Subsections

• 3.8.1 Treno di impulsi
• 3.8.2 Segnale periodico
• 3.8.3 Trasformata del treno di impulsi
• 3.8.4 Trasformata di segnale periodico

3.8 Trasformata di segnali periodici

Presentiamo ora un diverso modo di ottenere lo spettro di un segnale periodico, che in sostanza fornisce gli stessi risultati previsti dalla serie di Fourier, seguendo però un metodo diverso, che si basa sulla definizione di una particolare forma d'onda (ideale), nota come

3.8.1 Treno di impulsi

E' costituito da una serie infinita di impulsi matematici distanziati di un periodo T, si esprime analiticamente come

$$\pi_{{T}}^{}$$$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$ = $$\sum_{{m=-\infty}}^{{\infty}}$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{t-mT}\right.$$t - mT$$\left.\vphantom{t-mT}\right)$$

e si rivelerà di utilizzo frequente nei contesti del campionamento e delle trasmissioni numeriche.

3.8.2 Segnale periodico

Consideriamo un segnale periodico di periodo T espresso come

x$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$ = $$\sum_{{m=-\infty}}^{{\infty}}$$g$$\left(\vphantom{t-mT}\right.$$t - mT$$\left.\vphantom{t-mT}\right)$$

di cui g$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$ costituisce un periodo: la concatenazione di infinite repliche di g$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$, spaziate di un periodo T l'una dall'altra, riproduce il segnale periodico originario. Sfruttando la proprietà di convoluzione con l'impulso traslato, la stessa somma può essere scritta come

x$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$ = $$\sum_{{m=-\infty}}^{{\infty}}$$g$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$*$$\delta$$$$\left(\vphantom{t-mT}\right.$$t - mT$$\left.\vphantom{t-mT}\right)$$ = g$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$*$$\sum_{{m=-\infty}}^{{\infty}}$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{t-mT}\right.$$t - mT$$\left.\vphantom{t-mT}\right)$$ = g$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$*$$\pi_{{T}}^{}$$$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$

dove nel secondo passaggio si è sfruttata la linearità della convoluzione. Ricordando ora la proprietà della moltiplicazione in frequenza, troviamo X$\left(\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right)$ = G$\left(\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right)$ ^. $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right.$$\pi_{{T}}^{}$$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$$\left.\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right\}$; ci accingiamo allora a determinare $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right.$$\pi_{{T}}^{}$$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$$\left.\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right\}$, ossia la trasformata del treno di impulsi.

3.8.3 Trasformata del treno di impulsi

L'approccio che conviene seguire è di pensare a $\pi_{{T}}^{}$$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$ come ad un segnale periodico, e svilupparlo in serie di Fourier. I coefficienti si calcolano allora come:

$$\Pi_{{n}}^{} {\frac{{1}}{{T}}} \int_{{-\frac{T}{2}}}^{{\frac{T}{2}}} \left[\vphantom{\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-mT\right)}\right. \sum_{{m=-\infty}}^{{\infty}} \delta \left(\vphantom{t-mT}\right. \left.\vphantom{t-mT}\right) \left.\vphantom{\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-mT\right)}\right] \pi$$ =

$${\frac{{1}}{{T}}} \int_{{-\frac{T}{2}}}^{{\frac{T}{2}}} \delta \left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right) \pi {\frac{{1}}{{T}}} \int_{{-\frac{T}{2}}}^{{\frac{T}{2}}} \delta \left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right) {\frac{{1}}{{T}}}$$ =

in quanto, tra tutti gli impulsi della sommatoria, ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che gli altri sono tutti esterni ai limiti di integrazione; pertanto, tutti i coefficienti risultano avere lo stesso valore, pari ad ${\frac{{1}}{{T}}}$, e possiamo dunque scrivere

$$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right.$$$$\pi_{{T}}^{}$$$$\left(\vphantom{t}\right.$$t$$\left.\vphantom{t}\right)$$$$\left.\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right\}$$ = $$\mathcal {F}$$$$\left\{\vphantom{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Pi_{n}\hbox{e}^{j2\pi nFt}}\right.$$$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$$$\Pi_{{n}}^{}$$e^j2$\pi$nFt$$\left.\vphantom{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Pi_{n}\hbox{e}^{j2\pi nFt}}\right\}$$ = $${\frac{{1}}{{T}}}$$$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{f-\frac{n}{T}}\right.$$f - $${\frac{{n}}{{T}}}$$$$\left.\vphantom{f-\frac{n}{T}}\right)$$ = $${\frac{{1}}{{T}}}$$$$\pi_{{\frac{1}{T}}}^{}$$$$\left(\vphantom{f}\right.$$f$$\left.\vphantom{f}\right)$$

ottenendo il risultato cercato: $\mathcal {F}$$\left\{\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right.$$\pi_{{T}}^{}$$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$$\left.\vphantom{ \pi_{T}\left(t\right)}\right\}$ = ${\frac{{1}}{{T}}}$$\pi_{{\frac{1}{T}}}^{}$$\left(\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right)$. Pertanto, la trasformata di un treno di impulsi è a sua volta un treno di impulsi, di periodo inverso a quello originario.

3.8.4 Trasformata di segnale periodico

Siamo finalmente in grado di esprimere la trasformata di un segnale periodico come il prodotto tra la $\mathcal {F}$-trasformata di un suo periodo ed un treno di impulsi in frequenza:

X$$\left(\vphantom{f}\right.$$f$$\left.\vphantom{f}\right)$$ = G$$\left(\vphantom{f}\right.$$f$$\left.\vphantom{f}\right)$$ ^. $${\frac{{1}}{{T}}}$$$$\pi_{{\frac{1}{T}}}^{}$$$$\left(\vphantom{f}\right.$$f$$\left.\vphantom{f}\right)$$

Esempio

Riprendendo in considerazione il caso dell'onda quadra affrontato in 2.2.1.4, non è difficile riconoscere come, ponendo g$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$ = Arect_$\tau$$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$, e corrispondentemente G$\left(\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right)$ = A$\tau$sinc$\left(\vphantom{f\tau}\right.$f$\tau$$\left.\vphantom{f\tau}\right)$, il prodotto di G$\left(\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right)$ per il treno di impulsi ${\frac{{1}}{{T}}}$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$\delta$$\left(\vphantom{f-nF}\right.$f - nF$\left.\vphantom{f-nF}\right)$ (con F = ${\frac{{1}}{{T}}}$) fornisce il risultato già incontrato:

X$$\left(\vphantom{f}\right.$$f$$\left.\vphantom{f}\right)$$ = A$${\frac{{\tau}}{{T}}}$$$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$sinc$$\left(\vphantom{nF\tau}\right.$$nF$$\tau$$$$\left.\vphantom{nF\tau}\right)$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{f-nF}\right.$$f - nF$$\left.\vphantom{f-nF}\right)$$