Sezione 9.6: Rappresentazione dei processi in banda traslata Su  Capitolo 9: Segnali modulati Capitolo 10: Modulazione per segnali analogici  

9.7  Appendici

9.7.1  Risposta impulsiva del filtro di Hilbert

Al §  9.2.4↑ si è affermato che la risposta impulsiva del filtro di Hilbert risulta essere pari a h(t) = (1)/(πt), ed ora mostriamo molto velocemente che è vero, riutilizzando un risultato trovato al § 3.9.5↑. In tale sede siamo infatti già arrivati a mostrare che
(11.18)  − 1  − (j)/(2πf) = (1)/(2) sgn(t)
e dato che H(f) =  − jsgn(f), sembra che ci dovrebbe essere un modo semplice di arrivare a sistemare le cose. La (11.18↑), una volta eliminato il termine 12, permette di scrivere {sgn(t)} =  − (j)/(πf) e dunque
(11.19) {  − jsgn(t)} =  − (1)/(πf)
Applicando ora alla (11.19↑) la proprietà di dualità (vedi pag. 1↑, dove si asserisce che se G(f) = ℱ{g(t)}, allora {G(t)} = g( − f)) otteniamo   − (1)/(πt)  =  − jsgn(  − f) = jsgn(f), e dunque in definitiva
 − 1{H(f)} = ℱ − 1{  − jsgn(f)} = (1)/(πt)

9.7.2  Trasformata di Hilbert di un segnale modulato

Limitiamoci a dimostrare che
(11.20) {xc(t)cos2πf0t} = xc(t)sin2πf0t
Iniziamo con il considerare che dopo aver -trasformato la (11.20↑), possiamo evidenziarne le componenti a frequenza positiva e negativa Xc(f  − f0) e Xc(f + f0)
(11.21) xc(t)cos2πf0t  = (xc(t))/(2)(ej2πf0t  + e − j2πf0t)    ⇒   ℱ    ⇒   (1)/(2)[Xc(f  − f0)  + Xc(f + f0)]
che, se xc(t) ha una banda minore di f0, possono essere facilmente -trasformate semplicemente aggiungendo lo sfasamento introdotto a frequenze positive e negative dal filtro di Hilbert
(1)/(2)[Xc(f  − f0)  + Xc(f + f0)]   ⇒  ℋ  ⇒  (1)/(2)[Xc(f  − f0)e  − j(π)/(2)  + Xc(f + f0)ej(π)/(2)]
e quindi -antitrasformando questa espressione si ottiene la -trasformata del segnale (11.20↑)
(1)/(2)[Xc(f  − f0)e  − j(π)/(2)  + Xc(f + f0)ej(π)/(2)]    ⇒   ℱ − 1  ⇒   (xc(t))/(2)(ej2πf0te  − j(π)/(2)  + e − j2πf0tej(π)/(2))
risultato che, anche se non ancora nella forma anticipata, poteva comunque essere ottenuto anche direttamente a partire dal secondo membro di (11.21↑), invocando subito la limitazione ad una semibanda di xc(t)e±j2πf0t. Per ottenere la (11.20↑) è ora sufficiente moltiplicare e dividere per j  = ej(π)/(2), ossia
(xc(t))/(2)(ej2πf0te  − j(π)/(2)  + e − j2πf0tej(π)/(2))(ej(π)/(2))/(ej(π)/(2))  =  (xc(t))/(2j)(ej2πf0t  + e − j2πf0tejπ) =   = (xc(t))/(2j)(ej2πf0t  − e − j2πf0t)  =  xc(t)sin2πf0t
in quanto ej(π)/(2) = j e ejπ =  − 1.

