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9.4  Condizioni per inviluppo complesso reale

Data la rilevanza dei segnali con inviluppo complesso ad una sola componente, determiniamo quali condizioni si debbano verificare per dar luogo ad una simile circostanza, iniziando da un esempio.

9.4.1  Filtro passa banda ideale

E’ descritto da una risposta in frequenza H(f) nulla ovunque, tranne che negli intervalli di frequenze f0  − W ≤ |f|  ≤ f0 + W dove ha valore unitario. Pertanto, risulta H(f) = rect2W(f  − f0) + rect2W(f + f0), da cui si ottiene facilmente
(11.13) h(t)  =   − 1{H(f)} = 2Wsinc(2Wt)(ej2πf0t  + e − j2πf0t) =   =  4Wsinc(2Wt)cos2πf0t
filtro passabanda ideale
D’altra parte, l’andamento di H(f) è quello tipico dei segnali modulati, e quindi per h(t) vale la sua rappresentazione in termini di inviluppo complesso h(t) = hc(t) + jhs(t), per cui possiamo scrivere
h(t)  = hc(t)cos2πf0t − hs(t)sin2πf0t
Confrontando questa espressione con la (11.13↑), si osserva che deve necessariamente risultare hs(t) = 0 ed hc(t) = 4W(sin2πWt)/(2πWt), per cui h(t) è reale.

9.4.2  Simmetria coniugata attorno ad f0

Il filtro passa banda ideale presenta h(t) reale, in quanto H(f) = 2H + (f  + f0) = 2rect2W(f) esibisce simmetria coniugata attorno all’origine. E’ proprio questa la condizione cercata, che ci permette di enunciare
Un segnale modulato x(t) possiede un inviluppo complesso x(t) reale, se lo spettro di quest’ultimo X(f) ha simmetria coniugata attorno all’origine X(f) = X*(  − f), ovvero il segnale analitico X + (f) ha simmetria coniugata attorno ad f0: X  + (f0  + φ) = [X  + (f0 − φ)]* (|φ|  < W).
In altre parole, x(t) = xc(t) se X  + (f) ha modulo pari e fase dispari rispetto ad f0.
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