(t) che attraversa un filtro h(t),
filtraggio di segnali modulati
che per entrambi valgano le condizioni di limitazione in banda, e che si adotti una stessa f0 di riferimento. Anche il segnale in uscita y(t) è dello stesso tipo, e può essere mostrato[380]  [380] Per dimostrare il risultato, mostriamo innanzitutto che il segnale analitico in uscita vale y  + (t)  = x + (t)*h + (t). Infatti, omettendo di indicare nei passaggi la variabile (t) per compattezza di notazione, risulta
x + (t)*h + (t) = [x*hfp]*[h*hfp] = [x*h]*[hfp*hfp] = y*hfp  = y + (t)
in cui hfp(t) è la risposta impulsiva del filtro necessario ad estrarre il segnale analitico. Non resta ora che mostrare lo sviluppo per il risultato anticipato:
(1)/(2)x(t)*h(t)  =  (1)/(2)[2x  + (t)e  − jω0t]*[2h  + (t)e  − jω0t]  =   =  2 − ∞x  + (τ)e  − jω0τh  + (t − τ)e − jω0(t − τ)dτ  =   =  2e  − jω0t − ∞x  + (τ)h  + (t − τ)dτ = 2e  − jω0ty  + (t)  = y(t)
che il suo inviluppo complesso vale:
(11.10) y(t)  = (1)/(2)x(t)*h(t)
da cui è facile ottenere l’espressione di yc(t) ed ys(t) in funzione delle c.a. di b.f. di x(t) e di quelle del filtro:
y  =  (1)/(2)x*h  = (1)/(2)[xc  + jxs]*[hc + jhs] =   =  (1)/(2)[xc*hc  − xs*hs]  + j(1)/(2)[xs*hc  + xc*hs]
filtraggio di segnali modulati
Dunque per le componenti reale e immaginaria del segnale modulato, dopo il filtraggio, sussistono le relazioni
(11.11) yc(t) = (1)/(2)[xc(t)*hc(t) − xs(t)*hs(t)] ys(t) = (1)/(2)[xs(t)*hc(t) + xc(t)*hs(t)]
e lo schema riportato a lato raffigura un circuito equivalente alle (11.11↑), ossia operante su xc(t) e xs(t), e che determina lo stesso risultato.

9.3.2  Intermodulazione tra componenti analogiche

Osservando il risultato (11.11↑) notiamo che sia yc(t) che ys(t) dipendono in generale da entrambe le componenti xc(t) e xs(t): questo fenomeno prende il nome di intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza, ed è fonte di una distorsione ineliminabile in banda base. Infatti, le informazioni contenute in xc(t) ed xs(t) sono ora mescolate in modo tale che, anche disponendo sia di yc(t) che di ys(t), non possono essere separate. Gli unici casi in cui ciò non si verifica sono relativi all’evenienza che x(t) oppure h(t) presentino una sola delle due c.a. di b.f., ossia che almeno uno tra x(t) e h(t) sia solo reale o solo immaginario.

9.3.3  Equalizzazione di banda base

Nel caso in cui non avvenga il fenomeno di intermodulazione suddetto, come ad esempio se h(t) = hc(t), e quindi risulti
yc(t)  = (1)/(2)xc(t)*hc(t) ys(t) = (1)/(2)xs(t)*hc(t)
allora yc(t) e ys(t) sono affette unicamente da distorsione lineare (§  7.2↑), e quindi le componenti trasmesse xc(t) e xs(t) possono essere ri-ottenute a partire da quelle ricevute yc(t) e ys(t) mediante un procedimento di equalizzazione (vedi anche § 15.4↓), che consiste nel loro passaggio attraverso un filtro con risposta impulsiva geq(t), la cui risposta in frequenza risulta pari a Geq(f) = ae − j2πfτHc(f), permettendo di ottenere
xc(t)  = 2yc(t)*geq(t) xs(t)  = 2ys(t)*geq(t)
Infatti in questo modo la risposta in frequenza complessiva, risultato del passaggio del segnale modulato prima nel canale, e quindi nell’equalizzatore, risulta essere il prodotto delle due risposte in frequenza Hc(f)Geq(f), e quindi pari a quella di un canale perfetto H(f) = ae − j2πfτ (vedi §  120↑).
Se al contrario sono presenti entrambe hc(t) e hs(t), ed entrambe xc(t) e xs(t), allora non è più possibile eseguire il processo di equalizzazione operando sulle c.a. di b.f., mentre è teoricamente possibile operare direttamente sul segnale modulato, a patto di non incontrare ostacoli tecnologici dovuti alle elevate frequenze in gioco.

