Sezione 9.5: Demodulazione coerente delle componenti analogiche di bassa frequenza Su  Capitolo 9: Segnali modulati Sezione 9.7: Appendici 

9.6  Rappresentazione dei processi in banda traslata

Finora abbiamo trattato i casi di segnali di energia e di potenza; per ottenere una rappresentazione adeguata anche dei processi, occorre ancora un pò di teoria. Il lettore impaziente, o timoroso di perdersi tra i calcoli (che sono effettivamente intricati), può saltare direttamente alle conclusioni (§ 9.6.1↓), che sono le uniche che ci serviranno per il resto del testo. Altrimenti, armiamoci di pazienza e iniziamo.
Siamo ora interessati ad ottenere, una volta noto uno spettro di densità di potenza Px(f) limitato in banda attorno ad f0, delle rappresentazioni utili per gli spettri di densità di potenza delle componenti analogiche di bassa frequenza, ovvero espressioni per le loro funzioni di autocorrelazione. Infatti, come abbiamo visto, il passaggio di un segnale in banda traslata attraverso un filtro può essere scomposto in 4 filtraggi in banda base: pertanto la rappresentazione delle c.a. di b.f. è sufficiente per ottenere tutte le altre grandezze di interesse.
Osserviamo innanzitutto che, se un processo aleatorio presenta una Px(f) limitata in banda attorno ad f0, allora la funzione di autocorrelazione x(τ) = ℱ  − 1{ Px(f)} può essere espressa nei termini delle componenti analogiche di bassa frequenza della funzione di autocorrelazione stessa:
x(τ)  = ℛc(τ)cosω0τ  − ℛs(τ)sinω0τ
Pertanto, non si ottengono direttamente le c.a. di b.f. del processo, come invece accade per segnali di energia di cui è noto X(f). D’altra parte, è innegabile che una realizzazione di x(t) sia limitata in banda centrata a f0, e che quindi per essa debba esistere la rappresentazione x(t) = xc(t)cosω0t  − xs(t)sinω0t; data la natura aleatoria di x(t), gli stessi xc(t) ed xs(t) sono realizzazioni di processi. Questi ultimi in generale non sono indipendenti tra loro, in quanto la loro combinazione deve produrre un x(t) che appartiene al processo originario. Si pensi ad esempio al segnale x(t)  = xc(t)cosω0t, in cui xc(t) è stazionario ed ergodico: come già osservato al §  6.6.1↑, x(t) è solamente ciclostazionario.
Come prima cosa, proviamo a calcolare la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso di una generica realizzazione:
(11.14) x(τ)  =  E{x*(τ)x(t + τ)} =   =  E{[xc(τ)  − jxs(τ)][xc(t + τ)  + jxs(t  + τ)]} =   =  E{xc(τ)xc(t + τ)  + xs(τ)xs(t  + τ)  +    + j[xc(τ)xs(t + τ)  − xs(τ)xc(t  + τ)]} =   =  xc(τ) + ℛxs(τ)  + j[xcxs(τ)  − ℛxsxc(τ)]
e queste 4 quantità sono calcolate al § 9.7.3↓. Il risultato finale dei calcoli, nel caso in cui xc(t) e xs(t) siano stazionari ed ergodici, fornisce le espressioni
(11.15) xc(τ)  =    ℛxs(τ)    = ℛx(τ)cosω0τ + ^x(τ)sinω0τ xcxs(τ)  =  − ℛxsxc(τ)  = ^x(τ)cosω0τ  − ℛx(τ)sinω0τ
in cui ^x(τ) = ℋ{x(τ)} è la trasformata di Hilbert di x(τ). Osserviamo quindi come, sostituendo (11.15↑) in (11.14↑), risulti x(τ) = 2[xc(τ) + jxcxs(τ)], e pertanto
(11.16) Px(f) = 2[ Pxc(f) + jPxcxs(f)]
Sviluppiamo ora una serie di considerazioni basate sui risultati fin qui ottenuti.
  1. Dall’ultima espressione sembrerebbe che Px(f) possa assumere valori complessi, perdendo il senso fisico di potenza: ma non è così. Osserviamo infatti che xcxs(τ) è un segnale reale dispari[388] [388] Infatti xcxs(τ)  = ^x(τ)cosω0τ  − ℛx(τ)sinω0τ, in cui x(τ) = ℱ − 1{ Px(f)} è pari e sinω0t è dispari, mentre ^x(τ) è dispari (non è stato dimostrato, ma vale per le trasformate di Hilbert di segnali pari) e cosω0τ è pari. Inoltre, essendo xc(t) ed xs(t) reali, xcxs(τ) è reale.: pertanto Pxcxs(f) = ℱ{xcxs(τ)} è completamente immaginario, e dunque Px(f) è reale;
  2. se risultasse xcxs(τ) = 0 per ogni τ allora Pxcxs(f) = 0 e Px(f) = 2 Pxc(f) sarebbe reale pari; la presenza di Pxcxs(f) lo può invece rendere asimmetrico, permettendo di ottenere ancora Px(f) = 4 P  + x(f  + f0) (non dimostrato);
  3. corollario del punto precedente è che, se Px(f) è simmetrico rispetto ad f0, allora xcxs(τ) = 0 e le due c.a. di b.f. sono incorrelate; se inoltre queste sono congiuntamente gaussiane, allora risultano anche statisticamente indipendenti;
  4. dato che xcxs(τ) =   − ℛxsxc(τ) sono dispari, deve risultare che xcxs(0) =  − ℛxsxc(0) = 0; se i processi sono a media nulla, allora la potenza è pari al valore dell’autocorrelazione per τ = 0, e quindi
    Px  = σ2x  = ℛx(0)  = 2ℛxc(0) = 2ℛxs(0) = 2σ2xc  = 2σ2xs  = 2 Pxc  = 2 Pxs
    In definitiva, le componenti analogiche di bassa frequenza hanno entrambe potenza metà di quella dell’inviluppo complesso;
  5. xc(t) e xs(t) hanno (ciascuna) potenza pari a quella di x(t), ovvero Pxc  = Pxs  = Px; infatti, ricordando che Px(f) = 4 P  + x(f  + f0), si ottiene Px  = 4 P  + x. Dovendo chiaramente risultare Px  = P  + x + P − x, si ottiene
    Px  = (1)/(4)[ Px + Px] = (1)/(2) Px = Pxc  = Pxs
  6. è possibile mostrare che, volendo esprimere l’autocorrelazione di x(t) in termini delle sue c.a. di b.f. x(τ) = ℛc(τ)cosω0τ  − ℛs(τ)sinω0τ, risulta
    c(τ)  = ℛxc(τ) s(τ) =  − ℛxcxs(τ)
    da cui è possibile mostrare che x(τ) = ℛ^x(τ);
  7. volendo valutare Pxc(f), questo risulta identico a Pxs(f), in quanto (eq. 11.15↑) xc(τ) = ℛxs(τ) = ℛx(τ)cosω0τ  + ^x(τ)sinω0τ; applicando ora la formula di Eulero per seno e coseno si ottiene
    xc(τ)  =  xs(τ) =   =  x(τ)(ejω0τ  + e − jω0τ)/(2) + ^x(τ)(ejω0τ  − e − jω0τ)/(2j)  =  (1)/(2)[x(τ)  − j^x(τ)]ejω0τ  + (1)/(2)[x(τ) + j^x(τ)]e − jω0τ  =   − x(τ)ejω0τ  + ℛ + x(τ)e  − jω0τ
    infatti i termini tra parentesi quadre corrispondono alla definizione di componenti a frequenze positive e negative ottenute tramite trasformata di Hilbert.