9.7.3  Autocorrelazione di processi passa-banda

Svolgiamo qui il calcolo relativo al valore di xc(τ), xs(τ), xcxs(τ) e xsxc(τ). Ricordando che xc(t) = x(t)cosω0t  + ^x(t)sinω0t, iniziamo a svolgere i calcoli per xc(τ):
xc(τ)  =  E{xc(τ)xc(t + τ)} =   =  E{[x(t)cosω0t  + ^x(t)sinω0t] [x(t + τ)cosω0(t + τ)  + ^x(t  + τ)sinω0(t + τ)]} =   =  E{x(t)x(t  + τ)}⋅cosω0t⋅cosω0(t + τ)  +   +  E{x(t)^x(t  + τ)}⋅cosω0t⋅sinω0(t + τ)  +   +  E{^x(t)x(t  + τ)}⋅sinω0t⋅cosω0(t + τ)  +  E{^x(t)^x(t  + τ)}⋅sinω0t⋅sinω0(t + τ)
Valutiamo quindi i quattro valori attesi singolarmente, indicando con x(t) la media temporale di x(t), ossia x(t) = limT  → ∞(1)/(T)T ⁄ 2 − T  ⁄ 2x(t)dt:
E{x(t)x(t  + τ)}  =  x(t)x(t  + τ)  = ℛx(τ) E{x(t)^x(t  + τ)}  =  x(t)^x(t  + τ) = ℛx^x(τ) = x(  − τ)*^x(τ)  =   =  x(  − τ)*x(τ)*(1)/(πτ)  = ℛx(τ)*(1)/(πτ)  = ^x(τ) E{^x(t)x(t  + τ)}  =  ^x(t)x(t  + τ) = ℛ^xx(τ)  = ^x(  − τ)*x(τ) =   =  x( − τ)*  − (1)/(πτ)*x(τ)  = x( − τ)*x(τ)*  − (1)/(πτ) =   =  x(τ)*  − (1)/(πτ) =  − ^x(τ) E{^x(t)^x(t  + τ)}  =  ^x(t)^x(t  + τ) = ℛ^x^x(τ)  = ^x(  − τ)*^x(τ)  =   =  x(  − τ)*  − (1)/(πτ)*x(τ)*(1)/(πτ) =   =  x( − τ)*x(τ)*  − (1)/(πτ)*(1)/(πτ) =  − ^^x(τ)  = ℛx(τ)
Sostituendo le relazioni ora trovate nella espressione di xc(τ), si ottiene
xc(τ)  =  x(τ)⋅cosω0t⋅cosω0(t + τ)  + ^x(τ)⋅cosω0t⋅sinω0(t + τ)  +   −  ^x(τ)⋅sinω0t⋅cosω0(t + τ)  + ℛx(τ)⋅sinω0t⋅sinω0(t + τ)  =   =  (1)/(2)x(τ)[cosω0( − τ)  + cosω0(2t  + τ)]  +   +  (1)/(2)^x(τ)[sinω0(τ) + sinω0(2t  + τ)]  +   −  (1)/(2)^x(τ)[sinω0(  − τ) + sinω0(2t + τ)] +   +  (1)/(2)x(τ)[cosω0( − τ)  − cosω0(2t  + τ)]  =   =  x(τ)⋅cosω0τ  + ^x(τ)⋅sinω0τ
che costituisce il risultato anticipato. Per l’espansione dei termini trigonometrici, si è fatto uso delle relazioni:
cosα⋅cosβ  =  (1)/(2)[cos(α − β)  + cos(α + β)] sinα⋅sinβ  =  (1)/(2)[cos(α − β)  − cos(α + β)] sinα⋅cosβ  =  (1)/(2)[sin(α − β)  + sin(α + β)]
I calcoli relativi al valore di xs(τ) sono del tutto simili, ed il loro svolgimento porta al risultato xc(τ) = ℛxs(τ).
Per quanto riguarda xcxs(τ), applichiamo la relazione xs(t) = ^x(t)cosω0t  − x(t)sinω0t, per ottenere:
xcxs(τ)  =  E{xc(τ)xs(t + τ)} =   =  E{[x(t)cosω0t  + ^x(t)sinω0t] [^x(t + τ)cosω0(t + τ)  − x(t + τ)sinω0(t  + τ)]  =   =  E{x(t)^x(t  + τ)}⋅cosω0t⋅cosω0(t + τ)  +   −  E{x(t)x(t  + τ)}⋅cosω0t⋅sinω0(t + τ)  +   +  E{^x(t)^x(t  + τ)}⋅sinω0t⋅cosω0(t + τ)  +   −  E{^x(t)x(t  + τ)}⋅sinω0t⋅sinω0(t + τ)
I valori attesi che vediamo comparire sono stati già calcolati, e quindi possiamo scrivere direttamente lo sviluppo dei calcoli, in cui si applicano nuovamente le identità trigonometriche note:
xcxs(τ)  =  ^x(τ)⋅cosω0t⋅cosω0(t + τ)  − ℛx(τ)⋅cosω0t⋅sinω0(t + τ)  +   +  x(τ)⋅sinω0t⋅cosω0(t + τ)  − ^x(τ)⋅sinω0t⋅sinω0(t + τ)  =   =  (1)/(2)^x(τ)[cosω0(  − τ) + cosω0(2t + τ)] +   −  (1)/(2)x(τ)[sinω0(τ)  + sinω0(2t  + τ)]  +   −  (1)/(2)x(τ)[sinω0( − τ)  + sinω0(2t  + τ)]  +   −  (1)/(2)^x(τ)[cosω0(  − τ) − cosω0(2t + τ)] =   =   − ℛx(τ)⋅sinω0(2t  + τ) + ^x(τ)⋅cosω0(2t + τ)
Per quanto riguarda gli argomenti delle funzioni trigonometriche, il valore di t è lasciato non specificato. Pertanto, visto che il processo è stazionario per ipotesi, può sensatamente essere posto a zero, e dunque ottenere il risultato previsto.
I calcoli relativi al valore di xsxc(τ) sono del tutto simili, ed il loro svolgimento porta al risultato xsxc(τ) =  −  ℛxcxs(τ).
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