9.3.4  Segnali a banda stretta

Dimostriamo ora che se H(f)cost nella banda del segnale, l’alterazione subita si limita ad una semplice rotazione φ del piano dell’inviluppo complesso, ovvero
yc(t)  = xc(t)cosφ − xs(t)sinφ ys(t) = xc(t)sinφ + xs(t)cosφ
che è invertibile con φ fisso e noto, ed il cui effetto è effettivamente annullato qualora la fase della portante di demodulazione produca una rotazione opposta, vedi § 10.2.3.1↓.
Consideriamo pertanto un segnale modulato x(t) che occupi una banda B molto piccola rispetto alla frequenza portante f0, ovvero tale che Bf0: in tal caso può essere lecito assumere che nell’intorno della banda di segnale la risposta in frequenza H(f)|fϵB non vari molto[381] [381] Ad esempio, dal punto di vista di un modello circuitale ciò corrisponde a realizzare le condizioni di adattamento di impedenza (vedi § 15.1.1.4↓) in forma approssimata, ponendo Zg(f) =  Zi(f0) e Zc(f) =  Zu(f0), dato che per frequenze |f − f0|  < (B)/(2) con Bf0, le impedenze Zi(f) e Zu(f) non variano di molto. rispetto a H(f0), e dunque i valori di modulo e fase sono approssimati come costanti[382] [382] Detta anche condizione per un fading piatto, vedi pag. 1↓., ossia H(f)H(f0)  = G0ejφ0. Possiamo quindi scrivere H(f) = 2H + (f  + f0) = 2G0ejφ0, da cui risulta un inviluppo complesso del canale pari a h(t) = ℱ  − 1{H(f)} = 2G0ejφ0δ(t), ovvero un impulso di area complessa 2G0ejφ0  = 2G0(cosφ0  + jsinφ0). In uscita da H(f) si osserva pertanto (eq. 11.10↑)
y(t)  =  (1)/(2)x(t)*h(t) = (xc(t)  + jxs(t))*G0(cosφ0 + jsinφ0)δ(t) =   =  G0[(xc(t)cosφ0  − xs(t)sinφ0)  + j(xc(t)sinφ0  + xs(t)cosφ0)]
che identifica la trasformazione
segnali a banda stretta
subita come una rotazione antioraria[383] [383] Mostriamo che la (11.12↓) è una rotazione antioraria, esprimendo la posizione di
figure f11.112a.png
rotazione
antioriaria
x = ρejα in coordinate cartesiane, ovvero xc  = ρcosα e xs  = ρsinα. A seguito della rotazione positiva φ, x acquisisce la nuova posizione x’  = ρejα + φ, ovvero xc’  = yc =  ρcos(α  + φ) = ρ(cosαcosφ  − sinαsinφ) = xccosφ  − xssinφ    xs’ = ys =  ρsin(α + φ) = ρ(sinαcosφ  + cosαsinφ) = xcsinφ  + xscosφ . Con riferimento alle figure, immaginiamo il punto x ruotare in senso antiorario di φ0. Le nuove coordinate corrispondono allora a quelle in cui sono gli assi a ruotare di φ0 in senso orario.
di y(t) rispetto a x(t), equivalente alla rotazione oraria degli assi mostrata in figura, ed a cui corrisponde la relazione
(11.12) yc(t) ys(t)   =  cosφ0  − sinφ0 sinφ0 cosφ0 xc(t) xs(t)
con una matrice dei coefficienti costante. Notiamo che le (11.12↑) possono essere riscritte in forma sintetica come y(t) = x(t)ejφ0, che al § 10.2.3.1↓ si mostra essere equivante ad un ritardo della portante ricevuta, ovvero ad un errore di fase nella portante di demodulazione.
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