9.6.1  Conclusioni

Abbiamo mostrato che xc(τ) = ℛxs(τ) = ℛ − x(τ)ejω0τ  + ℛ + x(τ)e  − jω0τ. Risulta quindi:
Pxc(f) = Pxs(f) = P  − x(f  − f0) +   P + x(f + f0)
e dunque lo spettro di densità di potenza delle componenti analogiche di un processo si ottiene traslando e sovrapponendo (vedi fig. 9.25↓) le componenti a frequenze positive e negative del Px(f) di partenza.
Segnale modulato e densità di potenza delle componenti analogiche di b.f.
Figura 9.25 Segnale modulato e densità di potenza delle componenti analogiche di b.f.

9.6.2  Processo gaussiano bianco limitato in banda

Se x(t) è gaussiano stazionario ergodico e bianco, con Px(f) = (N0)/(2) limitato in banda ±W attorno ad f0 ed a media nulla, allora (vedi fig. 9.26↓):
Infatti, la simmetria pari di Px(f) attorno ad f0 rende xc(t) e xs(t) incorrelate, come mostrato al punto 3) di pag. 1↑: pertanto Pxcxs(f) = ℱ{xcxs(τ)} = 0 (punto 2) e dunque la (11.16↑) si semplifica nella (11.17↑).

Densità di potenza per rumore passabanda
Figura 9.26 Densità di potenza per rumore passabanda
  Sezione 9.5: Demodulazione coerente delle componenti analogiche di bassa frequenza Su  Capitolo 9: Segnali modulati Sezione 9.7: Appendici 
x Logo

Trasmissione dei Segnali e Sistemi di Telecomunicazione

http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/

Un esperimento divenuto nel tempo un riferimento culturale. Scopri come effettuare il download, ricevere gli aggiornamenti, e contribuire!